Módulo 1

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 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
 CELSO SUCKOW DA FONSECA 
 
CURSO DE ENGENHARIA PRODUÇÃO / AMBIENTAL / ELÉTRICA 
 
DISCIPLINA: Resistência dos Materiais III 
 
PROFESSOR: Humberto Farneze 
 
 
MÓDULO 1 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
I.1 – FORÇA 
 Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou 
provocar deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela 
expressão da física: 
 
 
 
Onde: 
F – força 
m – massa do corpo 
a – aceleração da gravidade Movimento Deformação 
 
Sendo força um elemento vetorial somente se caracteriza se forem conhecidos: 
· direção 
· sentido 
· módulo ou intensidade 
· ponto de aplicação 
 
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O peso dos corpos é uma força de origem gravitacional que apresenta características especiais: 
I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
I.1 – FORÇA 
 
 Peso dos Corpos 
Módulo: 
 
Direção: Vertical 
 
Sentido: de cima para baixo 
 
Ponto de aplicação: centro de gravidade do corpo 
 Unidades 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 Princípio da Ação e Reação 
Quando dois corpos se encontram, toda a ação exercida por um dos corpos cobre o outro 
corresponde uma reação do segundo sobre o primeiro de mesmo módulo e direção, mas porem 
com sentidos contrários, que é a 3ª lei de Newton. 
F1 = F2 
 Princípio da Transmissibilidade de uma Força 
Quando aplicamos uma força em um corpo sólido a 
mesma se transmite com seu módulo, direção e 
sentido em toda a sua reta suporte ao longo deste 
corpo. 
F 
F P 
P = F 
P = F 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 Decomposição das Forças 
Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo três direções que desejarmos. 
Normalmente, usamos como referência três direções ortogonais entre si, escolhidas de acordo com 
a conveniência do problema. 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 Decomposição das Forças 
Podemos nestes casos usar a resultante F ou suas componentes Fx, Fy e Fz para obter o 
efeito desejado. Qualquer força contida em um plano também pode ser decomposta 
segundo duas direções. Normalmente nos interessam duas direções perpendiculares 
entre si, também escolhidas de acordo com a conveniência do problema. 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 Classificação das Forças 
As forças podem ser classificadas de acordo com a sua origem, modo de se comportar, etc...como 
por exemplo as forças de contato (ex: locomotivas, musculares, etc..) e as de ação à distância (ex: 
elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc...) 
Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo: 
F1 
R1 R2 
F2 F1, F2, R1 e R2 – Forças externas 
 
F1 e F2 – Ativas 
 
R1 e R2 - Reativas 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 Classificação das Forças 
FORÇAS INTERNAS : são aquelas que mantém unidos os pontos materiais que formam o 
corpo sólido de nossa estrutura (solicitações internas). Se o corpo é estruturalmente 
composto de diversas partes, as forças que mantém estas partes unidas também são 
chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas). 
fi R F fi 
1 2 
(1) 
 Momento de uma Força 
O momento de uma força é a medida da tendência que tem a força de produzir giro em um 
corpo rígido. Este giro pode se dar em torno de um ponto (momento polar ) ou em torno de 
um eixo (momento axial). Na nossa disciplina vamos nos ater à momento de força em relação 
à ponto, já que trabalharemos com carregamentos planos (cargas contidas em um único 
plano). 
(2) F 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
MOMENTO POLAR (momento de uma força em relação à um ponto) 
Chama-se de momento de uma força F em relação à um ponto "0", o produto vetorial do vetor OA 
pela força F , sendo "A" um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da força F. Logo também é 
um vetor, e para a sua caracterização precisamos determinar o seu módulo, direção e sentido. 
Representa fisicamente a grandeza da tendência de giro em torno deste ponto que esta força impõe 
ao corpo. 
O efeito do vetor momento é o de provocar 
um giro com determinado sentido em 
relação ao ponto “o” considerado. O vetor 
momento apresenta as seguintes 
características: 
· direção : perpendicular ao plano formado 
pela força e pelo vetor OA 
· sentido : regra da mão direita 
· módulo: produto do módulo da força F 
pela menor distância do ponto "0" a reta 
suporte da força. 
· ponto de aplicação : ponto "O" em relação 
ao qual se calculou o momento. 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
A distância d que representa o módulo do vetor OA é também chamada de braço de alavanca. Ela é a 
menor distância entre a reta suporte da força e o ponto em relação ao qual se calcula o momento , 
isto é, pode ser obtida pela perpendicular à reta que passa pelo ponto. 
Isto simplifica em muito o calculo do momento polar de uma força. 
M = F . d 
Unidades: 
N. m 
kN . m 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
A regra da mão direita consiste em posicionar os dedos da mão direita no sentido da rotação 
provocada pela força em torno do ponto O. Neste caso o polegar indica o sentido do 
momento. 
Podemos também convencionar sinais + ou - para 
cada um dos sentidos, de acordo com a nossa 
escolha. 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 Equilíbrio Estático 
 
