001 raciocinio logico weber campos analise combinatoria

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Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
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Sumário 
ANÁLISE COMBINATÓRIA ....................................................................................................................................... 2 
1. Introdução......................................................................................................................................................................2 
2. Técnicas da Análise Combinatória................................................................................................................................3 
2.1. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)..................................................................................................3 
2.2. Arranjo...........................................................................................................................................................5 
2.3. Combinação...................................................................................................................................................7 
2.4. Permutação Simples.......................................................................................................................................9 
2.5. Permutação Circular.....................................................................................................................................10 
2.6. Permutação com Repetição..........................................................................................................................10 
Exercícios.........................................................................................................................................................................12 
Gabarito............................................................................................................................................................................12 
Exercícios Complementares.............................................................................................................................................13 
 
 
 
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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
1. INTRODUÇÃO 
 Questões de análise combinatória serão aquelas que perguntarão de quantas formas pode 
ocorrer um determinado evento. Vejamos alguns exemplos: 
1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila 
de cinema? 
2) Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo-se dos algarismos (1, 
2, 3, 4, 5)? 
3) Quantos tipos de saladas, feita de três tipos de frutas diferentes, podem ser formados com 
as seguintes frutas: banana, maçã, manga, uva, laranja, mamão, melão? 
Ou seja, a Análise Combinatória se presta ao seguinte: a descobrir o número de 
maneiras possíveis de se realizar um determinado evento! 
Um exemplo melhor, para esclarecer o que foi dito. 
Exemplo 01: Suponhamos que eu tenho uma moeda na mão e vou lançá-la três vezes para o 
ar. A pergunta é: quantos são os resultados possíveis para esses três lançamentos da moeda? 
Ora, se fôssemos tentar descrever todas as possibilidades, poderíamos fazê-lo por intermédio 
de um desenho, chamado diagrama da árvore. Da seguinte forma: 
1º Lançamento 2º Lançamento 3º Lançamento Resultados 
 Cara -- K, K, K 
 Cara 
 Coroa -- K, K, C 
 Cara 
 Cara -- K, C, K 
 Coroa 
 Coroa -- K, C, C 
 Cara -- C, K, K 
 Cara 
 Coroa -- C, K, C 
 Coroa 
 Cara -- C, C, K 
 Coroa 
 Coroa -- C, C, C 
 
Nos resultados, chamamos cara de K e coroa de C. E assim, por meio do desenho acima, 
percebemos que há oito diferentes possíveis resultados para o lançamento de uma moeda três vezes! 
moeda 
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Ocorre que seria muito custoso termos que, a cada novo problema, fazer o tal do diagrama da 
árvore! 
Aí entra a Análise Combinatória! Usando técnicas simples, podemos chegar ao resultado 
procurado, sem precisar desenhar os resultados possíveis! Veja adiante como faremos isso. 
 
2. TÉCNICAS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA 
2.1 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) 
 Este princípio também é conhecido como Princípio Multiplicativo. 
 Consiste em quê? Consistem em dividirmos o nosso evento em etapas. E para cada uma 
dessas etapas, individualmente analisadas, descobriremos qual o seu número de resultados possíveis! 
 Tomemos o exemplo da moeda acima. O evento consiste em lançar uma moeda três vezes. 
Daí, fica bem fácil dividi-lo em etapas: cada etapa será um lançamento. 
 1ª etapa) 1º lançamento da moeda; 
 2ª etapa) 2º lançamento da moeda; 
 3ª etapa) 3º lançamento da moeda. 
 Pois bem! Temos que descobrir os resultados possíveis individuais de cada etapa. 
 Ou seja, ao lançarmos a moeda a primeira vez, quantos serão os resultados possíveis para esse 
primeiro lançamento? Dois, obviamente! (Cara ou coroa!). O mesmo se dará com o segundo 
lançamento e com o terceiro. Daí, teremos: 
 1ª etapa) 1º lançamento da moeda  2 resultados possíveis 
 2ª etapa) 2º lançamento da moeda  2 resultados possíveis 
 3ª etapa) 3º lançamento da moeda  2 resultados possíveis 
 Finalmente, o Princípio Fundamental da Contagem vem nos dizer: agora, basta multiplicar 
os resultados parciais (de cada etapa), e teremos o resultado total (para todo o evento)! 
 Teremos: 2x2x2=8  A mesma resposta do diagrama da árvore! 
 Sem precisarmos fazer desenho algum, concluímos que há oito possíveis resultados para o 
lançamento de uma moeda três vezes! 
Enunciado do Princípio Fundamental da Contagem: 
 Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas de tal modo que: 
 P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa; 
 P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa; 
 . 
 Pk é o número de possibilidades da ―k-ésima‖ etapa, então: 
 
(P1 x P2 x ... x Pk) é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer! 
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Exemplo 02: (FCC) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos 
lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da 
cidade A paraa cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a 
quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente 
por B? 
a) 8 b) 10 c) 15 d) 16 e) 20 
Sol.: 
 Nosso objetivo aqui é o de, partindo da cidade A, chegar a Roma, passando necessariamente 
pela cidade B. 
 Facilmente percebemos que há como dividir esse evento em duas etapas bem definidas: 1ª) 
Partir de A e chegar a B; 2ª) Partir de B e chegar a Roma. 
 Trabalharemos com o Princípio Fundamental da Contagem! 
  Da cidade A para a cidade B, teremos: 3 caminhos possíveis; 
  Da cidade B para Roma, teremos: 5 caminhos possíveis. 
 Multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos: 
  3 x 5 = 15  Número total de possibilidades do evento completo! 
 Resposta: Alternativa C. 
 
Exemplo 03: Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 
2º e 3º lugares? 
Sol.: 
 Quais serão as etapas desse evento? Ora, a definição do 1º colocado, a do 2º e a do 3º! 
 Três etapas, portanto. Teremos: 
  1ª etapa) Definição do 1º colocado  4 resultados possíveis; 
  2ª etapa) Definição do 2º colocado  3 resultados possíveis; 
  3ª etapa) Definição do 3º colocado  2 resultados possíveis. 
 Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 
  4x3x2 = 24  Resposta! 
 Ou seja, podem ser formados 24 diferentes resultados de 1º, 2º e 3º colocados numa corrida, 
dispondo-se de 4 competidores. 
 
