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Cálculo Aplicado AULA 3 Prof. Ernani João Silva 2 CONVERSA INICIAL Olá! Seja bem-vindo à nossa terceira aula! Neste encontro, vamos continuar estudando a modelagem matemática pela ótica do fluxo de caixa. Todavia, agora o foco será a capitalização composta dos juros, na qual temos cinco temas básicos sobre esse assunto: 1. Valor presente e valor futuro composto exponencial – fórmulas, fatores de cálculo e calculadora financeira; 2. Convenção linear/mista; 3. Desconto racional composto; 4. Desconto comercial composto; 5. Valores e títulos equivalentes. Com esta lista de assuntos ao término dessa aula você será capaz de aplicar os instrumentos básicos de análise de um fluxo de caixa por capitalização composta de juros e, logicamente, entender e explicar o significado dos resultados numéricos que eles geram. E dito isso vamos trabalhar! CONTEXTUALIZANDO Imagine que você acumulou R$ 10 mil para comprar camisetas de cor branca para revender. Sua operação comercial é composta por duas etapas. Primeiramente, você vai até a fábrica de camisetas, entrega os R$ 10 mil e sai de lá com 1 mil camisetas para revender (ou seja, cada camiseta que você comprou custou R$ 10). A segunda etapa é vender esse lote de camiseta, e isso você consegue realizar em um mês. Ou seja, após um mês da data da compra do lote, você vende todas as camisetas e, por causa disso, obteve um lucro de 10% sobre o que aplicou. Sendo assim você transformou R$ 10 mil em R$ 11 mil (M = P + J => R$ 10 mil + (R$ 10 mil .10%) => M= R$ 10 mil + 1 mil). Com seus R$ 11 mil no bolso, você retorna à fábrica para comprar mais 1,1 mil camisetas (R$ 11 mil R$ 10/camiseta). E, novamente, vende tudo em apenas um mês, obtendo 10% de lucro sobre o capital investido (agora R$ 11 mil). Ou seja, agora você transformou R$ 11 mil em R$ 12,1 mil. Por fim, no terceiro mês, você novamente investe todo seu capital (R$ 12,1 mil) na compra e venda de camisetas brancas. E, novamente, obtém ao final de um mês 10% de lucro, alcançando, assim, o valor de R$ 13.310,00. 3 Parabéns! Em três meses você conseguiu, ganhando 10% de lucro por mês, transformar R$ 10 mil em R$ 13,31 mil. Agora, imagine que um amigo seu, sabendo que você tem um capital de R$ 13.310,00 no bolso, lhe pede um favor. Ele quer que você lhe empreste R$ 10 mil, pois deseja viajar pela Europa nas férias. Como ele é quase um irmão para você, o “juro de risco” você resolve não cobrar, porém, avisa que precisa receber o “juro de oportunidade”, isto é, os 10% ao mês (a taxa que você ganha todo mês na operação de compra e venda). O amigo topa e diz que em três meses quita o empréstimo (M = P + J). Sendo assim, por três meses você não pode transformar seus R$ 10 mil em R$ 13,31 mil com sua operação de compra e venda de camisetas. Após três meses, o amigo volta a lhe procurara para quitar a dívida. Nisso, entrega para você R$ 13 mil e agradece o empréstimo. Você diz que estão faltando R$ 310,00 (devido à lógica exposta nos parágrafos anteriores). O amigo fica ofendido, pois diz não acreditar que você quer cobrar dele juros sobre juros e vai embora... E, assim, você fica sem amigo e sem seus R$ 310,00. Brincadeiras à parte, essa estória é para demonstrar a principal diferença entre juros simples e compostos. No cálculo dos juros simples, a taxa de juro sempre é aplicada ao valor original (foi por isso que o amigo pagou só R$ 13 mil [ele calculou: R$ 10 mil . (1 + 10%.3) = R$ 10 mil . 1,3 = R$ 13 mil]). Já no caso dos juros compostos, a taxa de juros é aplicada em cada saldo intermediário no período de análise (como foi exemplificado nos primeiros parágrafos desse contexto). Bem interessante! Não acha? Todavia, aqui não vamos entrar no mérito se o juro composto é justo ou não, nosso foco será entendê-lo. Portanto, vamos começar nossa jornada. TEMA 1 – VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO Como vimos na aula 2, podemos diagramar as operações financeiras em uma representação denominada como fluxo de caixa: 4 Figura 1 – Fluxo de caixa Onde: VP = Valor presente; VF = Valor futuro i = Taxa de juro; n = Valor final do tempo do fluxo. Neste tópico usaremos esse diagrama para estudar como funciona o fluxo de caixa na capitalização composta dos juros, considerando o momento entre o valor presente e futuro do capital. Ou seja, vamos estudar como o VP torna-se VF e vice-versa, pelo uso de: (i) fórmula, (ii) fator de cálculo e, também, pela (iii) HP 12c1. 