Circuitos Elétricos Aula04 Leis de Kirchhoff 2017 2

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CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Aula 4
Prof. Humberto Abdalla Jr
abdalla@ene.unb.br
ENE-UnB
Universidade de Brasília
Circuitos Resistivos
Aula 4
ENE-UnB
Universidade de Brasília
Saber determinar os valores de tensão, corrente e potência em um circuito elétrico resistivo.
OBJETIVO 
CIRCUITOS RESISTIVOS
ENE-UnB
Universidade de Brasília
CIRCUITOS RESISTIVOS
Aula 4
Lei de Ohm
Leis de Kirchhoff
Circuitos com um único laço
Circuitos com um Único par de Nós
Combinação de Resistores em Série e em Paralelo
Transformação Y (Estrela)   (Delta)
Circuitos com Fontes Dependentes
AS LEIS DE KIRCHHOFF
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Os circuitos analisados até agora tinham somente um caminho para a corrente
+
-
V(t)
R1
R6
R2
R4
R5
R3
FACIL ANALISAR
Lei de OHM – O K
E para redes mais complicadas ?
INTRODUÇÃO
AS LEIS DE KIRCHHOFF
São de 1845 
Servem para calcular tensão e corrente em circuitos elétricos mais complicados
Gustav Kirchhoff
1824 - 1887
• em circuitos onde os elementos são conectados por condutores ideais (resistência nula).
Circuito de parâmetros concentrados
Onde se aplicam?
=
A energia é armazenada ou dissipada inteiramente dentro de cada elemento do circuito
Definições Importantes
Laço: 
É um “caminho” entre dois nós. Contém um único elemento
É um ponto do circuito comum a dois ou mais elementos.
1
2
3
Laços independentes: contém pelo menos um ramo que não faz parte de outro laço independente.
ATENÇÃO:
Nó: 
Ramo: 
É o caminho fechado em um circuito passando apenas uma vez em cada nó e terminando no nó de partida.
?
5W
+
-
10 V
2 A
2W
3W
a
b
c
Nós : 
Ramos: 
05
Laços Independentes: 
?
03
Redesenhando o circuito
É um “caminho” entre dois nós. Contém um único elemento
É o caminho fechado passando uma vez em cada nó e contem pelo menos um ramo que não faz parte de outro laço independente
É um ponto do circuito comum a dois ou mais elementos.
03
7
Redesenhando o circuito: 
Muitas vezes facilita na solução do Circuito
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
R3
R4
R1
+
-
R2
+
-
R5
8
b: número de ramos
l: número de laços independentes
n: número de nós
Nós, Ramos e Laços
• Teorema fundamental de topologia de rede
Ramos: 
3
3
?
05
+
-
V(t)
R1
R2
R4
R5
R3
EXEMPLO:
Calcule o número de laços independentes do circuito abaixo
Solução: 
Usar o Teorema fundamental de topologia de rede
8 = l + 5 - 1
l = 8 -4 = 4
b: número de ramos
l: número de laços independentes
n: número de nós
1
3
2
4
5
R6
Laços independentes: 
contém pelo menos um ramo que não faz parte de qualquer outro laço independente.
1
2
3
4
5
6
8
7
5
8
Já sabemos o que é ...
Nó, 
Ramo 
e 
Laço
Vamos aprender AS DUAS LEIS DE KIRCHHOFF
LEI DE KIRCHOFF PARA CORRENTE
LEI DE KIRCHOFF PARA TENSÃO
LEI DE KIRCHOFF PARA CORRENTE
A soma algébrica das correntes entrando em um nó é zero.
N: é o número de ramos conectados ao nó
Corrente entrando no nó: +
Corrente saindo do nó: -
CONVENÇÃO
LEI DE KIRCHOFF PARA CORRENTE
Outra Maneira de dizer a mesma coisa
A SOMA DAS CORRENTES ENTRADO NO NÓ É IGUAL A SOMA DAS CORRENTES DEIXANDO O NÓ
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
Significa que a soma das variáveis que estão definidas como entrando no NÓ é igual a soma das variáveis que estão definidas como deixando o NÓ, NÃO as correntes reais. 