 
 
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Exemplo 04: Quantos números de três algarismos – distintos – podem ser formados, dispondo 
dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5? 
Sol.: Vamos dividir em três etapas: definição do primeiro algarismo, definição do segundo e 
definição do terceiro. 
Veja que existe uma restrição a ser observada: ―um número nunca inicia por zero‖. Uma 
senha numérica (do banco, do cofre...) pode iniciar por zero, mas um número não. 
Teremos: 
  1ª etapa) definição do primeiro algarismo: 5 resultados possíveis. O algarismo zero não 
conta. 
  2ª etapa) definição do segundo algarismo: 5 resultados possíveis. Dispomos de seis 
algarismos, mas já usamos um deles na primeira posição. Resta-nos, portanto, cinco. 
  3ª etapa) definição do terceiro algarismo: 4 resultados possíveis. Dispomos de seis 
algarismos, mas já usamos dois deles nas duas primeiras posições. Resta-nos, portanto, quatro. 
 Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 
  5x5x4= 100  Resposta! 
 
2.2. ARRANJO 
Para usar o Arranjo é necessário que não haja repetição dos elementos dentro do grupo a ser 
formado, e a ordem dos elementos deve ser relevante. Assim: 
1º Passo) Criaremos um resultado possível para o grupo; 
2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1º passo); 
3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão diante de nós (1º e 2º passos): Se forem 
resultados diferentes: resolveremos a questão por Arranjo! 
 
A fórmula do Arranjo é a seguinte: 
Onde: 
 n é o número de elementos do conjunto universo; e 
 p é o número de elementos do grupo a ser formado. 
 Para quem anda mais esquecido, esse sinal de exclamação (!) significa a operação fatorial. 
Trata-se, tão somente, de um produto que se inicia com o próprio valor (que antecede o sinal ―!‖) e 
vai se reduzindo até chegar a um. 
 Exemplos: 
  8!= 8x7x6x5x4x3x2x1 
  5!= 5x4x3x2x1 
  1!= 1 
E assim por diante! 
)!(
!
,
pn
n
A pn


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 Obs.: O fatorial de zero não segue a regra acima, o valor dele é: 0! = 1. 
 Sempre que formos fazer uma divisão entre fatoriais, repetiremos o menor deles, e 
desenvolveremos o maior até que se iguale ao menor. 
 Exemplo: 
 
!5
!5678
!5
!8 

 
 E agora? Ora, agora resta cortarmos o 5! do numerador com o do denominador. E teremos 
apenas que: 
 
678
!5
!5678
!5
!8



= 336 
 
Exemplo 05: Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos 
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 
Solução: 
 1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (1 2 3) 
 O número cento e vinte e três. Pode ser? Claro! 
 2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1) 
 Chegamos ao número trezentos e vinte e um. 
 3º Passo) A comparação! São iguais ou diferentes os dois resultados acima? 
 Ora, tratando-se de números, é claro que são distintos! 
 Conclusão: resolveremos a questão por Arranjo! 
 
 O ―conjunto universo‖ tem 5 elementos (são os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5). Ou seja, n=5. Os 
grupos terão apenas 3 elementos (números de 3 algarismos). Daí, p=3. Agora, só nos resta aplicar a 
fórmula do Arranjo. Teremos: 
  
)!(
!
,
pn
n
A pn


 
 




 345
!2
!2345
!2
!5
)!35(
!5
3,5A
60  Resposta! 
 Ou seja, podemos formar 60 números com 3 algarismos distintos, dispondo dos algarismos 1, 
2, 3, 4 e 5. 
 
Importante: Toda questão que pode ser resolvida por Arranjo, poderá também ser resolvida pelo 
Princípio Fundamental da Contagem! O caminho de volta – Princípio Fundamental da Contagem 
para Arranjo – nem sempre será possível! 
 
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Obs.: No Princípio Fundamental da Contagem (PFC) a ordem dos elementos também é relevante. 
Veja os exemplos 1, 3 e 4. No Exemplo 2, a uma ordem estabelecida: 1ª) Partir de A e chegar a B; 
2ª) Partir de B e chegar a Roma. Portanto, um desses dois critérios: ―ordem relevante‖ ou ―ordem 
estabelecida‖, devem ser verificados para o uso do PFC. 
 
2.3. COMBINAÇÃO 
Assim como o arranjo, não pode haver repetição dos elementos no grupo a ser formado. 
Contudo, agora a ordem dos elementos NÃO é relevante. Assim: 
1º Passo) Criaremos um resultado possível para o grupo; 
2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1º passo); 
3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão diante de nós (1º e 2º passos): Se forem 
resultados iguais: resolveremos a questão por Combinação! 
A fórmula da Combinação é a seguinte: 
)!(!
!
,
pnp
n
C pn


 
Onde: 
 n é o número de elementos do conjunto universo; e 
 p é o número de elementos do grupo a ser formado. 
 
Exemplo 06: Dispondo das seguintes espécies de frutas {maçã, mamão, melão, banana, manga, 
uva, laranja e melancia}, quantos tipos de saladas podem ser formadas, contendo três tipos de 
frutas? 
Solução: 
 1º Passo) Criando um resultado possível: (mamão, melão e maçã) 
 2º Passo) Invertamos a ordem! Teremos: (maçã, melão e mamão) 
 3º Passo) Comparemos: 
 A salada do primeiro passo é igual ou é diferente da salada do segundo passo? O sabor 
é o mesmo? Claro que sim! Os resultados são iguais! 
 Conclusão: a questão sai por Combinação! 
 O ―conjunto universo‖ tem 8 elementos (as oito frutas disponíveis). Ou seja, n=8. Osgrupos 
terão apenas 3 elementos (as três frutas usadas na salada). Daí, p=3. Agora, só nos resta aplicar a 
fórmula da Combinação. Teremos: 
 
)!(!
!
,
pnp
n
C pn


 
 









123
678
123.!5
!5678
!5!.3
!8
)!38(!3
!8
3,8C
56 
 Ou seja: podem ser formados 56 tipos de saladas, com três espécies de frutas, dispondo 
daquelas oito espécies relacionadas! 
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Exemplo 07: Num jogo da Mega Sena, um apostador marcará seis dezenas, entre as 60 
dezenas existentes (01 a 60). De quantas formas diferentes poderá o apostador preencher o seu 
jogo? 
Sol.: 
 Conjunto universo: {60 dezenas} 
 O objetivo é selecionar um grupo de 6 dezenas! 
 Obviamente que tem ser dezenas diferentes! Logo, arranjo ou combinação! 
  Um resultado possível: {10, 20, 30, 40, 50, 60} 
  Invertendo-se a ordem:{60, 50, 40, 30, 20, 10} 
 São apostas diferentes? Não! São perfeitamente iguais! Logo, Combinação! Teremos: 
 
!54123456
!54555657585960
!54!6
!60
)!660(!6
!60
6,60






C
 
 C60,6 = 50.063.860  Resposta! 
 Com essa resposta, descobrimos o número de jogos possíveis, com o uso de seis dezenas, 
numa cartela de loteria. Desse modo, se uma pessoa faz um único jogo de seis dezenas, a chance de 
aquela combinação vir a ser a sorteada é de uma em 50.063.860. 
 