Para um corpo permanecer em equilíbrio é preciso que sejam simultaneamente obedecidas 
duas condições, conhecidas como condições gerais de equilíbrio. 
1ª condição de equilíbrio: 
- A resultante do sistema de forças que age sobre o corpo deve ser nula. 
 
2ª condição de equilíbrio: 
- O momento resultante do sistema de forças que age sobre o corpo, em relação a um ponto 
qualquer, deve ser nulo. 
 
Escrevendo as duas condições de equilíbrio sob a forma de equações, teremos: 
 
 F = 0 
 
 Mo = 0 
 
As equações acima são conhecidas como equações fundamentais da Estática, ou equações 
universais da Estática. 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
Exemplo 1: 
 
Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fim de que ela 
permaneça em equilíbrio estático. 
 Mo = 0 
(+) 
P = 15 kN 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
Exemplo 2: 
 
Determine a força desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que ela permaneça em equilíbrio, 
sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra é presa a uma parede por meio de um pino O. 
y 
x 
Ty 
Tx 
α 
G 
o 
R2 
R1 
T 
 Mo = 0 
(+) 
- T sen α . L + G . L / 2 = 0 
 
T = G / 2 . Sen 15° = 5 kN / 2. 0,26 = 5 kN / 0,52 
 
T = 9,6 kN 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 Sistema de Forças 
É o conjunto de forças que atuam simultaneamente em um corpo rígido ou em um ponto material. 
 Resultante de Várias Forças Concorrentes 
F1X = F1 . cos α 
F1Y = F1 . sen α 
 
F2X = F2 . cosα 
F2Y = F2 . sen α 
 
FX = F1X + F2X 
 
FY = F1Y + F2Y 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 Princípio da Superposição de Efeitos 
O efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual 
a soma do efeito produzido por cada uma das forças atuando isolada. 
= + + 
+ 
 Binário ou Par de Forças 
Denomina-se binário a um sistema constituído por um par de forças paralelas de módulos 
iguais e sentidos opostos. A resultante em termo de forças é nula, entretanto há um 
momento polar resultante de móduloigual ao produto da força pela distância entre as duas 
direções paralelas. 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
O 
F = 0 
 
MO = F . d/2 + F . d/2 
 
MO = F . d 
Dois binários são equivalentes quando tem o mesmo momento polar resultante em módulo, 
direção e sentido. 
Exemplo 3: 
18 
 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
Exemplo 4: 
Qual a força horizontal que atua nos parafusos 1 e 2 da ligação abaixo, considerando o momento 
provocado pelo peso na ponta da haste. 
50 N 
B 
A 
0,4 m 
0,2 m 
Placa 
MB = 50 N . 0,4 m = 20 N.m 
Reduzindo o sistema ao ponto B: 
 
 
 
RB 
50 N 20 N.m 
R1 
R2 
O momento resultante em B do sistema R1 e R2 será: 
R1 
R2 
B 20 N.m 
MR = 20 N . M = R1 . 0,1 + R2 . 0,1 
 
