Bases_da_Teoria_Quantica

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As Bases da Teoria Quântica 1
AS BASES DA TEORIA QUÂNTICA
1. Espectros Atômicos
Na primeira metade do século XIX Josef Fraunhofer fez a primeiras observações
do espectro da luz do Sol. No ano de 1861, Kirchoff e Bunsen iniciam os estudos
dos espectros dos átomos de metais alcalinos. Em 1885, Balmer descobre uma
série  de   linhas  no  espectro   atômico  do  átomo  de  hidrogênio,  que  passou   se
chamar de série de Balmer. Destes experimentos, Balmer encontrou uma relação
matemática empírica que descrevia a posição de todas as linhas espectrais do
hidrogênio
1
=R y  122− 1n22  , ni=3,4 ,5 ,⋯, R y=109.677,581 cm−1 (1)
em que λ é o comprimento de onda e Ry é a constante de Rydberg. 
Aspectos dos Espectros dos Átomos
– Linhas muito finas;
– Absorção e  emissão de energia  não ocorre  em bandas  ou de modo
contínuo, mas em valores discretos (bem definidos) de comprimento
de onda (λ) ou frequência (f): os valores são  quantizados.  A junção
destes dois fatos experimentais permitiu a determinação do valor de RY
com precisão;
– O espectro de cada tipo de elemento é altamente característico, como
se   fosse   uma   identidade   do   elemento.   A   detecção   do   espectro
característico de um elemento é a comprovação que este está presente
em   uma   determinada   amostra:   princípio   da   espectrometria   (de
absorção atômica, por exemplo);
A partir destas obervações experimentais qualquer teoria atômica ficou com
o ônus de explicar este comportamento espectral. Por exemplo, para o átomo de
hidrogênio, o resultado desta teoria tem que se enquadra à equação empírica de
Balmer.
Exercício 3.1, Hanna (pag.34) Calcule a posição das linhas no átomo de hidrogênio em unidades de Ry
para  n2=3, 4,  5,  10,  100,  ∞.  Construa o gráfico  destes   resultados ao  longo da escala  horizontal  1/λ.
Observe como as linhas convergem para um valor limite (limite da série).
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2. Radiação do Corpo Negro
O primeiro experimento que levou a questionamentos a respeito da validade
dos   conceitos   da   Mecânica   Clássica   foi   aquele   projetado   para   medir   a
dependência   da   radiação   do   corpo   negro   em   relação   à   frequência   ou
comprimento de onda. O fenômeno “Radiação do Corpo Negro” é o seguinte:
– aquecendo­se uma resistência, forno, etc, o dispositivo emite radiação
na forma de calor, esta pode ser sentida, por exemplo, aproximando­se
a mão do aparato, mas não pode ser vista (IV);
– aumentando­se   a   temperatura   o   dispositivo   vai,   gradativamente,   à
medida que a temperatura aumenta, mudando de cor.
vermelho
infravermelho
 branco azul
ultravioleta
A mudança de cor é  uma evidência de que a distribuição das frequências da
radiação emitida varia com a temperatura.
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Esquema do Corpo Negro
Modelo Esquemático do corpo negro
Assume­se   que   o   dispositivo   está   isolado,   portanto   o   aumento   de
temperatura   só   ocorre   pela   adição   de   calor   no   interior   do   corpo   negro.   A
cavidade é evacuada e a radiação de dentro dela só pode escapar por um pequeno
orifício.  Assume­se que a radiação que escapa do forno é uma amostra fiel
da radiação de dentro da cavidade. A intensidade da radiação é estudada em
função   do   comprimento   de   onda   ou   da   frequência   em   diferentes   valor   de
temperatura, que resulta em um gráfico como segue
À medida que a temperatura aumenta, o ponto de máximo da distribuição  xTλ  se
desloca para a região do azul, fenômeno conhecido  blue shift.  Aplicando­se a
mecânica estatística clássica e as propriedades do movimento ondulatório, pode­
se calcular o número de ondas de luz entre as frequências ν e ν+dν em uma caixa
de volume V. O número de onda é dado por 
g(ν)d ν=8πV ν
2
c3
d ν (2)
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Para calcular a frequência de distribuição como uma função da temperatura, Lord
Rayleigh e J. H. Jeans assumiram que cada onda eletromagnética possuem seu
valor clássico de energia  kT. Este resultado vem do teorema da equipartição de
energia da mecânica estatística clássica. Para um volume unitário e com o que foi
assumido na Eq. 2, temos a equação de Rayleigh­Jeans
ρ(ν ,T )d ν=8 πν
2 kT
c3
d ν k=constante de Boltzmann (3)
Em  que   (ρ ν,T)dν  é   a   densidade   de   energia   da   radiação   entre  ν  e  ν+dν  na
temperatura absoluta  T  e é  proporcional à   intensidade de energia que vem de
dentro do corpo negro.
– a equação de Rayleigh­Jeans faz boas precisões em comprimentos de
onda grandes. À  medida que a frequência aumenta a equação não é
capaz de predizer o ponto máximo da distribuição de energia, isto é, a
densidade de energia aumenta sem limite, conforme linha pontilhada
no gráfico
A equação  de  Rayleigh­Jeans   falha  na  previsão  dos   resultados  experimentais
porque se baseia na mecânica clássica. Esta falha é conhecida como catástrofe do
UV. Rayleigh não conseguiu a solução do problema.
Coube, em 1900, a Max Planck s solução, assumindo:
– a radiação dentro do corpo negro surge devido à emissão de radiação
por vibração do material constituinte do corpo negro;
– estas vibrações não podem emitir  qualquer valor de energia: propôs
que a radiação possui valores discretos, aos quais chamou de  quanta
(plural de quantum).
