Lista 04 MPF

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Engenharias da Mobilidade
Ca´lculo Nume´rico - EMB5016
Prof. Diogo Siebert
Lista 04 - Iterac¸a˜o do Ponto Fixo
1. Explique o funcionamento da iterac¸a˜o de ponto fixo.
2. Interprete graficamente o funcionamento da iterac¸a˜o de ponto fixo.
3. Implemente o me´todo da iterac¸a˜o do ponto fixo utilizando os exemplos mostrado em sala para testar
o algor´ıtmo.
4. Use a iterac¸a˜o do ponto fixo para localizar a raiz de
f(x) = sin(
√
x)− x
Use a aproximac¸a˜o inicial x0 = 0, 5 e itere ate´ que ER ≤ 0, 01%.
5. E´ poss´ıvel mostrar teoricamente que a iterac¸a˜o de ponto fixo e´ linear convergente, ou seja, que a
raza˜o entre os erros relativos de dois passos subsequentes e´ aproximadamente constante. Encontre
a raiz da func¸a˜o f(x) = e−x − x usando a iterac¸a˜o de ponto fixo e mostre que a raza˜o
ERn+1
ERn
onde ERn =
∣∣∣∣pn − pp
∣∣∣∣
e´ aproximadamente constante.
Obs: Utilize que o valor exato da raiz e´ x = 0, 56714329.
6. Os sistemas mecaˆnicos reais podem envolver a deflexa˜o de molas na˜o lineares. Na figura abaixo, uma
massa m e´ abondonada de uma distaˆncia h acima de uma mola na˜o linear. A forc¸a de resisteˆncia
F da mola e´ dada por
F = −(k1d+ k2d3/2)
A conservac¸a˜o da energia pode ser usada para mostrar que
0 =
2k2d
5/2
5
+
1
2
k1d
2 −mgd−mgh
Determine d utilizando a iterac¸a˜o de ponto fixo, dados os seguintes valores dos paraˆmetros, k1 =
40.000 g/s
2
, k2 = 40 g/(s
2
m5), m = 95 g, g = 9, 81m/s
2
e h = 0, 43 m.