Grandezas Proporcionais

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GRANDEZAS PROPORCIONAIS
RAZÃO ENTRE SEGMENTOS
Sejam os segmentos de 3cm e de 5cm
 
A B C D
A razão entre os segmentos e é:
 
Nota:
- Se a razão é um número racional, dizemos que os segmentos são comensuráveis,
- Se a razão é um número irracional, dizemos que os segmentos são incomensuráveis. 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
Sejam os segmentos da figura:
 
 A B C D
 
E F G H
Os segmentos , , e , nesta ordem, são proporcionais.
Veja:
 
Verifique que as medidas dos quatro segmentos dados formam uma proporção.
Logo: 
EXERCÍCIOS
1) Determine a razão entre os segmentos AB e CD que medem respectivamente:
a) 3cm e  5cm 
b) 6cm e 12 cm 
c) 21 cm e 7cm 
d) 1m e √3m 
e) 5√2m e 9√2m 
f) 2√7m e √2m 
2) Observe a figura abaixo, onde u é uma unidade de medida:
 u u u u u u u 
 
 M P N
Calcule as razões entre os segmentos:
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
3) Observe a figura abaixo e dê os valores das razões:
 u u u u u u u 
 
 A B C D E F G H
	
a) 
	
e) 
	
b) 
	
f) 
	
c) 
	
g) 
	
d) 
	
h) 
4) Determine x em cada uma das seguintes proporções:
	
a) 
	
e) 
	
b) 
	
f) 
	
c) 
	
g) 
	
d) 
	
h) 
5) Determine x em cada uma das seguintes proporções:
	
a) 
	
f) 
	
b) 
	
g) 
	
c) 
	
h) 
	
d) 
	
i) 
	
e) 
	
d) 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES:
1) Determine a razão entre os segmentos e , que medem respectivamente:
	a) 4 cm e 5 cm
	
d) m e m 
	b) 3 cm e 6 cm
	
e) 1m e m 
	c) 28 cm e 7 cm
	
f) m e m
2) Indique os itens em que as razões formam uma proporção:
	
a) e 
	
d) e 
	
b) e 
	
e) e 
	
c) e 
	
f) e 
3) Calcule o valor de x:
	
a) 
	
c) 
	
b) 
	
d) 
4) A razão entre a altura de Maria e a de Fabiana é . A altura de Maria é 170 cm. Qual é a altura de Fabiana?
FEIXE DE RETAS PARALELAS
Chama-se feixe de paralelas o conjunto de três ou mais retas paralelas de um plano.
Se uma reta intercepta essas paralelas, ela se chama transversal.
Na Figura, temos:
- As retas paralelas a,b,c e d.
- a reta transversal r.
Teorema
Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então determinará segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.
Demonstração:
1) Seja os segmentos AB e Bc comensuráveis. Escolhemos o u como unidade de medida.
AB= 2u
BC = 3u
Então: 
2) Pelos pontos de divisão dos segmentos AB e BC, traçamos paralelas às retas do feixe. Essas paralelas dividem DE e EF em segmentos congruentes.
DE = 2v
EF = 3v
Então: 
comparando 1 e 2, temos
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Calcular o valor de x nos feixes de paralelas (a // b//c ):
EXERCÍCIOS
1) Nas figuras calcule x, sabendo que a // b // c:
2) Calcule x, sabendo que r // s // t:
3) Calcule x:
4) Nas figuras, calcule x, sabendo que a // b //c:
5) Nas figuras, calcule x e y, sabendo que a // b // c // d:
6) Na figura calcule x e y , sabendo que a // b// c:
7) Calcule x, sabendo que a // b // c: 
8) Calcule x, sabendo que a // b // c:
9) Calcule x, sabendo que a // b // c:
10) Calcule x, y e z, sabendo que a // b // c // d:
TEOREMA
Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo determina, sobre os outros dois lados, proporcionais.
Demonstração:
Traçamos pelo vértice A uma reta r paralela ao lado BC.
Temos um feixe de paralelas, e pelo teorema de tales:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Calcule o Valor de x, sabendo que MN // BC
EXERCÍCIOS
1) Calcule o valor de x, sabendo que EF // GH:
2) Calcule o valor de x, sabendo que BC // EF:
3) Calcule o valor de x, sabendo que BC // GH:
4) Calcule o valor de x, sabendo que BC // MN:
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES:
Nas figuras, a // b // c, calcule o valor de x.
a)
 
b)
 
c)
d)
 
e)
 
f)
 
Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas.
a)
 
b)
 
c) 
 
d) 
 
Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas.
 