1.1 Fórmula Na aula 1, vimos que a fórmula básica da matemática financeira é: M = P + J Também vimos na aula 1 que esta fórmula poderia ser convertida nos juros compostos para: VF = VP + J VF = VP . (1 + i)n Onde: VF: Valor Futuro (valor no término do período); VP: Valor Presente (valor no início do período); J: Juros (valor total); 1 Vamos utilizar nesta aula, sempre que possível, as mesmas situações de exemplos e números que vimos na aula de juros simples, para que assim fique bem claras as diferenças entre os dois métodos de capitalização. 5 i: Taxa de juro (ajustada à condição de capitalização); n: Período (ajustada à condição de capitalização). Esta fórmula nos permite, como foi visto na aula 1, encontrar qualquer um dos valores das quatro variáveis do modelo (VF, VP, i, n), desde que nos sejam apresentados, no mínimo, três valores. Veja esses exemplos: a. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal por juros compostos, qual será o valor futuro dessa aplicação? Importante Lembre-se de que a taxa precisa ser coerente com a condição de capitalização, por isso, dividimos 24% ao ano por 12 meses, para, assim, termos 2% a.m. VF = VP . (1 + i)n VF = R$ 100 . (1 + 24%/12)10 . VF = R$ 100 . (1+ 2%)10 VF = R$ 100 . (1 + 0,02)10 VF = R$ 100 . 1,02 10 VF = R$ 100 . 1,218994 VF = R$ 121,8994 R$ 121,90 (Resposta) Agora vem o pulo do gato! Na fórmula, não usamos os sinais de negativo e positivo que foram discutidos na explicação do fluxo de caixa, porém, no final fazemos os ajustes necessários. Sendo assim, nesse exemplo, temos que: VP = - R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 121,90 (encaixe). b. Paulo quer ter R$ 121,90 ao término de um investimento bancário de 10 meses que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal por juros compostos, qual o valor que Paulo precisa colocar na aplicação hoje (Valor Presente) para ter o que deseja no futuro? VF = VP . (1 + i) n R$ 121,90 = VP . (1 + 24%/12)10 R$ 121,9 = VP . (1+ 2%)10 R$ 121,9 = VP . 1,218994 VP = R$ 121,9 / 1,218994 VP = R$ 100,00 (Resposta) 6 Sinais no fluxo: VP = - R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 121,90 (encaixe) c. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário para, ao término desse tempo, ter R$ 121,90. Sabendo que a capitalização é mensal por juros composta, qual é o valor de taxa de juro ao ano que essa aplicação precisa ter? VF = VP . (1 + i) n R$ 121,9 = R$ 100 . (1 + i) 10 meses R$ 121,9 / R$ 100 = (1+ i) 10 1,219 = (1 + i) 10 √1,219 10 = 1 + i “ou” 1,219 1/10 = 1 + i 1,02 = i + 1 1,02 – 1 = i i = 0,02 = 2% ao mês Como a resposta é “ao ano” 2% ao mês. 12 meses = 24% ao ano d. Paulo quer aplicar R$ 100 em um investimento bancário para que este capital, ao término de “n” períodos de tempo, torne-se R$ 121,90. Sabendo que a capitalização é mensal por jurossimples e que a taxa de juros é de 24% ao ano, qual é o valor de tempo dessa aplicação em meses? VF = VP . (1 + i) n R$ 121,9 = R$ 100 . (1 + 24%/12) n R$ 121,9 = R$ 100 . (1+ 2%) n 121,9/100 = (1 + 0,02) n 1,219 = 1,02 n , aqui temos que usar logarítmico2, Log 1,02 1,219 = n 1,219 = 1,02 n Log 1,02 1,219 = n n = 10 meses e. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização3 é mensal por juros composta, qual será o valor do juro dessa aplicação? 2 O logarítmico não é um tema da matemática financeira, trata-se de um assunto de matemática básica. Usamos “Log” sempre que desejamos encontrar qual é o valor de um expoente, sendo esse o caso desse exemplo, pois queremos descobrir o valor de “n”, um número esse no expoente da equação. 3 Lembre-se que no juro composto a forma de capitalização altera o resultado final, ou seja, uma mesma taxa nominal pode gerar diferentes valores futuros em um mesmo período de tempo (ver aula 1, Tema 5). Por esse motivo, a condição de capitalização é mencionada sempre em exercícios de juros compostos. 7 VF = VP . (1 + i ) n VF = VP + J ; Então: J = VF – V P VF = R$ 100 . (1+ 2%)10 VF = R$ 121,8994 R$ 121,90 Assim: J = VF – VP J = 121,90 – 100 21,9 (Resposta) ou J = VP . (1 + i) n – VP J = VP . [(1 + i) n – 1] J = R$ 100 . [(1 + 2%) 10 – 1] J = R$ 100 . [1,218994 – 1] J = R$ 100 . 0,218994 R$ 21,9 Muito fácil! Afinal de contas, trata-se apenas da aplicação do que foi estudado no fim da aula 1. Agora, vamos ver como usamos o fator de cálculo. 