Cálculo 3 Lista 3

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 2 Lista 3 2.o/2017
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Seja Q o so´lido limitado pelo plano 2x+ 2y + z = 1 e pelo paraboloide z = 3 − x2 − y2,
conforme ilustra a figura, e indique por M a massa de Q com densidade constante δ0 = 1.
De acordo com a figura, o so´lido e´ a regia˜o entre os gra´ficos de duas func¸o˜es f, g : D → R,
definidas em algum domı´nio D ⊂ R2.
C E a) O domı´nio D e´ um disco.
C E b) Q e´ o conjunto dos pontos (x, y, z) em que
(x, y) ∈ D e 3− x2 − y2 ≤ z ≤ 1− 2x− 2y .
C E c) A mudanc¸a g(u, v) = (u + 1, v + 1) simplifica
o ca´lculo da massa M .
C E d) Calculando obte´m-se que M < 10pi.
C E e) A coordenada x do centro de massa e´ tal que
x < 1/2.
2) Indique porD a calota circular ilustrada na figura e por A(x0) a sua a´rea, onde 0 ≤ x0 ≤ 2.
Feito o ca´lculo, os valores de A(0) e A(2) podem ser comparados com as expresso˜es das a´reas
nos casos em que x0=0 e x0=2, expresso˜es que podem ser deduzidos diretamente da figura.
x0 2
D
a) Descreva D em coordenadas cartesianas.
Resposta:
b) Descreva a reta x = x0 em coordenadas polares.
Resposta:
c) Descreva D em coordenadas polares.
Resposta:
d) Calcule a a´rea A(x0).
Resposta:
e) Verifique o resultado do item anterior comparando os valores de A(0) e A(2) com
aqueles deduzidos diretamente da figura.
Resposta:
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3) Apesar da func¸a˜o e−x
2
na˜o ter uma primitiva elementar, a integral
∫∞
0
e−x
2
dx pode ser
calculada usando coordenadas polares e que e−x
2
e−y
2
= e−(x
2+y2). De fato, tem-se que∫ ∞
0
e−x
2
dx
∫ ∞
0
e−y
2
dy =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−(x
2+y2) dxdy = lim
a→∞
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy
onde o integrando sugere o uso de coordenadas polares. Nesse sentido, sejam R1 e R2 as
regio˜es no primeiro quadrante limitadas pelos c´ırculos de raios a e
√
2 a, conforme a figura.
a) Use coordenadas polares para calcular a integral
de e−(x
2+y2) sobre a regia˜o R1.
b) Repita o mesmo ca´lculo para a regia˜o R2.
c) Determine func¸o˜es g1(a) e g2(a) tais que
g1(a) <
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy < g2(a).
a
√
2a
R1 R2
d) Use o item anterior para calcular o limite lima→∞
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy.
e) Calcule finalmente o valor da integral
∫∞
0
e−x
2
dx.
4) Considere uma chapa CR limitada pela circunfereˆncia x
2 + y2 = R2, com densidade cons-
tante δ0, uma part´ıcula de massa m0 situada no ponto (0, 0, b) e o problema de determinar a
forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional entre esses corpos. Denote por G a constante gravitacional e
por dF (x, y) a forc¸a de atrac¸a˜o entre a part´ıcula e o elemento de massa dm(x, y) = δ0 dxdy
do ponto (x, y). Observe que, por simetria, as componentes horizontais de dF (x, y) e
dF (−x,−y) se cancelam, restando apenas as componentes verticais dessas forc¸as.
b
R
a) Use a lei de Newton para calcular ‖dF (x, y)‖.
b) Determine o vetor unita´rio U(x, y) na mesma direc¸a˜o do vetor
de ponto inicial(0, 0, b) e ponto final (x, y, 0).
c) Usando que dF (x, y) = ‖dF (x, y)‖ U(x, y), determine a
componente vertical dFv(x, y) de dF (x, y).
d) Calcule a forc¸a de atrac¸a˜o entre CR e a part´ıcula usando um
argumento infinitesimal.
e) Passando o limite com R → ∞, verifique que a forc¸a de atrac¸a˜o entre a part´ıcula e
todo o plano Oxy, com densidade δ0, na˜o depende da distaˆncia b da part´ıcula ao plano.
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