Lista 03 Bissecao

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Engenharias da Mobilidade
Ca´lculo Nume´rico - EMB5016
Prof. Diogo Siebert
Lista 03 - Me´todo da Bissec¸a˜o
1. Explique o funcionamento do me´todo da bissec¸a˜o.
2. Explique porque o erro apo´s n passos do me´todo da bissec¸a˜o obedece a relac¸a˜o
EA <
b− a
2n
3. Defina uma uma func¸a˜o f(x) e crie um algor´ıtmo para achar a raiz dessa func¸a˜o com o me´todo da
bissec¸a˜o. Teste o algor´ıtmo com a func¸a˜o f(x) = (x− 1)(x+ 2) que possui as raizes 1 e −2.
4. Utilizando o intervalo inicial [0.1, 1.5] no algor´ıtmo desenvolvido, fac¸a um grafico do erro absoluto
(EA) versus o nu´mero de iterac¸o˜es. Refac¸a o mesmo gra´fico incluindo o limitante do erro (contido
na questa˜o 1) para cada iterac¸a˜o. O gra´fico deve ir ate´ a nona iterac¸a˜o.
5. A figura mostra uma viga uniforme sujeita a uma carga distribupida de forma linearmente crescente.
A equac¸a˜o para a curva ela´stica resultante e´
y =
w0
120EIL
(−x5 + 2L2x3 − L4x)
Use a bissec¸a˜o para determinar o ponto de deflexa˜o ma´xima (isto e´, o valor de x onde dy/dx = 0).
A seguir, substitua esse valor na equac¸a˜o para determinar o valor da deflexa˜o ma´xima. Use os
seguintes valores nos seus ca´lculos: L = 600 cm, E = 50.000 kN/cm2, I = 300.000 cm4 e w0 = 2, 5
kN/cm.
6. Muitos campos da engenharia necessitam de estimativas acuradas da populac¸a˜o. Por exemplo,
os engenheiros de transporte podem achar necessa´rio determinar separadamente a tendeˆncia de
crescimento da populac¸a˜o de uma cidade e do subu´rbio adjacente. A populac¸a˜o da a´rea urbana
esta´ diminuindo com o tempo de acordo com
Pu(t) = Pu,maxe
−kut + Pu,min
enquanto a populac¸a˜o suburbana esta´ crescendo de acordo com
Ps(t) =
Ps,max
1 + [Ps,max/P0 − 1]e−kst
onde Pu,max, k, Ps,max, P0 e ks sa˜o paraˆmetros determinados empiracamente. Determine o tempo
e os valores correspondentes de Pu(t) e Ps(t) quando os subu´rbios forem 20% maiores que a cidade.
Os valores dos paraˆmetros sa˜o Pu,max = 80.000 pessoas, ku = 0, 05/ano, Pu,min = 110.000 pessoas,
Ps,max = 320.000 pessoas, P0 = 10.000 pessoas e ks = 0, 09/ano.
7. Uma carga total Q esta´ uniformemente distrubu´ıda ao redor de um condutor circular de raio a.
Uma carga q esta´ localizada a uma distaˆncia x do centro do anel.
A forc¸a exercida na carga pelo anel e´ dada porque
F =
1
4pi�0
qQx
(x2 + a2)3/2
onde �0 = 8, 9 × 10−12 C2/(N m2). Encontre a distaˆncia x onde a forc¸a e´ 1, 25 N se q e e Q sa˜o
2× 10−5 C para um anel de raio 0, 85 m.
8. Para o escoamento de fluidos em tubos, o atrito e´ descrito por nu´mero adimensional, o fator de
atrito de Fanning f . O fator de atrito de Fanning depende de diversos paraˆmetros relacionados
ao tamanho do tubo e ao fluido, os quais podem ser representados por uma outra quantidade
adimensional, o o nu´mero de Reynolds Re. Uma fo´rmula que preve f dados Re e´ a equac¸a˜o de von
Karman: valor fornecido pelo usua´rio
1√
f
= 4 log10
(
Re
√
f
)
− 0, 4
Para o escoamento turbulentos, os valores t´ıpicos do nu´mero de Reynolds esta˜o entre 10.000 e
500.000 e os do fator de atrito de Fanning esta˜o entre 0,001 e 0,01. Desenvolva uma func¸a˜o que use
a bissecc¸a˜o para determinar f dado um valor fornecido pelo usua´rio de Re entre 2.500 e 1.000.000,
de forma que ela garanta que o erro absoluto no resultado seja Ea,d < 0, 000005.