1.2 Fator de cálculo para capitalização composta de juros Na aula 2 já estudamos o que são os fatores de cálculos (Lembre-se das tabelas que os vendedores usam atrás das calculadoras simples, para o cálculo de prestações e descontos). Sendo assim, vamos direto ao que interessa sobre o fator de juros compostos. Se a fórmula financeira da capitalização composta de juro é “VF = VP . (1 + i)n”; então podemos estabelecer que o valor “(1 + i)n” é o fator de cálculo quando queremos o VF partindo do VP. E, por sua vez, sendo “VP = VF / (1 + i)n”, então, podemos estabelecer que o fator de cálculo é “1 / (1+ i)n” quando queremos o VP partindo do VF. Veja estes exemplos: a. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal por juros compostos, qual é o fator de cálculo dessa operação e qual seria o valor futuro dessa aplicação? Sendo: VF = VP . (1 + i . n) VF = R$ 100 . (1 + 24%/12)10 Então, o Fator de Cálculo (fc): fc = (1 + i)n = (1 + 24%/12)10 = 1,218994 Portanto: VF = VP . fc VF = R$ 100 . 1,218994 VF = R$ 121,8994 8 Sinais no fluxo: VP = - R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 120 (encaixe) b. Paulo mudou de ideia sobre a quantia que vai aplicar. Agora ele quer aplicar R$ 300 nas mesmas condições anteriores. Isto é, 10 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal por juros compostos, qual será o valor futuro? Muitas pessoas fazem todos os cálculos de novo, porém não precisa. Pense comigo se todas as condições para i e n são iguais, então, basta aplicar o fator de cálculo feito no item “a” no novo valor presente: VF= VP . fc VF= $ 300. 1,218994 VF = $365,6983 VF R$ 365,70. Sinais no fluxo: VP = - R$ 300 (desencaixe); VF = + R$ 365,70 (encaixe). A mesma ideia pode ser usada para o cálculo do valor presente a partir do valor futuro. Veja esses exemplos: I. Paulo quer ter R$ 121,9 ao término de um investimento bancário de 10 meses que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal por juros compostos, qual é o fator de cálculo e o valor que Paulo precisa colocar na aplicação hoje (=Valor Presente)? Sendo: VF = VP . ( 1 + i )n VP = VF ( 1 + i )𝑛 VP = VF . 1 ( 1 + i )𝑛 Então: Fator de cálculo: fc = 1 ( 1 + i )𝑛 1 ( 1 + 2% )10 1 1,218994 = 0,82035 Portanto: VP = VF . fc VP = R$ 121,9 . 0,82305 VP = R$ 100,00 Sinais no fluxo: VP = - R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 121,9 (encaixe). II. Caso o Paulo queira ter R$ 365,70 ao término de um investimento bancário nas mesmas condições vistas acima, qual é o valor que ele precisa colocar na aplicação hoje (=Valor Presente)? 9 Usando o fator de cálculo, uma vez que as condições são iguais, temos: VP = VF . fc VP = $365,70. 0,82035 VP= $ 300 Sinais no fluxo: VP = - R$ 300 (desencaixe); VF = + R$ 365,7 (encaixe) Viu? É muito fácil! E para encerrarmos este tópico sobre fatores, vamos ver duas tabelas de capitalização composta, onde “n” é números de dias (já ajustado para a condição de capitalização) e “taxa” é o taxa efetiva de juro: Tabela 1 – VP para VF Tabela 2 – VF para VP a. Investindo R$ 10, qual é o valor futuro para 90 dias de aplicação com taxa 0,5% ao dia, com capitalização composta diária? Resposta: R$ 10 . 1,5666 = R$ 15,67. b. Para ter R$ 15,67 em 90 dias em uma aplicação composta com taxa efetiva de 0,5% ao dia, qual é o valor que de aplicação? Resposta: R$ 14,50 . 0,6383 = R$ 10. Para utilizar as tabelas de fatores de cálculo, bastou encontrar o valor de intersecção entre a taxa efetiva do juro simples e o valor desejado de “n”; depois multiplicar esse valor (= fator de cálculo) com Valor Futuro ou Valor Presente. Esta é a lógica das tabelas dos vendedores. 10 Agora que você já sabe deduzir e usar o fator de cálculo, então, só falta estudar como resolvemos a capitalização por juros compostos, condição VP e VF, em uma calculadora financeira HP 120c. 1.3 Capitalização composta de juros na calculadora financeira Para realizar o cálculo dos juros compostos, na condição VP e VF, na HP 12c, vamos precisar dos comandos que estão na primeira linha de cima da máquina. Lá, usaremos os comandos brancos “n, i, PV, FV” e, também, o comando “CHS”. O melhor jeito de explicar é com um exemplo: Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é mensal por juros compostos, qual o juro e o valor futuro da aplicação? Passo 1: ajustar os dados para uso na HP 12c n = 10 meses (nada precisa ser feito, n = meses = capitalização mensal); i = 24% ao ano 24% / 12 meses = 2% ao mês (lembre-se da aula 1). Passo 2: lançar os dados F CLx (limpa a máquina); F 4 (ajusta a máquina para 4 casas decimais); Verificar se a Hp 12 c está na forma exponencial4: a. Se o visor tem a letra “c”, a Hp está na forma exponencial. b. Se o visor não tem a letra “c” na tela, então a Hp está na forma linear (mista) e precisa ser alterada para forma exponencial (o “c” precisa aparecer na tela), use o comando: “STO”; “EEX” para ativar o “c”. 