R . 0,1 m + R . 0,1 m = 20 N.m 
 
R = 20 N.m / 0,2 m = 100 N 
FX = 0 
R1 + R2 = 0 
R1 = - R2 
 
R1 = R 
R2 = - R 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 Translação de Forças 
Transladar uma força (como artifício de cálculo) é transportá-la de sua direção para outra direção 
paralela. Isto implica no acréscimo de um momento devido à translação, cujo módulo é igual ao 
produto da força pela distância de translação. 
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 I – REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 Redução de um Sistema de Forças à um Ponto 
Qualquer sistema de forças pode ser reduzido à um sistema vetor-par , onde o vetor é a resultante 
das forças , localizada à partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par é o momento polar 
resultante do sistema em relação ao mesmo ponto. 
Exemplo 5: 
 
Reduzir o sistema de forças da figura ao ponto B indicado. 
F = 300 + 100 – 350 + 80 = 130 kN 
 
MB = 300 . 1,1 + 100 . 0,7 – 350 . 0,5 + 80 . 0,3 = 249 kN . m 
(+) 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre as cargas 
externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que agem no 
interior do corpo. Esse assunto também envolve o cálculo das deformações do corpo e 
proporciona o estudo de sua estabilidade quando sujeito a forças externas. 
No projeto de qualquer estrutura ou máquina, em primeiro lugar, é necessário usar os 
princípios da estática para determinar as forças que agem sobre os vários elementos, bem 
como no seu interior. O tamanho dos elementos, sua deflexão e estabilidade dependem 
não só das cargas internas, mas também do tipo de material de que são feitos. 
II.1 - Introdução 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
II.2 – Equilíbrio de um Corpo Deformável 
 
 
 Forças Externas 
de superfície 
de corpo 
- Forças de superfície: causadas pelo contato direto 
de um corpo na superfície do outro. 
Se a área de contato entre esses corpos for pequena 
em comparação com a superfície total do corpo, 
então a força de superfície pode ser idealizada como 
uma força concentrada, aplicada em um ponto do 
corpo. 
Se essa carga for aplicada ao longo de uma área 
estreita, temos uma carga linear distribuída, w(s), de 
unidade [F] / [L]. A força resultante FR de w(s) é 
equivalente à área sob a curva da carga distribuída, 
e essa resultante age no centróide C ou centro 
geométrico dessa área. 
 
- Força de corpo: quando um corpo exerce uma 
força sobre o outro, sem contato físico entre eles, 
como força gravitacional ou eletromagnética. Apesar 
de afetarem todos os pontos do corpo, ela 
normalmente é representada por uma única força 
concentrada. No caso da gravidade, essa força é 
denominada peso do corpo e age no centro de 
gravidade deste. 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
- Reações de Apoio: força de superfície que se desenvolvem nos apoios ou contatos entre corpos 
e são denominadas reações, determinadas pelo equilíbrio do corpo livre. Em um sistema 2-D de 
forças coplanares, os apoios mais comuns são: 
Se um apoio impede uma translação ou uma rotação em uma dada direção, desenvolve-se uma força ou 
momento nessa direção 
Modelando adequadamente o tipo de apoio, determinaremos as cargas externas desconhecidas que agem 
num corpo. 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 Equações de equilíbrio: 
 
 
- De forças: evitar que o corpo translade ou tenha movimento acelerado. Fi = 0 
- Momento: evitar rotação de um corpo. Mi F/o = 0 
i = x, y, z 
A aplicação das equações de equilíbrio requer a especificação correta de todas as forças 
conhecidas e desconhecidas que atuam sobre o corpo. A melhor forma de obter as equações 
de equilíbrio é por meio do diagrama de corpo livre. 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 Cargas Resultantes Internas: 
 
 
Uma das aplicações da Estática é a determinação das 
forças e momentos que atuam no interior do corpo, 
necessários para manter o corpo unido quando submetido 
à cargas externas. 
Utilizamos, normalmente, o método das seções: 
- Fazemos o corte na região onde as cargas internas devem 
ser determinadas. 
- As duas partes são separadas e o diagrama de uma das 
partes é desenhado. Há uma distribuição de forças atuando 
na parte exposta do corpo, representando os efeitos da 
parte superior sobre o material da parte inferior. 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
A distribuição exata da carga interna pode ser desconhecida, mas podemos representá-la por 
uma força resultante FR e um momento resultante MRO . Veremos que esse ponto O é mais 
comumente escolhido como centróide da área. 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
São definidos quatro tipos de cargas atuantes: 
- Força norma N: atua perpendicularmente à área, 
criada sempre que forças externas tendem a 
tracionar ou comprimir o corpo. 
 