Exemplo 08: Um grupo consta de 10 pessoas, das quais 3 matemáticos. De quantas maneiras 
podemos formar comissões de 5 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da 
comissão? 
Sol.: 
 Ora, se os matemáticos devem fazer parte da comissão, então três lugares da comissão vão 
ficar reservados para os três matemáticos, restando duas vagas ainda a serem preenchidas. Essas 
vagas serão disputadas pelos não-matemáticos, que são um total de 7. 
 Assim, para obtermos o número de comissões diferentes que podem ser formadas, faremos 
uma combinação de 7 pessoas para 2 lugares, ou seja: C7,2. 
 
21
2
67
!52
!567
!5!.2
!7
)!27(!2
!7
2,7 






C
 (Resposta!) 
 
Exemplo 09: Dispondo de um conjunto formado por sete médicos e cinco enfermeiros, 
queremos formar equipes compostas por três médicos e dois enfermeiros. Quantas equipes 
podem ser formadas, nessas condições? 
Sol.: 
 É uma questão de combinação uma vez que a ordem das pessoas dentro da comissão não é 
relevante. 
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 Como faremos agora? Simples: dividiremos a questão em duas! Cada categoria será 
trabalhada em separado da outra. Ou seja, faremos duas operações de Combinação! Teremos: 
 
 Conjunto Universo: { 7 médicos , 5 enfermeiros } 
 Grupo: 
 
 

123!.4
!4567
!3!.4
!7
3,7
xx
xxx
C
35 

12!.3
!345
!2!.3
!5
2,5
x
xx
C
10 
 
Multiplicaremos os resultados de cada lado para chegarmos à resposta: 
  35x10=350  Resposta! 
 
 
2.4. PERMUTAÇÃO SIMPLES 
A permutação simples é quando se deseja apenas a troca de posição dos elementos do grupo. 
 Permutação Simples é tão somente um caso particular do Arranjo. Quando estivermos em 
uma questão de Arranjo (já sabemos como identificá-la!) e observarmos que o n (número de 
elementos do ―conjunto universo‖) é igual ao p (número de elementos dos grupos a serem formados), 
então estaremos diante de uma questão de Permutação! 
Fórmula da Permutação Simples: Pn = n! 
 
Exemplo 10: Três carros (C1, C2 e C3) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades 
de chegada para os três primeiros lugares? 
Solução: 
Teremos, pois, que: 
 P3 = 3 x 2 x 1 = 6  Resposta! 
 
 
Exemplo 11: Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra SAPO? 
Sol.: 
 A primeira coisa a se fazer aqui é explicar o conceito de anagrama. 
 Anagrama é apenas uma formação qualquer que se possa criar com um determinado grupo de 
letras. Essa formação qualquer não precisa ser uma palavra, um vocábulo que conste no dicionário! 
Pode ser algo mesmo ininteligível. Contanto que seja formado por aquelas letras. 
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 Daí, se eu tenho as letras da palavra SAPO, são exemplos de anagramas os seguintes: 
  (S O P A) , (A S P O) , (A S O P), (P S O A), (O P S A) etc. 
Portanto, Anagramas de uma palavra são todas as formações possíveis ao rearranjar as letras. 
 Ora, rearranjar as letras é o mesmo que permutá-las! Assim, podemos afirmar que questões 
de anagrama se resolvem por permutação! Ok? 
 Como SAPO tem 4 letras não repetidas, teremos: 
  P4=4!=4x3x2x1=24 anagramas  Resposta! 
 
2.5. PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
É um caminho de resolução que será utilizado quando estivermos em um problema que sai 
por Permutação, e em que os elementos do grupo estarão dispostos em uma linha fechada, ou seja, 
todos os elementos do grupo terão um elemento a sua esquerda e a sua direita. 
Exemplo 12: De quantas maneiras podemos colocar quatro pessoas em quatro posições ao 
redor de uma mesa redonda? 
Sol.: 
  PC 4 = (4-1)! = 3! = 3x2x1 = 6  Resposta! 
 Portanto, há 6 maneiras de dispor quatro pessoas ao redor de uma mesa redonda. 
 A mesa não precisa necessariamente ser circular, ela pode ter outras formas: quadrada, oval... 
São também questões de permutação circular: 
- o número de maneiras de se fazer um colar com 10 contas coloridas; 
- o número de maneiras de dispor sete crianças em uma brincadeira de roda. 
 
2.6. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 
 É um caso de permutação em que há elementos repetidos no grupo. 
Exemplo 13: Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra PAPAGAIO? 
Sol.: 
 A questão é de anagrama, logo se resolve por Permutação! 
 Daí, a pergunta: entre os elementos do conjunto universo, há algum que se repete? Sim! 
Vejamos: 
  P A P A G A I O 
 Ou seja, a letra P aparece duas vezes, e a letra A aparece três vezes! 
 Daí, teremos uma Permutação com Repetição! Teremos: 
  






!32
!345678
!1!1!1!3!2
!81,1,1,3,2
8P
3.360  Resposta! 
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Exemplo 14: (CESPE) Julgue o item a seguir. 
1. Considere que um decorador deva usar sete faixas coloridas de dimensões iguais, 
pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa 
situação, se três faixas são verdes e indistinguíveis, três faixas são amarelas e indistinguíveis e 
uma faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes 
com essas faixas. 
Sol.: 
 Nesta questão quem se repetesão as cores: 
 - Faixa verde: 3 faixas; 
 - Faixa amarela: 3 faixas; 
 - Faixa branca: 1 faixa. 
 Usando letras para representar as cores, teremos: V V V A A A B 
 Como há repetição dos elementos, temos que utilizar a permutação com repetição: 
 






6!3
!34567
!1!3!3
!71,3,3
7P
140 Item Certo! 
 
Exemplo 15: (CESPE) Julgue o item a seguir: 
1. Com 3 marcas diferentes de cadernos, a quantidade de maneiras distintas de se formar um 
pacote contendo 5 cadernos será inferior a 25. 
Sol.: 
 Considere que as marcas de caderno são X, Y e Z. Agora, faremos as seguintes designações: 
 x é o número de cadernos da marca X no pacote de 5; 
 y é o número de cadernos da marca Y no pacote de 5; 
 z é o número de cadernos da marca Z no pacote de 5. 
Segundo o enunciado, a soma de x, y e z deve ser igual a 5. Daí: 
  x + y + z = 5 
 Desta forma, no desenho haverá 5 pontos e 2 (= 3 variáveis menos 1) barras. 
 
 Se permutarmos esses 7 símbolos (5 pontos e 2 barras) encontraremos todas as soluções 
inteiras não negativas da equação. 
  