10 n (lançamento dos dias); 2 i (taxa é lançada ao ano como se tivesse %, ou seja, não pode 0,02); 100 CHS PV (CHS para trocar o sinal para negativo, pois é desencaixe); FV (Valor futuro); Na tela, aparece o valor do juro => R$ 121,8994 (juros); F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); 4 Os juros compostos que estamos estudando agora é a forma pura, ou seja, todo o período de tempo está no expoente do cálculo, por isso, essa forma é chamada de exponencial. No próximo item iremos estudar o que é essa tal de forma linear, por enquanto, vamos apenas usar o comando.11 Na tela aparece o valor futuro => + R$ 121,90 (na HP os sinais atendem a lógica do fluxo de caixa: se R$ 100 era desencaixe, então R$ 121,90 é encaixe, por isso, sinal positivo). Observação: aqui, usei “F4” e “F2” somente para ensinar como muda o número de casas decimais no visor. Todavia, quero que fique bem claro que o número de casas decimais que aparece no visor não altera a precisão dos cálculos na Hp12c. O motivo? Simples, a máquina continua a usar nas operações as casas decimais que não estão visíveis. Por exemplo, F CLx (limpa os registros); F 0 (zero casas decimais); 5 enter; 2 ; Aparece 3 na tela; 4 x; Aparece 10 na tela. Entendeu? Se você usar “F0” não terá casas decimais no visor, sendo assim, se dividir o n. 5 por 2 na tela irá aparece o n. 3 (a forma arredonda de 2,5), agora, se multiplicarmos esse número por 4, o resultado “não” será 12, ele será o n. 10 (=2,5 x 4). Portanto, ela mostra 3 na tela, mas usa no cálculo o 2,5. TEMA 2 – CAPITALIZAÇÃO MISTA OU LINEAR Tudo o que vimos até agora é a forma mais comum no uso da capitalização composta, ela é denominada de capitalização composta exponencial (pois, como já foi dito na nota de rodapé, o valor do n está totalmente no expoente). Todavia, convém ressaltar que existe ainda uma modalidade mista de capitalização, onde temos na composição do modelo financeiro tanto a capitalização composta como a capitaliza simples. Este tipo de capitalização é denominado de capitalização linear ou, obviamente, de capitalização mista: VF = VP . (1 + i) n’ . (1 + i . n’’) Onde: VF = Valor futuro; VP = Valor presente; 12 i = Taxa de juro efetiva (que é igual para ambos os parênteses); n’ = período inteiro do tempo; n’’ = período fracionário do tempo; n = período total, isto é, a soma de n’ e n’’ n = n’ + n’’. Ficou preocupado com a fórmula? Então, fique tranquilo, primeiro porque não é assim tão difícil e, segundo, porque somente existe diferença nos resultados das contas entre a forma exponencial e linear se, e somente se, o valor do n (isto é, o tempo) tiver valores quebrados (fracionários), por exemplo: 2,5 meses, 1,3 meses etc. Vamos ver um exemplo: Paulo quer aplicar R$ 100 por 10,5 meses em um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é linear e mensal, qual será o valor futuro dessa aplicação? VF = VP . (1 + i) n’ . (1 + i . n’’) VF = $100 . (1 + 2%) 10 . (1 + 2% . 0,5) VF = $100 . 1,218994 . (1 +1% VF = $100 . 1,218994 . 1,01 VF = $100 . 1,2312 VF = $ 123,12 Entendeu? O valor de n igual a 10,5 meses foi decomposto em n’ =10 e n’’ = 0,5. O valor de n’ (a parte inteira) foi usada na capitalização composta, já n’’ (a parte fracionária) foi usada na capitalização simples. Sendo assim, o produto dos fatores 1,218994 (capitalização composta) e 1,01 (capitalização simples) é o fator de cálculo da capitalização linear (ou mista), ou seja, fc = 1,2312: Vamos resolver esse problema com o uso da Hp 12c. Passo 1: ajustar os dados para uso na HP 12c n = 10,5 meses (nada precisa ser feito, n: meses = capitalização: meses); i = 24% ao ano 24% / 12 meses = 2% ao mês (lembre-se da aula 1). Passo 2: lançar os dados F CLx (limpa a máquina); F 4 (ajusta a máquina para 4 casas decimais); Verificar se a Hp 12 c está na forma linear: a. Se o visor não tem a letra “c” na tela, então a Hp está na forma linear; 13 b. Se o visor tem a letra “c” na tela, então a Hp está na