- Força cisalhante V: localiza-se no plano da área, 
criada quando cargas externas tendem a provocar 
o deslizamento de duas partes do corpo. 
 
- Momento de torção ou torque T: efeito criado 
quando as cargas externas tendem a torcer o 
corpo. 
 
- Momento fletor M: provocados pelas cargas 
externas que tendem a fletir o corpo. 
A representação gráfica do M e T segue a regra da mão direita,, com o polegar indicando o 
sentido do vetor e os outros dedos o sentido da rotação. 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 Cargas Coplanares 
Se o corpo for submetido a um sistema de forças coplanares, então haverá na seção apenas 
componentes da força normal, força de cisalhamento e momento fletor. 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Exemplo 1: 
 
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C, da viga mostrada 
na figura abaixo. 
///////// ///////// 
2 m 
2 m 3 m 
5 m 
20 kN 
C 
Fazendo um corte no ponto C: 
V 
V 
N N 
M M 
RA RB 
C C A B 
2 m 
FX = 0  N = 0 
 
FY = 0 
RA + RB – 20 = 0 (1) 
 
MA = 0 
RB . 5 – 20 . 3 = 0  RB = 60 / 5 = 12 kN (2) 
 
Substituindo (2) em (1): 
RA + 12 – 20 = 0 RA = 8 kN 
 - Momento causa flexão. 
 - Cisalhamento causa 
 deslizamento entre planos. 
A B 
(+) 
20 kN 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Calculadas as reações em A e B, conhecemos agora todas as forças externas do nosso sistema. 
Queremos agora as forças internas no ponto C, que são obtidas equilibrando-se uma das partes. 
 
V 
V 
N N 
M M 
RA RB 
C C A B 
2 m 
- Considerando AC: 
 
FY = 0  V + RA = 0  V = - 8 kN (cisalhamento) 
 
MC = 0  M – RA . 2 = 0  M = 8 . 2 = 16 kN . m (momento fletor)- Considerando BC: 
 
FY = 0  - V + RB - 20 = 0  - V = -12 + 20  V = 12 – 20 = - 8 kN 
 
MC = 0  - M – 20 . 1 + RB . 3 = 0  - M = 20 – 12 . 3  - M = - 16  M = 16 kN . m 
20 kN 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Exemplo 2: 
Determine as cargas resultantes internas que agem na seção transversal em C do eixo de máquina 
mostrado na figura abaixo. O eixo está apoiado em mancais em A e B, que exercem somente forças 
verticais no eixo. 
Como devemos considerar só o segmento AC, apenas a reação em A precisa ser calculada. 
(+) 
MB = 0 
 
- AY . (0,400 m) + 120 N . (0,125 m) - 225 . (0,100 m) = 0 
 
AY = - 18,75 N 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
(+) 
Traçando-se uma seção imaginária perpendicular à linha de centro do eixo que passa por C, obtém-
se o diagrama de corpo livre do segmento AC. 
FX = 0  NC = 0 
 
FY = 0 
- 18,75 N – (800 . 0,05) – VC = 0  VC = - 18,75 N – 40 N 
VC = - 58,75 N 
 
MC = 0 
MC + 40 N . (0,025 m) + 18,75 N . (0,250 m) = 0 
MC = - 1 N. m – 4,69 N. m  MC = - 5, 69 Nm 
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 II – INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Exemplo 3: 
 
Na barra apresentada abaixo, determine o torque nas seções 1, 2 e 3. 
Método das Seções: 
 
Seção 1: 
 
250 N. m t1 
M =0  250 – t1 = 0  t1 = 250 N. m 
Seção 2: 
400 N.m 
250 N. m t2 
M = 0  250 – 400 – t2 = 0  t2 = - 150 N.m 
Seção 3: 
300 N.m 400 N.m 
250 N. m t3 
M = 0  250 – 400 – 300 – t3 = 0 
T3 = - 450 N.m