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Planck propôs, por hipótese, que estes quanta fundamentais possuem valores de
energia  E=hν,  em que  h  é  a constante de Planck (h=6,626176.10­34  J s) valor
assumido por hipótese e depois aceito pois confirmava os valores experimentais.
Usando a hipótese de Planck, o número de ondas de luz entre as frequências ν e
ν+dν, não é mais dado pela Eq. 2 mas pela Eq. 4 abaixo
g' (ν)d ν=8 πν
2
c3
(ehν/kT−1 )−1d ν (4)
Que combinada com a energia de uma onda de luz (hν), resulta na lei de radiação
de Planck
ρ'(ν ,T )d ν=8πh ν
3
c3
(ehν/kT−1 )−1d ν (5)
A Eq. 5 está em concordância exata com os valore experimentais.
Exercício 3.2, Hanna, pg. 37. Demonstre que no limite de comprimentos de onda longos, a Eq. 5 tende
para a Eq. 3. Sugestão: expanda a exponencial em uma série de Maclaurin e argumente a respeito do que
ocorre quando hν se torna menor que kT.
Exercício 3.2, Hanna, pg. 37. A função que concorda com o experimento, lei de radiação de Planck, não é
a   função   ρ'(ν ,T )d ν mas   sim   a   função    '  ,T d  .  Usando  o   fato   de   que   λ ν=c e   que,
portanto,  d ν=−(c /λ2)d λ , mostre que 
ρ'(λ , T )d λ=8 πhc
λ5
(ehc /λ kT−1)−1d λ
3. Efeito Fotoelétrico
Em   1905,   Einstein   aplicou   o   conceito   de   quantização   da   energia   na
explicação do efeito fotoelétrico. Einstein postulou que a energia da luz também
é   quantizada,   em   contraste   ao   pensamento   de   Planck   de   que   apenas   os
osciladores na radiação do corpo negro eram quantizados. O experimento tem de
cumprir:
­ para haver emissão de elétrons a frequência da luz incidente tem de atingir
um valor mínimo limiar  ν0.  Este valor limiar  ν0  é  diferente para cada tipo de
metal. O esquema do experimento é mostrado na figura a seguir.
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– aumentando­se a  intensidade da  luz,  aumenta o número de elétrons
emitidos nas não afeta a energia cinética,  Ec, do elétrons ejetados da
superfície do metal. Aumentar a intensidade da luz incidentesignifica
aumentar   o   número   de   fótons   que   atinge   a   superfície   do   metal.
Aumentar  a energia é  o  mesmo que aumentar  a  frequência da  luz
incidente, pois E=hν.
– Aumentando­se   a   frequência   da   luz   incidente   aumenta   a   energia
cinética dos elétrons ejetados da superfície do metal,  Ec  dos elétrons
está relacionada diretamente com a frequência da luz incidente.
Os resultados podem se interpretados pela hipótese de que quando a luz é
absorvida pela superfície de um metal, ela age como se fosse uma corrente de
partículas (o fenômeno gera uma corrente elétrica que pode ser medida) em que
cada uma possui uma energia proporcional à sua frequência. Experimentalmente,
se impusermos uma corrente de igual intensidade de sentido contrário, podemos
interromper o fluxo de elétrons. 
A estas  partículas de luz ou quanta dá­se o nome de fótons e a energia de um
quantum de luz é: Eν=hν é a energia de um fóton.
Quando um fóton é absorvido por um metal, sua energia total é transferida
para um dos elétrons na banda de condução do metal: se o quantum de luz tem
energia suficiente o elétron vence a barreira de potencial (que o mantém ligado) e
é ejetado do metal. Esta barreira de potencial é chamada de função trabalho (w0).
A energia cinética do elétron é dada por 
Ec (e
−)=h ν−h ν0=hν−w0 : w0 é caracteríctico do metal
ν0=frequência limiar ; hν0=w0 é a função trabalho
(6)
Quando um potencial é aplicado de forma a impedir o fluxo de elétrons, a
energia  cinética  do  elétron  ejetado  (mv2/2)  é  balanceada  por  este  potencial   e
podemos, por meio deste aparato, determinar o valor de Ec=mv2/2.
Ec (e
−)= 12mv
2=h ν−hν0=hν−w0=−εe (7)
Em que e é a carga do elétron e ε é a diferença de potencial aplicado para parar a
corrente   de   elétrons   ejetados.   Podemos   pela   construção   do   gráfico   de   ­εxν
obtemos uma reta de inclinação h/e e intercepto hν0/e de onde podemos calcular a
frequência limiar e o valor da constante de Planck.
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Exercício  3.4,  Hanna,  pg.  39.  Um experimento   de   emissão  de   fotoelétrons   em  sódio   foi   realizado,
incidindo­se luz de diversos comprimentos de onda. Os seguintes valores de potencial de retardamento,
no qual a corrente fotoelétrica é reduzida a zero, foram obtidos.
λ (Å) ­ε (V)
3125 2,128
3650 1,595
4047 1,215
4339 1,025
5461 0,467
Determine: a) a frequência limiar ν0 e b) a constante de Planck. (1 J=1 V C = 107 erg).
Os fundamentos da mecânica clássica não são adequados para explicar os
três fenômenos apresentados, bem como não pode descrever a estrutura atômica
e molecular.
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	Aspectos dos Espectros dos Átomos
	2. Radiação do Corpo Negro
	Esquema do Corpo Negro
	3. Efeito Fotoelétrico