forma exponencial e precisa ser alterada para forma linear (o “c” precisa sumir); use o comando: “STO”; “EEX”, isto vai desativa o “c” 10,5 n (tempo integral = n’ + n’’); 2 i (taxa); 100 CHS PV (CHS para trocar o sinal para negativo, pois é desencaixe); FV (Valor futuro); Na tela aparece o valor do juro => R$ 123,1184 (Juros); F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); Na tela aparece o valor futuro + R$ 123,12 (VF). Por fim, caso você resolva refazer o cálculo com capitalização exponencial, o resultado final será menor, ele será R$ 123,1124 = R$ 123,11. Ou seja, ele será menor que o valor linear! O motivo? Simples, porque quando a gente faz o cálculo de uma potência com a parte quebrada de um número, estamos tirando uma raiz, veja este exemplo: 25 0,5 = 25 1/2 = √25 2 = 5 (isto é o que ocorre n’’ com “c” na tela) 25 . 0,5 = 25 . 50% = 12,5 (isto é o que ocorre n’’ sem “c” na tela) Resumindo a ópera, temos que quando usamos o n’’ (parte fracionária) no cálculo exponencial aquela parte é uma raiz, já quando usamos o n’’ no juro simples ele é uma percentagem. É por isso que partes fracionárias em cálculos financeiros exponenciais apresentam resultados menores se comparados com os resultados de cálculos lineares. E, assim, encerramos este tema de conceitos sobre capitalização do capital por juros compostos de “VP para VF” e de “VF para VP”, assim, podemos nos aprofundar em operações mais complexas no uso do juro composto como, formas descontos, por exemplo. Então, vamos lá! TEMA 3 – DESCONTO RACIONAL Como vimos, na aula 2, uma operação de desconto é uma operação inversa ao processo de capitalização. Nela, retiramos o juro que está incorporado no valor futuro (aqui chamado de Valor nominal) até o momento em que estamos antecipando o pagamento, obtendo, assim, o valor atual do título: 14 VA = VN – D Onde: VA: Valor atual no momento do efetivo pagamento; VN: Valor nominal = valor na data original de vencimento da dívida; D: Desconto até o momento do efetivo pagamento. A questão chave aqui é que este cálculo – isto é, o procedimento de desconto – pode ser feito tanto por dentro (desconto racional) como por fora (desconto comercial), tudo depende do contrato firmado entre quem cede e quem recebe o capital. Neste tópico, nosso foco será o desconto racional composto. Ele é assim chamado, pois seu cálculo é feito por meio do uso de uma razão (= uma divisão na forma de fração), dado o fato de partimos do uso da fórmula de capitalização para definir o “Valor atual” e o “Valor do desconto”: a. Valor atual racional Sendo, VF = VP . (1 + i)n, Onde, VP = 𝑉𝐹 (1+𝑖)𝑛 VP = VF / (1 + i) n Então, se substituirmos o VP (Valor presente) por VA (Valor atual) e o VF (Valor futuro) por VN (Valor nominal), teremos: Equação 1 – Valor atual racional VA r = 𝑉𝑁 (1+𝑖)𝑛 VA r = VN / (1 + i) n Onde: VA r = Valor atual no momento do pagamento pelo método racional. VN = Valor nominal = valor da dívida na data original de vencimento. Esta é a fórmula do valor atual! b. Desconto racional Sendo, D r = VN - VA r , Onde, VA r = VN / ( 1 + i ) n 15 Então, D r = VN - VN / ( 1 + i ) n Sendo assim, D r = VN . [ 1 - 1 (1+𝑖)𝑛 ] Esta é a fórmula do desconto racional! Todavia, nada impede que você faça da fórmula “Dr= VN – VAr”, para tanto, basta calcular antes o VAr. Por fim, resta dizer que, pelo fato do desconto racional ser calculado em relação ao valor atual, ele é denominado pelo mercado como um desconto por dentro. Agora, vamos exercitar: A Loja “Roupas Sónois Éketem Ltda” tem uma duplicata para receber de um cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está precisando de dinheiro hoje e a citada duplicata só vai vencer daqui dois meses. Sendo assim, o dono da loja vai até um amigo e pede para ele descontar a duplicata. Isto é, o amigo fica com a duplicata (fica com direito de receber o valor do título na data do vencimento) e antecipa o dinheiro mediante um valor dedesconto. O amigo aceita descontar a duplicata por uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, por meio do cálculo do desconto racional composto. Qual é o valor do desconto e qual é o valor que o dono da loja vai receber nesta operação? Solução: a. No desconto racional, a primeira coisa é achar o valor atual: VA r = VN / (1 + i) n VA r = 1000 / (1+1,5%) 2 VA r = 1000 /1,030225 VA r R$ 970,66 (valor que o dono da loja vai receber) Após determinar o valor atual, encontramos o valor do desconto: Dr = VN – VA Dr = 1000 - 970,66 Dr R$ 29,34 (valor do desconto) Ou, podemos usar a outra fórmula: D r = VN . [1 - 1 /(1 + i) n ] Dr = 1000. [1 – 1/(1 + 1,5%) 2] Dr =1000. [1 – 1 / 1,030225 ] Dr = 1000. [1 – 0,970662] Dr = 1000 . 