21
2!5
!567
!2!5
!72,5
7 


P
 
 Portanto, temos 21 maneiras distintas de se formar um pacote contendo 5 cadernos. Logo, o 
item está Certo! 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
01. (ESAF) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em 
caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao 
pedido da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que 
Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: 
a) 681384 
b) 382426 
c) 43262 
d) 7488 
e) 2120 
02. (Cespe) A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais 
de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o 
Paraguai. Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item. 
1. Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas 
da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização 
terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha. 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1 – A; 2 – Errado. 
 
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
 Com a finalidade de você adquirir mais conhecimento no assunto de Análise Combinatória, 
disponibilizo a seguir uma lista de exercícios resolvidos. 
 
01. O sistema telefônico de uma cidade utiliza oito dígitos para designar os números de 
telefones, onde o primeiro dígito é dois ou três e o dígito zero pode ser utilizado apenas nos 
quatro últimos dígitos. Qual é a quantidade máxima de números de telefones diferentes? 
Solução: 
 O evento agora é compor um número de telefone, observando as restrições previstas no 
enunciado! Como teremos 8 dígitos, trabalharemos também com 8 etapas! Cada etapa corresponde, 
naturalmente, à escolha do respectivo dígito. 
 Este exemplo se diferencia dos anteriores, pois aqui teremos que redobrar nossa atenção, uma 
vez que o enunciado estabelece exigências específicas para algumas das etapas do evento. Por 
exemplo, é dito que o primeiro dígito será 2 ou 3. É dito também que na escolha do segundo, do 
terceiro e do quarto dígitos não poderemos usar o algarismo zero! 
 Essas restrições terão que ser observadas quando formos fazer o cálculo dos resultados 
parciais! Teremos: 
 1ª etapa) Definição do 1º dígito  2 resultados possíveis (só pode ser ―2‖ ou ―3‖); 
 2ª etapa) Definição do 2º dígito  9 resultados possíveis. 
 Senão, vejamos: dispomos dos algarismos do sistema decimal, para escolher um deles que 
ocupará o 2º dígito. São eles: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}. São dez algarismos! Ocorre que o 
enunciado amarra que o algarismo zero não pode ocupar essa segunda casa! Daí, restam 9 resultados 
possíveis! Idêntico raciocínio se repetirá nas duas próximas etapas. 
 3ª etapa) Definição do 3º dígito  9 resultados possíveis. 
 4ª etapa) Definição do 4º dígito  9 resultados possíveis! 
 Para os próximos dígitos não há nenhuma exigência específica, e nenhuma restrição! Ou seja, 
pode ser usado qualquer algarismo do sistema decimal (e são 10!). 
 5ª etapa) Definição do 5º dígito  10 resultados possíveis. 
 6ª etapa) Definição do 6º dígito  10 resultados possíveis. 
 7ª etapa) Definição do 7º dígito  10 resultados possíveis. 
 8ª etapa) Definição do 8º dígito  10 resultados possíveis. 
 Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 
  2x9x9x9x10x10x10x10 = 14.580.000  Resposta! 
 
 
 
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02. (CESPE) Os princípios de contagem, na matemática, incluem: 
I Princípio da Soma: se um evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, E2, de N2 maneiras 
distintas, ..., Ek, de Nk maneiras distintas, e se quaisquer dois eventos não podem ocorrer 
simultaneamente, então um dos eventos pode ocorrer em N1 + N2 + ... + Nk maneiras distintas. 
II Princípio da Multiplicação: considere que E1, E2, ..., Ek são eventos que ocorrem sucessivamente; 
se o evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, o evento E2 pode ocorrer de N2 maneira 
distintas, ..., o evento Ek pode ocorrer de Nk maneiras distintas, então todos esses eventos podem 
ocorrer, na ordem indicada, em N1 × N2 × ... × Nk maneiras distintas. 
Considerando o texto acima e a informação do portal www.mp.to.gov.br, de que, no Ministério 
Público do Estado do Tocantins (MPE/TO), há 85 promotores de justiça e 12 procuradores de justiça, 
julgue os itens subsequentes. 
1. Considere que se deseje eleger, entre os procuradores e os promotores do MPE/TO, um presidente, 
um vice-presidente e um ouvidor, para a direção de um clube dos membros do MPE/TO, de modo 
que nenhuma pessoa possa ser eleita para mais de um cargo. Nessa situação, é correto afirmar que 
há 288 maneiras diferentes de se escolherem os três membros para a direção do clube e este 
resultado é uma conseqüência do Princípio da Soma. E 
2. Há 97 maneiras diferentes de se escolher uma pessoa entre os promotores de justiça e os 
procuradores de justiça do MPE/TO. 
3. Há 70 maneiras diferentes de se constituir um comitê que contenha exatamente 4 membros 
escolhidos de uma lista de 8 procuradores de justiça. 
Solução do item 1: 
 Temos um total de 97 pessoas (=85+12) para disputar 3 cargos diferentes da direção do clube. 
Por serem cargos diferentes, a ordem das pessoas na ocupação dos 3 cargos é relevante. Juntando 
isso ao fato de que os elementos do grupo não se repetirem, então a questão pode ser resolvida por 
arranjo. 
 Teremos um arranjo de 97 elementos, tomados 3 a 3, ou seja: A97,3. Ora, esse valor é muito 
superior ao valor 288, que foi informado no item. Além do mais,esta questão não pode ser resolvida 
pelo Princípio da Soma. Daí, o item está ERRADO! 
Solução do item 2: 
Temos 85 promotores e 12 procuradores de justiça no MPE/TO. Os conjuntos dos promotores 
e procuradores possuem intersecção? É claro que não! Porque não pode haver uma pessoa que seja 
ao mesmo tempo promotor e procurador. 
 Como não há intersecção entre os conjuntos, o número de maneiras diferentes de se escolher 
uma pessoa entre os promotores de justiça e os procuradores de justiça do MPE/TO é igual ao 
resultado da soma de 85 e 12, ou seja, 97 maneiras. (Item correto!). 
 Acabamos de aplicar o Princípio da Soma, onde é definido que o total de maneiras é dado 
pela soma das maneiras de cada evento (conjunto), sendo que estes não podem ocorrer 
simultaneamente (ou seja, não pode haver intersecções entre os conjuntos). 
 
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Solução do item 3: 
De acordo com este item, podemos concluir que a ordem dos 4 membros dentro do comitê 
não tem relevância. Daí, usaremos a técnica de Combinação. 
Dos 8 procuradores de justiça serão escolhidos 4. Assim, teremos a combinação: 
 C8,4 = (8x7x6x5)/24 = 70 maneiras (item correto!) 
 
