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UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO
VETORES E 
SOMA VETORIAL
Professor: Leandro Paludo
Passo Fundo
SOMA VETORIAL
GRANDEZAS FÍSICAS VETORIAIS
As medidas destas grandezas, para ficarem claras,
necessitam mais que um valor numérico e uma unidade. É
necessário que sejam dadas a elas uma direção e um
sentido.
Ex. Quando aplicamos uma força de 10 newtons
sobre um objeto, qualquer coisa pode acontecer
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sobre um objeto, qualquer coisa pode acontecer
e o sentido é indicado pela flecha. 
Estas grandezas são
representadas por vetores.
O comprimento do segmento fornece o módulo 
do vetor, a direção é indicada pelo segmento de reta
Representamos uma grandeza vetorial
(geralmente) por uma letra e sobre esta letra
inserimos um seta.
Podemos ainda designar uma grandeza vetorial por
fonte em itálico ou negrito. Em bibliografias mais antigas a
GRANDEZAS FÍSICAS VETORIAIS
F
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Esta forma de representar o vetor é útil para vocês lembrarem que esta grandeza 
apresenta propriedades diferentes de uma grandeza escalar que normalmente é 
representada por uma variável qualquer, por exemplo, t para o tempo.
fonte em itálico ou negrito. Em bibliografias mais antigas a
grandeza vetorial era sublinhada.
O módulo de um vetor é uma grandeza escalar (um
número), sendo sempre positivo.
F(Módulo de ) = F = F
Exemplos:
Módulo:
Direção:
Sentido:
Módulo:
Direção:
Sentido:
9 N - 5 m/s
a
b
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Módulo:
Direção:
Sentido:
Módulo:
Direção:
Sentido:
10 m/s²
30 º
12 kN
Exemplo grandeza vetorial DESLOCAMENTO:
Deslocamento é simplesmente a variação da posição
de um ponto. (O ponto pode representar uma partícula ou
um objeto pequeno).
Quando analisarmos corpos, estes serão considerados como
partículas, mesmo que suas dimensões não sejam pequenas. Isso significa
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partículas, mesmo que suas dimensões não sejam pequenas. Isso significa
que o tamanho e o formato dos corpos em consideração não afetaram
significativamente a resolução dos problemas, e que as forças que atuam
sobre um corpo serão consideradas em mesmo ponto de aplicação.
Deslocamento é uma grandeza vetorial, porque devemos
especificar não só a distância percorrida, como também a
direção e o sentido do deslocamento.
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Outras grandezas vetoriais que serão 
estudadas serão força e aceleração.
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O deslocamento é um vetor cuja direção é sempre
traçada do ponto inicial até o ponto final, mesmo no caso de
uma trajetória curva.
Exemplo 1 – Uma pessoa, ao longo de uma passagem circular, com 5 m de raio,
percorre meia circunferência.
a) Achar o módulo do vetor deslocamento;
b) Qual é a distância percorrida pela pessoa?
c) Qual é o módulo do deslocamento se a pessoa percorrer a circunferência
inteira?
Respostas: a) 10 m; b) 15,7 m; c) 0
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Respostas: a) 10 m; b) 15,7 m; c) 0
VETORES PARALELOS
Possuem a mesma direção e o mesmo sentido
VETORES IGUAIS
Possuem o mesmo módulo e a mesma direção e sentido,
VETORES ANTIPARALELOS
Possuem a mesma direção, mas sentidos
contrários, possuindo ou não o mesmo módulo
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Possuem o mesmo módulo e a mesma direção e sentido,
independente do local onde se encontram no espaço
SOMA VETORIAL
Uma partícula que sofre um
deslocamento A, seguido de um
deslocamento B, terá como resultado final um
deslocamento R.
Este deslocamento R é a RESULTANTE ou SOMA
VETORIAL dos deslocamentos A e B. Esta soma é
A B
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VETORIAL dos deslocamentos A e B. Esta soma é
expressa simbolicamente por R = A + B
Podemos somar dois vetores 
desenhando a extremidade 
de um no início do outro
Somá-los em ordem inversa 
produz o mesmo resultado
(PROPRIEDADE COMUTATIVA)
Podemos também somá-los 
construindo um paralelogramo
R
A
B
R
A
B
A
B
R
SOMA VETORIAL
Podemos também subtrair
vetores. O vetor – B é um vetor que
possui mesmo módulo e mesma
direção, mas sentido contrário ao
vetor B.