0,029338 16 Dr R$ 29,34 (desconto cobrado pelo amigo) Viu? É bem simples, o desconto racional é exatamente o processo inverso da operação de capitalização VP para VF. Dado esse fato, uma operação de desconto racional, na HP 12c, pode ser executada informando VF e solicitando o VP; veja a resolução do exemplo na calculadora: Passo 1: Achar o valor presente (atual) F CLx (limpa a máquina); F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); Aqui não precisa verificar se a Hp 12 c está na forma exponencial, pois o “n” não tem valor quebrado; 2 n (meses de antecipação); 1,5 i (taxa); 1000 CHS PV (baixa do caixa, o título saiu); PV = na tela aparece 970,66 (valor atual, sinal positivo dinheiro entrou). Passo 2: Achar o valor do desconto (lógica => D = M – VAr): F CLx (limpa a máquina); 1000 Enter (valor montante); 970,66 (valor atual); - (na tela aparece 29,34, valor do desconto). Então, é isso... desconto racional composto nada mais é do que uma operação inversa da capitalização composta exponencial. Agora, vamos para o desconto comercial composto. TEMA 4 – DESCONTO COMERCIAL O desconto comercial é assim chamado, pois seu cálculo é amplamente utilizado nas operações comerciais de desconto de títulos para antecipação de recebíveis. Ou seja, se uma loja quer antecipar o valor de uma duplicata que irá receber daqui 2 meses, a operação, por certo, será por meio deste desconto. O seu cálculo é feito em relação ao valor nominal (o valor de face da dívida) e, na mesma forma que o racional, tem duas fórmulas a serem consideradas: “Valor Atual” e o “Valor do desconto”: a. Valor atual comercial (VAc): 17 Fórmula VA c = VN . (1 ─ i) n Como podemos ver na fórmula anterior, o valor atual no desconto comercial composto é muito parecido com a modelagem de capitalização. Na capitalização, temos VF = VP . (1 + i)n, já no desconto comercial temos VP = VF . (1 – i)n . Ou seja, comparando com o cálculo da capitalização, temos que o VF e o VP estão invertidos e o sinal do taxa i positivo “+” tornou-se negativo “–”. Observação: pelo fato do desconto comercial ser calculado em relação ao valor nominal (ou seja, o valor futuro da dívida), ele é denominado pelo mercado como um desconto por fora. b. Desconto comercial (Dc): Sendo, Dc = VN ─ VAc Onde, VA c = VN . (1 ─ i) n Então, Dc = VN ─ VN . (1 ─ i) n Portanto, Dc = VN . [1 ─ (1 ─ i ) n ], Esta é a fórmula base do desconto comercial! Todavia, nada impede que você faça da fórmula “Dc= VN – VAc”, basta calcular antes o VAc. Vamos exercitar! A Loja “Roupas Sónois Éketem Ltda” tem uma duplicata de um cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está precisando de dinheiro hoje e a citada duplica só vai vencer daqui dois meses. Sendo assim, o dono da loja vai até um amigo é pede para ele descontar a duplicada. O amigo aceita descontar a duplicata por uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, por meio do cálculo do desconto comercial composto. Qual é o valor do desconto e qual é o valor que o dono da loja vai receber? Solução a. No desconto comercial a primeira coisa é achar o valor atual do título: VA c = VN . (1 ─ i) n VA c = 1000 . (1 ─ 1,5%) 2 VA c = 1000 . 0,970225 VA c = R$ 970,2250 R$ 970,23 18 Ou seja, R$ 970,23 é o valor que o dono da loja vai receber. b. Após determinar o valor atual, encontramos o valor do desconto: Dc = VN – VAc Dc = 1000 – 970,225 Dc = R$ 29,775 R$ 29,78 ( valor do desconto ) ou Dc = VN . [ 1 ─ (1 ─ i ) n ] Dc = 1000 . [ 1 ─ (1 ─ 1,5% ) 2 ] Dc = 1000 . [ 1 ─ 0,970225 ] Dc = 1000 . 0,029775 Dc R$ 29,78 (valor do desconto) Convenhamos, é bem tranquilo aplicar o desconto comercial. Afinal de contas, ele é muito parecido com a modelagem de capitalização. E, dado esse fato, podemos realizar a operação de desconto comercial, na HP 12c, por meio de algumas adaptações: I. Informando VF no comando VP; II. Solicitando o VP no comando VF; III. Informando a taxa de desconto com valor negativo. Veja a solução de nosso exemplo na calculadora: Passo 1: Achar o valor presente (atual) F CLx (limpa a máquina); F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); 2 n (lançamento dos meses); 1,5 CHS i (taxa de desconto com sinal negativo, por ser (1 - i)n; 1000 CHS PV (baixa do caixa); PV = na tela aparece => 970,23 (valo atual). Passo 2: Achar o valor do desconto F CLx (limpa a máquina); 1000 Enter (valor montante); 970,23 (valor atual); - (na tela aparece 29,77)*. 