03. (Cespe) Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes 
— foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades 
próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, 
exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um 
escrivão e dois agentes. 
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens: 
1. Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a 
quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco 
lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 100. 
Solução: 
 A equipe formada é composta por cinco pessoas. E essas pessoas podem ocupar qualquer 
posição dentro do veículo, uma vez que todas podem dirigir. Como são cinco pessoas ocupando 
cinco lugares, então encontraremos a quantidade de maneiras distintas de se organizar essa equipe 
dentro do veículo utilizando a permutação simples. 
 P5 = 5! = 120 
 Portanto, o item está Certo! 
2. Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 
Solução: 
Dentro de cada classe (delegado, perito, escrivão e agente) aplicaremos a Combinação, uma 
vez que a ordem não é relevante. Veja o caso dos agentes: ao selecionar dois agentes para a equipe, a 
ordem entre eles não é relevante. 
 Conjunto Universo: { 2 delegados, 2 peritos, 2 escrivães, 4 agentes } 
 Grupo: 
 
 
21,2 C
 
21,2 C
 
21,2 C
 
6
2!2
!234
!2!.2
!4
2,4 


C
 
Multiplicaremos os resultados parciais para chegarmos à resposta: 
  2 x 2 x 2 x 6 = 48 
 Portanto, o item está Errado! 
 
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04. Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele 
possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, qual é o número mínimo de 
peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa? 
Sol.: De acordo com o Princípio Fundamental da Contagem, a quantidade de conjuntos que podem 
ser formados a partir de calças e paletós diferentes é obtida pelo produto das quantidades dessas duas 
peças. 
Daí, temos que encontrar dois números (números de paletós e calças) que multiplicados 
resulte no valor 24 (número de diferentes conjuntos). 
Então, os possíveis números de calças e paletós que o mágico possui são: 
  1ª) 6 calças (ou paletós) e 4 paletós (ou calças)  10 peças 
  2ª) 8 calças (ou paletós) e 3 paletós (ou calças)  11 peças 
  3ª) 12 calças (ou paletós) e 2 paletós (ou calças)  12 peças 
  4ª) 24 calças (ou paletós) e 1 paletó (ou calça)  25 peças 
 Como a questão deseja o menor número de peças (paletós+calças), então o resultado é 10 
peças. (Resposta!) 
 
05. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma 
vogal e terminando por uma consoante? 
Sol.: Sabemos que questões de anagrama se resolvem por permutação! E o que há de novo neste 
enunciado? Ora, aqui são feitas duas exigências, referentes aos elementos que ocuparão a primeira e 
a última posição do anagrama! 
 Perceberam? Foi amarrado pelo enunciado que o nosso anagrama tem que começar por vogal 
e que terminar por uma consoante. 
 Daí, trabalharemos em separado as posições contempladas por essas exigências. 
 Vejamos nosso conjunto universo: {A B C D E F G H I} 
 E nosso grupo: 
 
 O artifício consistirá sempre nisso: trabalhar em separado as posições para as quais foi feita 
alguma exigência específica. Teremos: 
 6 resultados possíveis 
 (tem que ser consoante!) 
 
 
 3 resultados possíveis (tem que ser vogal!) 
 E quanto aos elementos do meio do anagrama? Permutação neles! Teremos: 
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 P7 
 
 
 3 6 
 Finalmente, para chegarmos ao resultado final, multiplicaremos os resultados parciais! 
 Teremos:  6x3xP7 = 6x3x7! (Resposta!) 
 
06. (ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi 
convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de 
recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas 
apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas, o 
número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a: 
a) 286 b) 756 c) 468 d) 371 e) 752 
Sol.: Seis crianças serão selecionadas para realizar apresentações de dança no exterior. Dentro 
desse grupo de seis crianças, a ordem das crianças é relevante? É claro que não, pois todas as seis 
vão viajar e realizar as apresentações. Desta forma, trata-se de uma questão de Combinação! 
 A questão pede pelo menos duas meninas no grupo de seis crianças, daí teremos três 
formações possíveis quanto ao número de meninas e meninos dentro do grupo: 
 1ª) 2 meninas e 4 meninos. 
 2ª) 3 meninas e 3 meninos. 
 3ª) 4 meninas e 2 meninos. 
 Para cada uma das formações acima, teremos que calcular o número de possibilidades de 
escolha das crianças. Ao final desses cálculos, somaremos os resultados parciais obtidos. 
 1º) Número de modos com 2 meninas e 4 meninos. 
 Temos 4 meninas para escolher 2, e temos 7 meninos para escolher 4. Daí: 
  
4,72,4 CC 
 = 
!4!.3
!7
!2!.2
!4

 = 
356
= 210 
 2º) Número de modos com 3 meninas e 3 meninos.Temos 4 meninas para escolher 3, e temos 7 meninos para escolher 3. Daí: 
  
3,73,4 CC 
 = 
!3!.4
!7
!3!.1
!4

 = 
354
= 140 
 3º) Número de modos com 4 meninas e 2 meninos. 
 Temos 4 meninas para escolher 4, e temos 7 meninos para escolher 2. Daí: 
  
2,74,4 CC 
 = 
!2!.5
!7
!4!.0
!4

 = 
211
= 21 
 Total de modos = 210 + 140 + 21 = 371  Resposta! 
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07. (ESAF) Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são 
rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura 
composta por seis formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas 
de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a: 
a) 504 b) 252 c) 284 d) 90 e) 84 
Sol.: A ordem das pessoas dentro do grupo dos seis formandos selecionados não é relevante! Daí, 
trata-se de uma questão de combinação! 
 Dados da questão: 
 - Uma turma de 15 formandos (10 rapazes e 5 moças). 
 - A comissão é composta por 6 formandos. 
 - Marcela participa da comissão e Mário não participa. 
 A Marcela tem lugar garantido na comissão, então uma das seis vagas é dela. Daí, resta-nos 
somente 5 lugares na comissão. 
Quantos formandos vão disputar esses 5 lugares que restam na comissão? Dos 15 formandos, 
dois não disputam: Mário que não participa e Marcela que já tem sua vaga reservada. Daí, 13 
formandos disputam 5 lugares! 
Para descobrirmos o total de diferentes comissões, basta fazer uma Combinação de 13 
formandos para 5 lugares: 
 





 91113
12345!8
!8910111213
!5!8
!13
5,13C
1287  Resposta! 
 Esta questão foi anulada! Nenhuma das alternativas continha a resposta correta! 
 