A B
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Subtraindo B de A temos:
A
B−
R
A
B
R A−
B
)( BAR −+=
A
R R
B
)( ABR −+=
Subtraindo A de B temos: 
SOMA VETORIAL
Quando dois vetores A e B são paralelos, o módulo
da sua soma é igual a soma de seus módulos: R = A + B.
Ângulo entre A e B (θ = 0º).
A e B tem mesma direção e 
mesmo sentido
A B
BAR +=
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Ângulo entre A e B (θ = 180º). 
A e B tem mesma direção e 
sentido contrário
BAR +=
A
BBAR +=
Quando A e B são antiparalelos, módulo da sua soma é
igual a diferença dos seus módulos: R = |A – B|.
SOMA VETORIAL
Quando dois vetores A e B são perpendiculares entre si,
o vetor resultante da soma entre A e B pode ser calculada de
acordo com o teorema de Pitágoras. R² = A² + B².
Ângulo entre A e B (θ = 90º). 
A e B são perpendiculares 
ou ortogonaisB
R
22
BAR +=
40
ou ortogonais
A
B
θcos...222 BABAR −+=
A
B
R
αθ coscos −=
Quando o ângulo entre A e B for diferente de 0º, 90º e
180º podemos aplicar a lei dos cossenos para calcular o
vetor resultante R.
Exemplo 2:
Uma esquiadora percorre 1,0 km do sul para o norte e depois 2 km de
oeste para leste em um campo horizontal coberto de neve. A que distância ela
está do ponto de partida e em que direção?
Resposta: 2,24 km, 63,4º do norte para o leste ou 26,6º do leste para o norte.
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COMPONENTES DE VETORES
Para definir os componentes de um vetor A,
inicialmente definimos um sistema (cartesiano) de
coordenadas. A seguir desenhamos o vetor considerado
com início em O a origem do sistema de coordenadas.
y
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xO
A
X
A
Y
A
θ
θcos.AA
X
=
θsenAA
Y
.=
AX e AY são os componentes do vetor A
COMPONENTES DE VETORES
Os componentes de um vetor podem ser números
positivos ou negativos:
y
B
)(+B
x
)(−
X
C
θ
y
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x
)(−
X
B
)(+
Y
Bθ
C
)(−
Y
C
θ
Exemplo 3:
Quais são os componentes x e y do vetor D na figura abaixo? O módulo
é D = 3,0 m e o ângulo α = 45 º.
x
y
44
x
D
Exemplo 4:
Quais Um homem puxa com a força
de 300 N uma corda amarrada a um edifício.
Quais são as componentes horizontal e
vertical da força exercida pela corda no ponto
A?
Resposta: Fx = 240 N, Fy = - 180 N
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Resposta: Fx = 240 N, Fy = - 180 N
Exemplo 5:
Quais são os componentes x e y do vetor E da figura abaixo? Seu
módulo é E = 4,50 m e o ângulo β 37,0º.
x
y
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β
E
COMPONENTES DE VETORES
Soma vetorial a partir das componentes:
Se conhecemos os componentes de dois vetores A
e B, podemos calcular os componentes da resultante R.
XXX
BAR +=
y
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XXX
YYY
BAR +=
x
X
A
X
B
Y
A
Y
B
A
B
R
X
R
Y
R
Este procedimento da soma de
dois vetores pode ser
facilmente estendi para a soma
de qualquer número de vetores.
Exemplo 6:
De acordo com pesquisas, as formigas mantém um registro de seus movimentos
em um sistema mental de coordenadas. Quando decide voltar ao formigueiro soma seus
deslocamentos em relação aos eixos do sistema para calcular um vetor que aponta
diretamente para o ponto de partida. Como exemplo deste cálculo, considere uma formiga
que executa cinco movimentos de 6,0 cm cada um em um sistema de coordenadas xy, nas
orientações mostradas na figura abaixo, partindo do formigueiro.
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No final do quinto
deslocamento, quais são o módulo
e o ângulo do vetor deslocamento
total e quais são os valores
correspondentes do vetor de
retorno que liga a posição final da
formiga à posição do formigueiro?
Resposta: 9,0 cm, 155º
Exemplo 7:
Duas forças P e Q atuam sobre um
parafuso A. Determine sua resultante.
Resposta:98 N, 35 º com a horizontal
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Exemplo 8:
O gancho da figura esta sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade e a
direção da força resultante.
Resposta: 213 N, 54,8 º com a horizontal
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