19 Observação: aqui, deu uma diferença de 0.01, pois nós digitamos 970,23 (que é um número arredondado). Todavia, devemos esclarecer que essa diferença não tem materialidade (não é significante). TEMA 5 – VALOR EQUIVALENTE E TÍTULOS EQUIVALENTES Como já discutimos em juros simples (aula 2), no mercado, normalmente as operações do dia a dia não são realizadas apenas com 1 título, elas são feitas, muitas vezes, em lotes com vários títulos. Sendo assim, se faz necessário estabelecer algum artefato matemático que nos auxilie nesses casos. Dentre as possibilidades existentes, costuma-se utilizar, para os juros compostos, o valor de equivalência. Ou seja, quando temos vários títulos estabelecemos qual é o valor de equivalência para todos eles, considerando em uma data específica, denominada de data focal. Agindo assim, podemos trocar vários títulos com datas diferentes por um único título equivalente, ou por um valor (caso a operação seja de desconto). Esta lógica segue, em geral, os preceitos do desconto racional, sendo assim, apresenta a modelagem abaixo: Equação 2 – Troca de títulos VP = ∑ .𝑚𝑗=1 𝑉𝐹𝑗 (1+ 𝑖 ) 𝑛 𝑗 VP = 𝑉𝐹1 (1+ 𝑖 )𝑛1 + 𝑉𝐹2 (1+𝑖 )𝑛2 + …+ 𝑉𝐹 𝑚 (1+ 𝑖 )𝑛 𝑚 VP = ∑ .𝑚𝑗=1 𝑉𝐹𝑗 (1+ 𝑖 ) 𝑛 𝑗 VP = ∑ . 𝑚 𝑗=1 𝑉𝑃 𝑗 VP = 𝑉𝑃 1 + 𝑉𝑃 2 +…+ 𝑉𝑃 𝑚 Onde: VP: Valor presente = VA (Valor atual); VF: Valor futuro = VN (Valor nominal); i: Taxa de juro; j: Identifica o título no cálculo (ex.: “VF2” e “n2” são elementos do título 2); m: representa a identificação do último título do lote analisado. Resumindo a ópera, quando temos muitos títulos com diferentes datas de vencimento, realizamos o desconto racional em cada um deles para uma mesma data, usando um mesmo valor de taxa i. Depois, somamos os valores atuais. Achou difícil? Então, vamos exemplificar. A seguir, temos dois exemplos sobre 20 esse modelo: um para explicar o que são valores equivalentes e outro para ilustrar o que são títulos equivalentes: 5.1 – Exemplo 1 Uma empresa tem um lote com três títulos a receber, conforme os valores nominais (VN) e prazos em meses (n) informados na tabela que segue. Tabela 3 – Valores nominaise prazos em meses Títulos VN n 1 R$ 8.000,00 2,0 2 R$ 3.000,00 4,0 3 R$ 7.000,00 5,0 Acontece que, por questões de falta de caixa, ela deseja antecipar esse lote de títulos. O Banco informa que a taxa desconto mensal será de 5%. Sendo assim, responda: Sendo o desconto aplicado racional composto, qual é o valor atual equivalente ao lote de títulos? Solução VP = ∑ .𝑚𝑗=1 𝑉𝐹𝑗 (1+ 𝑖 ) 𝑛 𝑗 VP = 8000 (1+5%)2 + 3000 (1+5%)4 + 7000 (1+5%)5 VP = ∑ .𝑚𝑗=1 𝑉𝐹𝑗 (1+ 𝑖 ) 𝑛 𝑗 VP = 8000 1,1025 + 3000 1,2155 + 7000 1,2763 VP = ∑ .𝑚𝑗=1 𝑉𝐹𝑗 (1 + 𝑖 ) 𝑛 𝑗 VP = 7256,24 + 2468,11 + 5484,68 = R$ 15.209,03 Resposta: A empresa leva um lote no valor de R$ 18 mil em títulos e, se aceitar a condição apresentada, sai do banco com um valor de R$ 15.209,03 em dinheiro. Pois, para o banco, R$ 15.209,03 hoje é a mesma coisa (equivale) a 21 ter um lote de títulos com R$ 8 mil para 2 meses; R$ 3 mil para 4 meses; R$ 7 mil para 5 meses. Agora, vamos aprofundar essa lógica, vamos ver uma situação de troca de títulos! E, para facilitar nossa vida, vamos usar os mesmos números do exemplo anterior, porém, dentro de outra realidade transacional. 5.1 – Exemplo 2 Uma empresa tem com um fornecedor um lote com quatro títulos a pagar, conforme os valores nominais (VN) e prazos em meses (n) informados na tabela que segue. Tabela 4 – Valores nominais e prazos em meses Títulos VN n 1 R$ 8.000,00 2,0 2 R$ 3.000,00 4,0 3 R$ 7.000,00 5,0 Acontece que, por questões de falta de caixa, ela deseja trocar os três títulos por um único documento de dívida com data de vencimento para 6 meses. Ou seja, ela não tem caixa para pagar as dívidas antes de 6 meses. O fornecedor aceita a troca se, e apenas se, o novo título for equivalente ao lote dos três títulos na data focal zero, considerando uma taxa de desconto de 5% ao mês. Sendo assim, responda: Qual deve ser o valor do novo título para ele ter equivalência na data focal zero com o lote informado? Solução Primeiro, vamos calcular o VA (=VP) do lote dos três títulos na data focal zero: VP = 8000 (1+5%)2 + 3000 (1+5%)4 + 7000 (1+5%)5 VP = R$ 15.209,03 