 
08. (ESAF) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher 
aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo 
ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes 
cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, 
todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de 
moças é, portanto, igual a: 
a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45 
Sol.: 
No cumprimento entre duas pessoas a ordem não é relevante, por exemplo: ―Maria 
cumprimenta Ana‖ é o mesmo que ―Ana cumprimenta Maria‖. Desta forma, usaremos a fórmula da 
Combinação para o cálculo do número de cumprimentos possíveis. 
 O número de cumprimentos entre os 15 rapazes é igual a: 
  
105
2
1415
!13!2
!131415
!13!2
!15
)!215(!2
!15
2,15 








C
 
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 Chamaremos de x o número de moças presentes no grupo. O número de cumprimentos entre 
as x moças é dado pela combinação: 
 
2
)1(
)!2(!2
)!2()1(
)!2(!2
!
2,







xx
x
xxx
x
x
Cx
 
 A soma dos cumprimentos dos rapazes e dos cumprimentos das moças deve ser igual ao valor 
informado no enunciado: total de 150 cumprimentos. Portanto, faremos a igualdade: 
 105 + 
2
)1(  xx
 = 150 
Resolvendo, vem: 
 105 + 
2
2 xx 
 = 150  210 + 
xx 2
 = 300 
 210 + 
xx 2
 = 300  
0902  xx
 
A solução desta equação do 2º grau é: x = 10. Portanto, temos 10 moças no grupo. 
Resposta: Alternativa A! 
 Como acréscimo didático, vamos calcular, no grupo formado por 15 rapazes e 10 moças, o 
número de cumprimentos possíveis nas duas situações mostradas abaixo: 
a) O número de cumprimentos possíveis entre os componentes do grupo? 
b) O número de cumprimentos possíveis entre um rapaz e uma moça? 
 Solução da letra a) : Já sabemos que no momento do cumprimento entre duas pessoas a ordem 
não é relevante. Devemos, então, fazer uma combinação do total de pessoas do grupo (25) dois a 
dois. Teremos: 
  
300
2
2425
!23!2
!25
)!225(!2
!25
2,25 





C
 cumprimentos 
 Solução da letra b) : O cumprimento é realizado por duas pessoas e, nesse caso, queremos 
um representante dos rapazes e uma representante das moças. 
 _____ _____ 
 rapaz moça 
  15 rapazes para selecionar 1, daí: 
!14!1
!15
1,15

C
=15 
  10 moças para selecionar 1, daí: 
!9!1
!10
1,10

C
=10 
Agora, multiplicamos os resultados de cada lado: 
 15x10=150 cumprimentos  Resposta! 
 O resultado acima foi igual a aquele do enunciado, onde os rapazes cumprimentavam-se entre 
si e as moças entre si, mas isso foi apenas uma coincidência. 
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09. Uma empresa tem 4 diretores e 7 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser 
formadas, contendo no mínimo um diretor? 
a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65 
Sol.: O total de comissões de 5 pessoas que podem ser formadas a partir de 11 (=4+7) pessoas, 
independente do cargo na empresa, é igual ao resultado da Combinação: 
 
)!511(!5
!11
5,11

C
= 462 comissões 
 Mas só nos interessa as comissões que tenha ao menos 1 diretor! E nas 462 comissões que 
encontramos estão incluídas também as comissões em que não há diretor. Vamos encontrar a 
quantidade destas comissões para depois subtrair do total e aí encontrar a solução da questão. 
 As comissões que não têm diretor são formadas apenas por gerentes. Temos um total de 7 
gerentes para formar uma comissão de 5 pessoas. Daí, faremos a Combinação: 
 
)!57(!5
!7
5,7

C
= 21 comissões 
 Logo, o total de comissões de 5 pessoas que podemos formar contendo no mínimo um 
diretor é dado pela subtração dos dois resultados parciais obtidos acima: 
 462 – 21 = 441  Resposta: (Letra D)! 
 
 
10. (ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile 
de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas 
sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada 
fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá 
ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual 
a: 
a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 
Sol.: Temos os seguintes dados trazidos no enunciado: 
 1°) Há sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise. 
 2°) Serão formadas filas com exatamente quatro modelos. 
 3°) A última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. 
 4°) Denise não poderá ser a primeira da fila. 
 Como se trata de formar uma fila de pessoas, onde teremos que ordenar as posições (1ª da 
fila, 2ª da fila, ...), então a ordem é relevante. E como há condições estabelecidas no enunciado que 
devem ser obedecidas, então não resta dúvidas que devemos utilizar o princípio fundamental da 
contagem. 
 Primeiramente, desenharemos as quatro posições da fila:Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
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 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila 
 A última posição da fila só pode ser ocupada por quatro das sete modelos, as quais são: Ana, 
Beatriz, Carla ou Denise. Agora, calcularemos o número de diferentes filas que podem ser 
formadas tendo cada uma dessas modelos na última posição da fila. 
1. Número de diferentes filas com Ana sendo a última da fila: 
 
 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila 
 Vamos calcular o número de possibilidades para cada uma das três primeiras posições: 
a) A 1ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem por 
Denise (devido a restrição feita no enunciado), assim há 5 modelos que podem ocupar a 1ª 
posição. 
b) A 2ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem pela 
modelo que já ocupou a 1ª posição, daí há 4 modelos que podem ocupar a 2ª posição. 
c) A 3ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem pelas 
modelos que já ocuparam a 2ª e a 3ª posição, daí há 4 modelos que podem ocupar a 3ª posição. 
 
O número de diferentes filas é obtido pela multiplicação dos resultados parciais, ou seja: 
 5 x 5 x 4 = 100 filas diferentes. 
 
2. Número de diferentes filas com Beatriz sendo a última da fila: 
 
 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila 
O procedimento é idêntico ao anterior, só muda o nome de Ana para Beatriz. Fazendo os cálculos, 
obteremos o mesmo resultado: 100 filas diferentes. 
 
 
3. Número de diferentes filas com Carla sendo a última da fila: 
 
 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila 
O procedimento também é idêntico ao primeiro caso, só muda o nome de Ana para Carla. Daí, o 
resultado será o mesmo: 100 filas diferentes. 
 
4. Número de diferentes filas com Denise sendo a última da fila: 
 
 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila 
 5p 4p 4p 
Ana 
 
 
 5p 4p 4p 
Beatriz 
 5p 5p 5p 
Carla 
 6p 5p 4p 
Denise 
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22 
 
 
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 Esse caso é um pouco diferente dos outros, conforme mostraremos abaixo. 
Vamos calcular o número de possibilidades para cada uma das três primeiras posições: 
a) A 1ª posição da fila só não pode ser ocupada por Denise (pois ela está na última posição e 
também pela restrição feita no enunciado), assim há 6 modelos que podem ocupar a 1ª posição. 
b) A 2ª posição da fila não pode ser ocupada por Denise (pois ela está na última posição) e nem pela 
modelo que já ocupou a 1ª posição, daí há 5 modelos que podem ocupar a 2ª posição. 
c) A 3ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem pelas 
modelos que já ocuparam a 2ª e a 3ª posições, daí há 4 modelos que podem ocupar a 3ª posição. 
 
O número de diferentes filas é obtido pela multiplicação dos resultados parciais, ou seja: 
 6 x 5 x 4 = 120 filas diferentes. 
 
A resposta da questão é dada pela soma dos resultados obtidos nos quatro casos acima: 
 100+100+100+120 = 420  Resposta: (Letra A)! 
 
