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UNIVERSIDADE PAULISTA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CAMPUS BRASÍLIA 979S – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NP1 FRANKLIN CÉSAR ALVES DO NASCIMENTO RA: T133FF-3 TURMA: TT0S30 PRIMEIRA ORDEM Introdução É a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade). Metodologia Equação diferencial de primeira ordem é da forma: Se g(x) é uma função continua dada, então a equação de primeira ordem (1) Pode ser resolvida por integração. A solução é Definição – Equação Separável Uma equação diferencial da forma é chamada de separável ou tem variáveis separáveis. Observe que uma equação separável pode ser escrita como (2) É imediato que (2) se reduz a (1) quando h(y) = 1. Agora, se y = f (x) denota uma solução para (2), temos logo, Mas dy = f´(x)dx, a eq. acima é o mesmo que Definição – Função Homogênea Se uma função f satisfaz Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n. Definição – Equação Homogênea Uma equação diferencial da forma é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Método de Solução Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Especificamente, a substituição y = ux ou x = vy, em que ‘u’ e ‘v’ são novas variáveis independentes, transformará a equação diferencial de primeira ordem separável. Para ver isso, seja y = ux; então, sua diferencial dy = u dx + x du. Substituindo na eq. Homogênea, temos Uma expressão diferencial é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f (x, y). Uma equação diferencial da forma é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Teorema – Critério para uma diferencial exata Sejam M (x, y) e N (x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que seja uma diferencial exata é Método de Solução Dada a equação Mostre primeiro que Depois suponha que daí podemos encontrar f integrando M(x, y) com relação a x, considerando y constante. Escrevemos, em que a função arbitrária g (y) é a constante de integração. Agora, derivando f(x,y) com relação a y e supondo Assim, Finalmente, integre g’(y) com relação a y e substitua o resultado em f(x,y). A solução para a equação é f (x, y) = c. Equação Linear Definição – Equação Linear Uma equação diferencial da forma é chamada de equação linear. Resolvendo uma Equação Linear de Primeira Ordem Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque – a na forma abaixo, isto é, faça o coeficiente de Identifique P(x) e encontre o fator de integração Multiplique a equação obtida em pelo fator de integração: O lado esquerdo da equação em é a derivada do produto do fator de integração e a variável independente y; isto é, Integre ambos os lados da equação encontrada e obtemos Equações de Bernoulli, Ricatti e Clairaut Equação de Bernoulli A equação diferencial em que n é um número real qualquer, é chamada de Equação de Bernoulli. Para n = 0 e n = 1, a equação é linear em y. Agora, se y 0, pode ser escrita como Se fizermos w = y 1 – n, n 0, n 1, então Com essa substituição, transforma – se na equação linear Resolvendo e depois fazendo y 1 – n = w, obtemos uma solução para. Equação de Ricatti A equação diferencial não – linear é chamada de equação de Ricatti. Se y1 é uma solução particular para então as substituições e produzem a seguinte equação diferencial para u: Como é uma equação de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida à equação linear (6) através da substituição w = u – 1. Equação de Clairaut Como exercício você deverá mostrar que uma solução para a equação de Clairaut (7) é a família de retas y = cx + f (c), em que c é uma constante arbitrária. Ainda, (7) pode também possuir uma solução em forma paramétrica: Essa última solução é singular, pois, se f´´ (t) 0, ela não pode ser obtida da família de soluções y = cx + f (c). Conclusão Conclui-se que as soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características: Cada coeficiente e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x; A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau. Referências https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_linear acessado, em 10/05/2017 http://online.unip.br/disciplina/detalhes/6192 acessado, em 10/05/2017 http://www.ufpa.br/dicas/biome/biopdf/bioqui.pdf acessado, em 10/05/2017
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