Uma reta paralela ao lado de um triângulo ABC determina o ponto D em e E em . Sabendo – se que = x, = x + 6, = 3 e = 4, determine o lado do triângulo.
A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua B. as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2 para a rua B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3?
Um feixe de quatro retas paralelas determina sobre uma transversal três segmentos consecutivos, que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. Calcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo feixe em outra transversal, sabendo que o segmento desta, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 60 cm.
As alturas de dois postes estão entre si assim como 3 esta para 5. Sabendo que o menor deles mede 6 m, então o maior mede:
A figura abaixo nos mostra duas avenidas que partem de um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas. Na primeira avenida, os quarteirões determinados pelas ruas paralelas tem 80 m e 90 m de comprimento, respectivamente. Na segunda avenida, um dos quarteirões determinados mede 60 m. Qual o comprimento do outro quarteirão?
 
Na figura abaixo, sabe – se que //e que = 42 cm. Nessas condições, determine as medidas x e y indicadas.
A
 Num triângulo ABC, o lado mede 24 cm. Por um ponto D, sobre o lado , distante 10 cm do vértice A, traça – se a paralela ao lado , que corta o lado tem 15 cm de comprimento, determine a medida do lado .
 No triângulo ABC da figura, sabe – se que // . Calcule as medidas dos lados e do triângulo.
 A
 Na figura abaixo, // . Nessas condições, determine os valores de a e b.
 A planta abaixo no mostra três terrenos cujas laterais são paralelas. Calcule, em metros, as medidas x, y e z indicadas.
 Dois postes perpendiculares ao solo estão a uma distância de 4 m um do outro, e um fio bem esticado de 5 m liga seus topos, como mostra a figura abaixo. Prolongando esse fio até prende – lo no solo, são utilizados mais 4 m de fio. Determine a distância entre o ponto onde o fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele.
 No triângulo abaixo, sabe –se que // . Calcule as medidas dos lados e do triângulo.
 Uma reta paralela ao lado de um triângulo ABC determina o lado segmentos que esta reta determina sobre o lado , de medida 10 cm.
 No triângulo ao lado, // . Nessas condições, determine:
a medida de x.
o perímetro do triângulo, sabendo que = 11 cm.
 Esta planta mostra dois terrenos. As divisas lateraissão perpendiculares à rua. Quais as medidas das frentes dos terrenos que dão para a avenida. Sabendo – se que a frente total para essa avenida é de 90 metros?
 
 O mapa abaixo mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. Calcule as distâncias entre os cruzamentos dessas vias, supondo as medidas em km:
 Nesta figura, os segmentos de retas , , e são paralelos. A medida do segmento , em metros, é:
 Uma antena de TV é colocada sobre um bloco de concreto. Esse bloco tem 1 m de altura. Em um certo instante, a antena projeta uma sombra de 6 m, enquanto o bloco projeta uma sombra de 1,5 m. Nessas condições, qual é a altura da antena?
 Uma estátua projeta uma sombra de 8 m no mesmo instante que seu pedestal projeta uma sombra de 3,2 m. Se o pedestal tem 2 m de altura, determinar a altura da estátua.
 No triângulo da figura abaixo, temos // . Qual é a medida do lado e a medida do lado desse triângulo?
 Um feixe de três retas paralelas determina sobre uma transversal aos pontos A, B e C, tal que = 10 cm e = 25 cm, e sobre uma transversal b os pontos M, N e P, tal que = 21 cm. Quais as medidas dos segmentos e determinados sobre a transversal? Faça a figura.
Fonte: http://www.matematicamuitofacil.com/
Crédito ao Professor Luiz Fernando Reis