11. Marcam-se 6 pontos sobre uma reta r e, sobre a paralela s, tomam-se 4 pontos. Quantos 
triângulos podemos formar unindo 3 quaisquer desse 10 pontos? 
Sol.: Para formar um triângulo precisamos de três pontos. E a ordem entre esses três pontos não é 
relevante! Portanto, trata-se de uma questão de Combinação! 
 Para encontrarmos o total de triângulos formados pelos dez pontos, faremos uma combinação 
dos 10 pontos, tomados 3 a 3: 
 C10,3 = _ 10!___ 
 3! (10-3)! 
 C10,3 = _ 10.9.8.7!_ 
 6 . 7! 
 C10,3 = 120 
 Entretanto, dessas 120 combinações, algumas delas não formam triângulos! 
 A condição necessária para que três pontos distintos formem um triângulo é que os três 
pontos não estejam sobre uma mesma reta. E, nesta questão, temos pontos sobre duas retas. Daí, 
devemos retirar: 
 as combinações dos 6 pontos da reta r, tomados 3 a 3; e 
 as combinações dos 4 pontos da reta s, tomados 3 a 3. 
 Passemos ao cálculo dessas duas combinações. 
As combinações dos 6 pontos da reta r, tomados 3 a 3, é igual a: 
 C6,3 = _ 6!___  C6,3 = _6.5.4.3!_ 
 3! (6-3)! 6 . 3! 
 C6,3 = 20 
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fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AEPCON Concursos Públicos. 
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As combinações dos 4 pontos da reta s, tomados 3 a 3, é igual a: 
 C4,3 = _ 4!___  C4,3 = 4.3!_ 
 3! (4-3)! 3!.1! 
 C4,3 = 4 
 Para finalizar, vamos retirar do total das 120 combinações aquelas que não formam 
triângulos: 
 total de triângulos = 120 – 20 – 4 = 96  (Resposta!) 
 
12. Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos 
algarismos de 0 a 9? 
Sol.: Aqui temos duas restrições: 1ª) o algarismo 0 não pode ser usado na primeira posição; e 2ª) o 
último algarismo tem que ser 0, 2, 4, 6 ou 8 para o número ser par. 
Nesta questão, teremos que separar a análise do algarismo 0 dos outros algarismos pares (2, 4, 
6 e 8), conforme veremos a seguir. 
1ª situação) Número terminando em 0 (zero) 
 Vamos iniciar a análise pelo último algarismo, pois para esta situação é necessário que o 
número termine em 0. Depois, passamos a verificar o primeiro algarismo, pois este tem uma restrição 
(não pode ser 0). 
  Definição do 3º algarismo: 1 possibilidade (só pode ser ―0‖); 
 ____ ____ ____ 
  Definição do 1º algarismo: 9 possibilidades (qualquer um dos algarismos de 1 a 9). 
 ____ ____ ____ 
  Definição do 2º algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas já usamos 
dois deles. Resta-nos, portanto, oito. 
 ____ ____ ____ 
 
Multiplicando-se as possibilidades, teremos: 
  9x8x1= 72 
 Quer dizer que há 72 números pares de três algarismos distintos terminando em zero. 
2ª situação) Número terminando em 2, 4, 6 ou 8 
 Vamos iniciar a análise pelo último algarismo, pois para esta situação é necessário que o 
número termine em 2, 4, 6 ou 8. Depois, passamos a verificar o primeiro algarismo, pois este tem 
uma restrição (não pode ser 0). 
  Definição do 3º algarismo: 4 possibilidades (2, 4, 6 ou 8); 
 ____ ____ ____ 
1p 
1p 9p 
1p 9p 8p 
4p 
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  Definição do 1º algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas não 
podemos usar o 0 (o número não inicia por 0) e nem o algarismo que já foi usado como 3º algarismo.Resta-nos, portanto, oito. 
 ____ ____ ____ 
 Na definição do 1º algarismo, na situação anterior, havíamos encontrado outra quantidade de 
possibilidades: 9. É devido a essa diferença que tivemos que separar a terminação em zero das outras 
terminações pares. 
 Definição do 2º algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas já usamos 
dois deles. Resta-nos, portanto, oito. 
 ____ ____ ____ 
 Multiplicando-se as possibilidades, teremos: 
  8x8x4= 256 
 Quer dizer que há 256 números pares de três algarismos distintos terminando em 2, 4, 6 ou 8. 
 Somando os resultados obtidos nas duas situações, encontraremos a resposta da questão: 
  72 + 256 = 328 (Resposta!) 
 Concluindo, há 328 números pares de três algarismos distintos. 
 
 
13. QUESTÕES DOS SEIS AMIGOS NO CINEMA 
SITUAÇÃO 1) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas 
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas? 
Sol.: Iniciemos nossa análise do princípio! 
 1ª Indagação: na hora de formar os grupos, poderemos usar elementos iguais? Ou terão que 
ser distintos? 
 Ora, os elementos do grupo serão pessoas! Logo, não há como formar um grupo com várias 
pessoas iguais! Obviamente, os elementos terão de ser diferentes! Primeira conclusão: o caminho de 
resolução é o do Arranjo ou da Combinação! 
 2ª Indagação: Arranjo ou Combinação? 
 Daí, seguimos aquele procedimento já nosso conhecido: 
 1º Passo) criamos um resultado possível. (Chamemos as pessoas de A, B, C, D, E e F). 
Teremos, pois, que um resultado possível seria esse mesmo: 
  A-B-C-D-E-F 
 (Com a pessoa A na ponta da esquerda e a pessoa F na da direita!) 
 2º Passo) Invertemos a ordem dos elementos do resultado acima. Teremos: 
  F-E-D-C-B-A 
4p 8p 
4p 8p 8p 
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 3º Passo) Comparamos os resultados! 
 Atenção à pergunta seguinte: as pessoas dos dois resultados são as mesmas? 
 A resposta é sim! Mas, e as duas filas, são as mesmas? 
 Não! São diferentes! E o que interessa neste caso são as filas formadas! 
 Temos, portanto, resultados distintos! Conclusão: Trabalharemos com Arranjo! 
 Arranjo de quantos em quantos? São 6 pessoas no conjunto universo, e são seis elementos na 
fila (no grupo). Logo, Arranjo de 6 em 6: A6,6, que é igual a Permutação de 6. Ou seja: A6,6 = P6 
Então, para esse enunciado, faremos: 
 