Exemplo: 
1
2
3
4
5
R3
R4
R1
+
-
R2
+
-
R5
Exemplo: 
Aplique a LKC para o nó 3
Solução: 
Corrente entrando no nó: +
Corrente saindo do nó: -
CONVENÇÃO
2A
5A
1A
I1
EXEMPLO
Determine a corrente I1 
Solução: 
Aplicar a Lei de Kirchhoff 
= 0
- 2 + 5 – 1 + I1 = 0
I1 = - 2 A 
Indica que a magnitude de I1 é de 2 A, mas a direção é oposta à que foi definida 
Uma corrente de 2 A está deixando o NÓ 
a
b
2A
2A
8A
4A
3A
I2
I1
EXEMPLO
Determine as correntes I1 e I2
Solução: 
Aplicar a Lei de Kirchhoff 
= 0
Nó b:
Nó a:
2 – 4 – 2 – I1 = 0
 (- 4) – 8 – I2 + 3 = 0
I2 = -9 A
(I1 está na realidade entrando no nó)
 I1 – 8 – I2 + 3 = 0
I1 = - 4 
Exemplo :
 Calcule as correntes i1 e i2 
i2 = 10 mA – 3 mA = 7 mA
+
_
i1
4 mA
i2
10 mA
3 mA
4 mA + 3 mA + 7 mA = 14 mA
Nó b
Nó a
Nó c
Solução: 
10 mA - 3 mA – i2 = 0
i1 = 10 mA + 4 mA = 14 mA 
1) 
i1
2) 
i2
Lei dos Nós 
Corrente 
Não fornece nenhuma informação nova
Exemplo:
Ache as correntes i1, i2, i3, ix e a tensão vx
Solução: 
Nó b:
Nó c:
Nó d:
Aplicar a Lei de Kirchhoff 
+ a Lei de Ohm
= 0
Incógnitas: 
4 Correntes e uma Tensão
4 Incógnitas 4 Equações
Exemplo:
Ache a corrente ix
Solução: 
Aplicar a Lei de Kirchhoff 
Resolvendo Quase o Mesmo Problema: 
Lei de Kirchhoff das Correntes (Generalizada) 
Lei de Kirchhoff das Correntes (Generalizada) :
A soma algébrica das correntes que entram em uma superfície fechada é zero.
Circuitos Resistivos
Lei de Kirchhoff das Correntes (Generalizada) :
A soma algébrica das correntes que entram em uma superfície fechada é zero.
Observações
Superfície fechada: conjunto de elementos interconectados que estão completamente contidos dentro da superfície
Os elementos dentro da superfície fechada não armazenam energia (A corrente entra em cada elemento é igual a corrente que sai.)
início
a
b
2A
2A
8A
4A
3A
I2
I1
EXEMPLO
Determine a corrente I2
Solução: 
Aplicar a Lei de Kirchhoff Generalizada 
- 2 + 2 – 4 – 8 - I2 + 3 = 0
I2= - 9 A
A soma das correntes entrando em uma superfície fechada é zero
?
23
4A
4A
a
b
2A
4A
1A
3A
2A
I3
I1
EXEMPLO
Determine as correntes I1
Solução: 
 I1 + 4 - Iac - 3 = 0
d
c
I2
4A
I2
I3
?
?
I1 + 4 +6 - 3= 0 
I1 
= -7 A
3 + 2 + 1 + I2 = 0
I2
= -6 A
?
Nó d:
Nó b:
Nó a:
Nó c:
Iac = I2= -6 A
- 1 – 4 + 2 - I3 = 0
Usando o Método Tradicional
Necessito de quatro equações
Número de Incógnitas?
 -I2 + 4 - 4 + Iac = 0
= -6 A
4 Nós
24
a
b
2A
4A
1A
3A
2A
I3
I1
EXEMPLO
Determine as correntes I1
Solução: 
Lei de Kirchhoff Generalizada 
 I1 + 4 - 4 + 2 - I3 + 2 = 0
A soma das correntes entrando em uma superfície fechada é zero
d
c
I2
4A
4A
I2
I3
?
?
?
Nó d:
Nó b:
03 Equações
Equação 1: 
Equação 2: 
Equação 3: 
3 +2 + 1 + I2 = 0
I2
= - 6 A
- 1 – 4 + 2 - I3 = 0
I3
= - 3 A
I1 + 4 - 4 + 2 +3 + 2 = 0 
I1 
= -7 A
Vamos resolver utilizando a Lei de Kirchhoff Generalizada + Lei dos Nós
VANTAGEM
Redução do número de Incógnitas
início
25
EXEMPLO:
Determine as correntes I1, I4 , I5 e I6 
Solução: 
1
3
4
5
Utilizando Lei de Kirchhoff Generalizada 
Outra Solução: 
Usando o Método Tradicional
04 Equações
redundante
Vamos começar pelos nós que permitem o cálculo direto das Correntes
Superfície 1
Superfície 2
SOLUÇÃO:
Superfície 1:
Aplicar a Lei de Kirchhoff Generalizada: I1, I4 
Superfície 2:
Nó2:
Nó4:
I1, I4 , I5 e I6 
Exemplo:
Determine as correntes I1 e IT indicadas nos circuitos 
Solução: 
a)
b)
Exemplo:
Determine as correntes Ix indicada nos circuitos 
Solução: 
a)
b)
AS DUAS LEIS DE KIRCHHOFF
Gustav Kirchhoff
LEI DE KIRCHOFF PARA TENSÃO
LEI DE KIRCHOFF PARA CORRENTE
LEI DE KIRCHOFF PARA CORRENTE
Corrente Entrando no Nó 
Corrente Saindo do Nó 
POSITIVA
NEGATIVA
LEI DE KIRCHOFF PARA TENSÃO
Menor Potêncial
Maior Potêncial
LEI DE KIRCHOFF PARA TENSÃO
– A soma algébrica de todas as tensões ao redor de um caminho fechado (ou laço) é igual a zero
M: é o número de ramos em um laço
vm: é a m-ésima tensão.