22 Agora, vamos calcular o VF do novo título para ter o mesmo valor atual do lote na data focal zero, considerando uma taxa de 5% ao mês: VF = VP . (1 + i) n VF = 15.209,03 . (1 + 5%) 6 VF = R$ 20.381,55 Resposta: Considerando um prazo de 6 meses, o título equivalente à uma taxa de 5% ao mês é de R$ 20.381,55. Ou seja, para o fornecedor receber R$ 18 mil parcelados (8 mil em 2 meses + 3 mil em 4 meses + 7 mil em 5 meses), equivale a ter um único pagamento de R$ 20.381,55 em seis meses, considerando uma taxa de juro de 5% ao mês. Entendeu o que significa o título equivalente ou valor equivalente? Mais o menos? Então veja essa passagem de Castanheira e Macedo (2010, p. 84 – grifo nosso): Ao necessitarmos substituir um título por outro, é preciso ter a certeza de que os títulos são equivalentes. Tal substituição pode ocorrer quando se deseja ou antecipar ou postecipar o pagamento de um título. Trata-se, portanto, da troca de papéis. É importante ressaltar que dois títulos só são equivalentes a uma determinada taxa. Alterando o valor da taxa, a equivalência desaparecerá. Agora você entendeu! A equivalência na data focal somente vale para certo valor de taxa, ou seja, o valor de R$ 15.209,03 somente equivale aos três títulos no momento zero se a taxa de desconto for 5%, na mesma forma, R$ 20.381,55 somente equivale aos três títulos se a taxa for 5%; se mudar a taxa, esses valores de equivalência se perdem, pois outros valores surgirão. Bem, por hoje basta, já vimos todos os elementos essenciais sobre o sistema de capitalização e desconto por juros compostos, considerando o momento VP e VF (ou VA e VN). Com essa bagagem, já podemos desenvolver os conteúdos presentes nas aulas 4 e 5, quando iremos estudar algumas das formas específicas no uso do artefato dos juros compostos em séries uniforme e não uniformes. TROCANDO IDEIAS Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos vários conceitos sobre o processo de capitalização composta. Agora, entre no Fórum da disciplina e, usando este conhecimento geral adquirido, reflita com seus pares quando é interessante usar a convenção linear e quando é interessante usar a 23 convenção exponencial, tanto pela ótica do que cede o capital como, também, pela ótica de quem o recebe. NA PRÁTICA a. Leitura do caso. O Sr. Kenenóis tem uma dívida no valor de R$ 2,5 mil que vai vencer daqui a 10 dias, porém, ele deseja quitá-la hoje. Sabendo que o desconto contratual é por desconto racional composto e que a taxa de juro efetiva é de 1,5% ao mês, responda: qual será o valor atual da dívida e do desconto? b. Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o problema Para resolver esse problema, precisamos encontrar o valor atual racional e o valor do desconto racional (Tema 3). c. Apresentação da solução do problema Passo 1: encontrar o valor atual racional: 1. Preparar os dados: i = 1,5% ao mês (taxa efetiva, então já está certa) n = 10 dias (se a taxa efetiva é mensal, então dias precisar virar mês) n = 10 dias / 30 dias de 1 mês = 1/3 = 0,3333 meses 2. Cálculo VAr = VF / (1+ i)n VAr = 2,5 mil / (1+ 1,5%) 0,333 VAr = 2,5 mil / (1+ 0,015) 0,333 VAr = 2,5 mil / 1,004975 VAr = 2,487624 mil = R$ 2.487,62 (valor atual) Passo 2: encontrar o desconto racional Dr = VN – VAr = 2.500,00 - 2.487,62 = R$ 12,38 (desconto) Resposta: Valor atual de R$ 2.487,62; Desconto de R$ 12,38. 24 FINALIZANDO Nesta aula, estudamos os juros compostos. Vimos as diferentes formas de obtermos o valor presente e o valor futuro (fórmulas, fator de cálculo e Hp 12c). Também estudamos as duas formas possíveis de desconto (racional e comercial). E, por fim, vimos como é possível encontrar o valor de equivalência para operações de desconto para lotes com vários títulos ou para operações de troca de títulos (títulos equivalentes). Tudo isso foi visto utilizando exemplos numéricos nos quais os cenários foram sendo alterados didaticamente para facilitar a sua aprendizagem. Espero que tenha gostado e, sem mais para o momento, desejo-lhe bons estudos e a gente se vê na aula 4! 25 REFERÊNCIAS ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira: uma abordagem prática. Curitiba: InterSaberes, 2013. CASTANHEIRA, N. P; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Ibpex, 2010. RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da Engenharia Econômica. Curitiba: Ibpex, 2011.
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