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Questão 1/10 Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y).T(x,y)=(x+2y,y). Assinale a alternativa que contém a matriz de TT com relação à base canônica do R2R2: Nota: 10.0 A [1201].[1201]. Você acertou! Observamos que T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1). Logo, a matriz de TT com relação à base canônica é [1201][1201](livro-base p. 130-137) B [1021].[1021]. C [1210].[1210]. D [2110].[2110]. E [1012].[1012]. Questão 2/10 Assinale a alternativa correta: Nota: 10.0 A O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios. B A adição, a multiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa. C A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação. D O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios. Você acertou! Segue das propriedades da adição de polinômios. E O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero. Questão 3/10 Considere a matriz A=[−2112−1].A=[−2112−1]. Assinale a alternativa que apresenta um autovetor de AA associado ao autovalor λ=2:λ=2: Nota: 10.0 A [−13].[−13]. B [10].[10]. C [74].[74]. D [35].[35]. E [14].[14]. Você acertou! Observamos que [−2112−1][14]=[28]=2[14],[−2112−1][14]=[28]=2[14], o que mostra que [14][14] é autovetor de AA associado ao autovalor λ=2λ=2 (livro-base p.161-163). Questão 4/10 Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas: (i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B; (ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel. Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. I. ( ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R. II. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z. III. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z. Agora, marque a sequência correta: Nota: 10.0 A V, V, V. B V, F, V. C V, V, F. Você acertou! As propriedades (i) e (ii) são satisfeitas para os conjuntos ZZ e B.B. Logo, as afirmativas I e II são verdadeiras. Observamos que 1 e 3 são elementos de CC, mas 1+3=4∉C.1+3=4∉C. Assim, a afirmativa III é falsa. D V, F, F. E F, V, V. Questão 5/10 Considere o polinômio p(x)=x3+5x2−22x−56p(x)=x3+5x2−22x−56. Assinale a alternativa que contém as raízes reais de p(x)p(x): Nota: 10.0 A 2, 4 e 7. B -7, -4 e 2. C -2, 4 e 7. D -7, -4 e -2. E -7, -2 e 4. Você acertou! O polinômio p(x)p(x) pode ser decomposto como p(x)=(x−4)(x+2)(x+7)p(x)=(x−4)(x+2)(x+7). Logo, as raízes de p(x)p(x) são -7, -2 e 4. Questão 6/10 Sobre o anel do inteiros (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam as operações usuais em ZZ, assinale a alternativa correta: Nota: 0.0 A Para todo a∈Za∈Z, vale a⋅0≠0.a⋅0≠0. B A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é válida, isto é, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c para todos a,b,c∈Z.a,b,c∈Z. Como (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel, então a propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é satisfeita em Z.Z. C O elemento 2∈Z2∈Z possui inverso multiplicativo em Z.Z. D O anel (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) possui divisores de zero. E (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo. Questão 7/10 A inversa da matriz A=[3142]A=[3142] é Nota: 10.0 A A−1=[1−1/2−23/2].A−1=[1−1/2−23/2]. Você acertou! Como A−1=1detAAdjA,A−1=1detAAdjA, temos A−1=12[2−1−43]=[1−1/2−23/2].A−1=12[2−1−43]=[1−1/2−23/2]. (livro-base p. 53-54) B A−1=[−11/2−2−3/2].A−1=[−11/2−2−3/2]. C A−1=[12−23/2].A−1=[12−23/2]. D A−1=[11/22−3/2].A−1=[11/22−3/2]. E A−1=[−1−1/223/2].A−1=[−1−1/223/2]. Questão 8/10 Considere a transformação T:R3→R3T:R3→R3 definida por T(x,y,z)=(x,y,0).T(x,y,z)=(x,y,0). Com base nessa transformação, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa: I. ( ) TT é uma transformação linear. II. ( ) O núcleo de TT é N(T)={(0,0,z); z∈R}N(T)={(0,0,z); z∈R}. III. ( ) O conjunto imagem de TT satisfaz dim(Im(T))=2.dim(Im(T))=2. Agora, marque a sequência correta: Nota: 10.0 A V, V, V. Você acertou! Dados u,v∈R3 e λ∈Ru,v∈R3 e λ∈R, observamos que TT satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u).T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u). Assim, TT é uma transformação linear e afirmativa I é verdadeira. Além disso, T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0,T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0, o que mostra que zz pode ser tomado qualquer. Desse modo, N(T)={(0,0,z), z∈R}N(T)={(0,0,z), z∈R} e a afirmativa II é verdadeira. Segue do Teorema do Núcleo e da Imagem que dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2.dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2. Portanto, a afirmativa III também é verdadeira (livro-base p. 124-130). B V, F, V. C V, V, F. D V, F, F. E F, V, V. Questão 9/10 Considere os anéis (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) e (R,+,⋅)(R,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que Nota: 10.0 A (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero. B (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo. C (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é domínio de integridade. D (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é corpo. Você acertou! Com as operações usuais, (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, dado a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗com a≠0,a≠0, vem que p≠0p≠0 e qp∈Q.qp∈Q. Então, a−1=qp∈Qa−1=qp∈Q, pois pq⋅qp=1.pq⋅qp=1. E (R,+,⋅)(R,+,⋅) não é domínio de integridade. Questão 10/10 Considere os vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3).u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3). Assinale a alternativa que descreve o vetor uu como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:v1, v2 e v3: Nota: 10.0 A u=v1−2v2+3v3u=v1−2v2+3v3. B u=2v1−v2+4v3.u=2v1−v2+4v3. Você acertou! Queremos encontrar α,β,γ∈Rα,β,γ∈R tais que u=αv1+βv2+γv3u=αv1+βv2+γv3, isto é, (−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹⎧⎨⎩α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.(−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹{α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.Resolvendo o sistema linear anterior, obtemos α=2, β=−1 e γ=4.α=2, β=−1 e γ=4. Portanto, u=2v1−v2+4v3u=2v1−v2+4v3 (livro-base p. 89-93). C u=−2v1+v2+4v3.u=−2v1+v2+4v3. D u=10v1−7v2+4v3.u=10v1−7v2+4v3. E u=2v1−v2−4v3.u=2v1−v2−4v3.
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