SUPER IMPORTANTE: CONVENÇÃO ADOTADA
LEI DE KIRCHOFF PARA TENSÃO
Convenção Adotada:
1) Escolher um sentido de referência
Mudando o sentido de referência
Sinal positivo  Tensões concordam com o sentido de referência adotado
Sinal negativo  Tensões discordam com o sentido de referência adotado
"A soma algébrica das tensões em um laço ou malha, de acordo com a convenção
adotada, é igual a zero”
LEI DE KIRCHOFF PARA TENSÃO
ou...
A soma das quedas de tensão é igual a soma dos
acréscimos de tensão.
REESCREVENDO
Exemplo : 
Se v1 = 10 V e v5 = 2 V, encontre v2, v3, e v4?
Solução:
+
_
 +
v1 = 10 V
 –
+
v2
–
+
v4
–
+
v5= 2 V
–
+ v3 –
v2 = 10 V
v2– v3 - v4= 0
v4 = v5 =2V 
v3 = 10 V – 2 V = 8 V
Lei de Kirchhoff para Tensão: "A soma algébrica das tensões em um laço ou malha, de acordo com a convenção adotada, é igual a zero”
1
1
2
2
3
3
Laço dependente
Laço dependente
+
-
R1
R2
R4
R5
R3
24V
4V
-3V
9V
2V
Vae
Vec
b
a
c
d
f
e
EXEMPLO
Determine as tensões 
Vec
Solução: 
VR3
Vae
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
VR3
?
?
?
1 - 
Calcular VR3
- 24 + 4 - VR3 + 9 - (– 3) + 2 = 0 
 VR3 
= -6 V
LAÇO 1: 
- Vae
- (- 3) + 2 = 0 
Vae
= 5 V 
LAÇO 2: 
LAÇO 3: 
Laços dependentes
- Vec
- (- 6) + 9 = 0
 Vec
= 15 V
a - 
Convenção Escolhida
Na Malha Externa VR3 é a única Incógnita
2 - 
Calcular: Vae & Vec
Atenção com a Convenção Escolhida
= -6 V
36
Redesenhando o Circuito para Determinar
Vec
Vae
Vae
= + 2 - (- 3) = 0 
Vae
= 5 V 
Vec
= +9 -VR3 = 0
 
 
 VR3 
=-6 V
Vec
= +9 - (- 6) = 0
 Vec
= 15 V
=
EXEMPLO
Determine as tensões 
VR2
Vbd
+
-
R1
VR2
Vbd
b
a
c
d
+
+
-
-
?
?
4V
12 V
6 V
+
-
Solução: 
1 - 
Convenção Escolhida
12 - 4 - VR2 - 6 = 0 
 VR2 
= 2 V
LAÇO 1: 
-Vbd
+ 12 -4 = 0
Laço Dependente
?
Vbd
Vbd
= 12 -4 = 8 V
EXEMPLO:
Determine as tensões 
VR4
Vbf
+
-
R1
R2
b
a
c
d
+
+
-
-
?
?
1V
12 V
24 V
+
-
Solução: 
 
Convenção Escolhida
12 + 1 + 4 + 2 – 24 - VR4 = 0 
 VR4 
= -5 V
LAÇO 1: 
-Vbf
+ 12 + 1 = 0
f
e
Vbf
Vec
4V
+
-
2V
+
-
R4
R3
Vec
?
Vec
= -22 V
LAÇO 2: 
LAÇO 3: 
VR4
Vbf
Vec
VR4
Laços Dependentes
= 13 V 
Vbf
EXEMPLO:
Determine a tensão 
Vbd
Solução: 
12 - VR1 - 1 - 10VR1 = 0 
VR1 
= 1V
LAÇO 1: 
12 -1 –Vbd = 0
LAÇO 2: 
VR1
11VR1 
= 11V
Vbd
Vbd = 11 V
= 1V
Fonte de Tensão Controlada por tensão
Lei de Ohm
Lei de Kirchhoff para Corrente
A corrente entrando em um Nó é igual a corrente saindo
Lei de Kirchhoff para Tensão
A Tensão em um laço é sempre zero. 
CONHECEMOS as
O Que iremos Fazer?
TRES LEIS BÁSICAS DE CIRCUITOS
CONCLUINDO...
APLICAR A ANALISE DE CIRCUITOS SIMPLES 
Em Circuitos mais COMPLICADOS
E Depois Aplicar 
CIRCUITOS DE LAÇO UNICO
CIRCUITOS com Único Par de Nós
PROXIMA AULA