 
 P6 = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720  Resposta! 
SITUAÇÃO 2) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas 
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que as 
três moças fiquem sempre juntas? 
Sol.: Este enunciado difere do anterior por um breve detalhe! É exigido aqui que as três moças 
permaneçam juntas! 
Ora, já nos é possível concluir, seguindo o mesmíssimo raciocínio do exemplo anterior, que 
esta questão será resolvida pelo caminho da Permutação! 
Em face da exigência anunciada, lançaremos mão de um artifício: passaremos a considerar as 
pessoas que têm de estar sempre juntas como sendo uma única pessoa! 
Além disso, neste presente exemplo, em vez de trabalharmos apenas com uma permutação, 
teremos que trabalhar com duas: 
1ª Permutação) Para todo o conjunto de pessoas (atentando para o fato de que as três moças 
que são inseparáveis serão consideradas uma só); 
 Daí, com três homens e uma mulher (3 inseparáveis = 1 apenas!), somamos um total de 
quatro pessoas! Permutando-as, teremos: P4 = 4! = 24 formações. 
2ª Permutação) Para o conjunto dos elementos inseparáveis (as três moças): 
 Permutando as três mulheres, teremos: P3 = 3! = 6 formações. 
Vejamos a ilustração abaixo: 
 P3 = 3x2x1 = 6 
 
 
 
 P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 
M1 M2 M3 H1 H2 H3 
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fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AEPCON Concursos Públicos. 
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 Esses dois resultados parciais (24 e 6), referentes ao conjunto inteiro e aos elementos 
inseparáveis, terão que ser agora multiplicados, para chegarmos ao resultado final. Teremos: 
  6x24= 144  Resposta! 
 
SITUAÇÃO 3) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas 
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que os 
três rapazes fiquem sempre juntos e as três moças fiquem sempre juntas? 
Sol.: Agora a exigência específica cria dois grupos de elementos inseparáveis. Já sabemos como 
proceder com eles. 
Teremos: 
 P3=3x2x1=6 P3=3x2x1=6 
 
 
 
 P2 = 2! = 2x1 = 2 
 Observemos que a permutação para o conjunto completo foi apenas P2. Claro! Uma vez que 
os três rapazes são considerados um só, e as três moças idem! É o nosso artifício dos elementos 
inseparáveis! Não podemos esquecer dele! 
 Daí, compondo nosso resultado, teremos: 
 6x6x2= 72  Resposta! 
 
SITUAÇÃO 4) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas 
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que as 
três moças não fiquem todas juntas? 
Sol.: Se do total de formas possíveis de organizar os amigos (resposta da situação 1) subtrairmos o 
número de formas pelas quais as moças ficarão sempre juntas (resposta da situação 2), o resultado 
que encontraremos é exatamente o que pede neste exemplo. Conforme desenho abaixo: 
 
 = – 
 
Daí, faremos:  720 – 144 = 576  Resposta! 
 
 
Total de formações 
sem restrição 
 
Total de 
formações com as 
moças juntas 
Total de formações 
com as moças não 
todas juntas 
H1 H2 H3 M3 M2 M1 
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SITUAÇÃO 5) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas 
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que 
rapazes e moças fiquem sempre alternados? 
Sol.: Agora é o seguinte: rapaz sempre ao lado de moça, e vice-versa! Teremos duas situações 
possíveis: 1
a
) a fila começando com um homem; e 2
a
) a fila começando com uma moça. 
Trabalhando a primeira situação possível, teremos: 
 H1 M1 H2 M2 H3 M3 
 
 Neste caso, teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se dá em 
relação às moças! 
  Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 
  Permutação das moças: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 
 Compondo nosso resultado, para esta primeira situação, teremos: 
  6x6= 36 
 Ocorre que a questão não acaba aí, uma vez que já havíamos constatado que há uma outra 
possibilidade: a de que a fila comece com uma moça à esquerda (ao invés de um rapaz)! Teremos: 
 M1 H1 M2 H2 M3 H3 
 Aqui novamente as três moças permutarão entre si, enquanto que os três rapazes também 
permutarão entre si! Faremos: 
  Permutação das moças: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 
  Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 
 Compondo nosso resultado, para esta segunda situação,teremos igualmente: 
  6x6= 36 
 Finalmente, somando os resultados parciais (rapaz à esquerda e moça à esquerda), teremos: 
  36+36= 72  Resposta! 
 
SITUAÇÃO 6) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças De quantas formas 
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que 
somente as moças fiquem todas juntas? 
Sol.: O que se pede nesta questão (por conta da palavra somente) é o número de maneiras 
diferentes em que as 3 moças fiquem sempre juntas enquanto que os 3 rapazes não fiquem todos 
juntos. 
1ª Solução: 
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Assim, para que os três homens não fiquem todos juntos é necessário que as moças fiquem 
juntas no meio da fila. Reparem que as moças não podem estar juntas nas pontas, pois assim os três 
homens ficariam juntos! Há duas situações possíveis para o posicionamento das moças: 
1ª situação: 
 H1 M1 M2 M3 H2 H3 
 
2ª situação: 
 H1 H2 M1 M2 M3 H3 
 
Na primeira situação teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo 
se dá em relação às moças! 
  Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 
  Permutação das moças: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 
Compondo nosso resultado, para esta primeira situação, teremos: 
  6x6= 36 
Da mesma forma, na segunda situação teremos os três rapazes permutando entre si, 
enquanto que o mesmo se dá em relação às moças! 
  Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 
  Permutação das moças: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 
Compondo nosso resultado, para esta segunda situação, teremos: 
  6x6= 36 
Finalmente, somando os resultados parciais, teremos: 
  36+36= 72  Resposta! 
2ª solução: 
 Se do total de formas possíveis em que as mulheres ficam juntas (resposta da situação 2) 
subtrairmos o número de formas pelas quais os três rapazes fiquem sempre juntos e as três moças 
fiquem sempre juntas (resposta da situação 3), o resultado que encontraremos é exatamente o que se 
pede neste exemplo. Ou seja: 
 
 
 = – 
 
Daí, faremos:  144 – 72 = 72  Resposta! 
3 moças 
3 moças 
Total de formações 
em que somente 
as mulheres ficam 
juntas 
Total de 
formações com as 
moças juntas 
Total de formações 
com as moças 
juntas e com os 
homens juntos 
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 Agora, utilizando os mesmos enunciados das seis situações acima, resolva para o caso em que 
temos cinco amigos (três rapazes e duas moças). As respostas serão, respectivamente: 1)120, 2)48, 
3)24, 4)72, 5)12 e 6)24. 
As situações vistas acima foram para pessoas, mas podemos aplicar os mesmos métodos de 
solução para outros elementos. Por exemplo, uma questão poderia pedir o número de diferentes 
maneiras que podemos permutar os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 de forma que os algarismos 3 e 4 
fiquem sempre juntos. Consideraremos 3 e 4 como um único algarismo e faremos a permutação dos 
elementos: P5. Permutando os elementos 3 e 4, teremos: P2. Daí, a reposta seria obtida do produto: P5 
x P2 = 5! x 2! = 240.