Campo gradiente e função potencial

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 21
Teste para campos gradientes
Observe que, se ~F = (M,N) e´ um campo gradiente, enta˜o Nx = My. De fato, se ~F = ∇f
enta˜o M = fx, N = fy, portanto Nx = fyx = fxy = My.
Pode-se mostrar que vale a reciproca, isto e´, se ~F e´ definido e diferencia´vel em todo ponto
do plano, e Nx = My, enta˜o ~F = (M,N) e´ um campo gradiente.
Exemplo 1 Verificar se ~F = (−y, x) e´ campo gradiente.
Soluc¸a˜o. Basta notar que −1 = My 6= Nx = 1, e portanto ~F na˜o e´ campo gradiente. �
Exemplo 2 Para quais valores de a o campo ~F = (4x2 + axy, 3y2 + 4x2) e´ gradiente?
Soluc¸a˜o. Como Nx = 8x e My = ax, o u´nico valor poss´ıvel e´ a = 8. �
Encontrando o potencial
Supondo que ~F seja um campo gradiente, como encontrar a func¸a˜o potencial f? Isso pode
ser feito por dois me´todos, como ilustrado abaixo para o campo ~F = (4x2 + 8xy, 3y2 + 4x2).
Me´todo 1 Usando o Teorema Fundamental das Curva.
Sabemos que se uma curva C comec¸a no ponto (0, 0) e
termina no ponto (x1, y1), enta˜o f(x1, y1)− f(0, 0) =
∫
C
~F · d~r.
Aqui f(0, 0) e´ apenas uma constante de integrac¸a˜o (se f e´ um
campo gradiente, enta˜o f + c tambe´m e´).
Uma escolha poss´ıvel, e mais simples, e´ a curva C = C1∪C2,
onde C1 e´ a porc¸a˜o do eixo-x de (0, 0) ate´ (x1, 0) e C2 e´ o
segmento vertical de (x1, 0) ate´ (x1, y1).
Ao longo de C1 temos y = 0 e dy = 0, e portanto
∫
C1
~F ·d~r = ∫ x1
0
4x2 dx = 4
3
x31. Ao longo
de C2 temos x = x1 e dx = 0, e portanto
∫
C2
~F · d~r = ∫ y1
0
(3y2 + 4x21)dy = y
3
1 + 4x
2
1y1. Assim,
f(x1, y1)− f(0, 0) =
∫
C1
~F · d~r +
∫
C2
~F · d~r = 4
3
x31 + y
3
1 + 4x
2
1y1
isto e´, f(x1, y1) =
4
3
x31 + y
3
1 + 4x
2
1y1+ constante.
Me´todo 2 Usando integrais “parciais”.
Queremos f(x, y) tal que
fx(x, y) = 4x
2 + 8xy (1)
fy(x, y) = 3y
2 + 4x2 (2)
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 9 Summary
2
Integrando a equac¸a˜o (1) com respeito a` x (tratando y como constante), obtemos f(x, y) =
4
3
x3 + 4x2y + g(y), onde g(y) e´ a constante de integrac¸a˜o (independente de x, mas pode de-
pender de y). Tomando a derivada parcial com respeito a` y, e tendo em vista a equac¸a˜o (2),
obtemos
fy(x, y) = 4x
2 + g′(y)
= 3y2 + 4x2
Da´ı segue-se que g′(y) = 3y2, e portanto g(y) = y3+ constante. Finalmente, obtemos que
f(x, y) = 4
3
x3 + 4x2y + y3+ constante.
Rotacional
Suponha que o campo ~F esteja definido em todos os pontos (ou em uma regia˜o simples-
mente conexa, veja as pro´ximas aulas). Nesse caso, temos as equivaleˆncias:
Nx = My ⇔ ~F e´ um campo gradiente ⇔ ~F e´ conservativo.
em que conservativo significa que
∮
C
~F · d~r = 0 para qualquer curva fechada.
Assim, verificar se um campo e´ ou na˜o conservativo pode ser feito por meio do rotacional
de ~F , definido por
rot(~F ) = Nx −My.
Interpretac¸a˜o f´ısica. O rotacional pode ser interpretado de va´rias maneiras, dependendo
do campo que se esta´ considerando.
Para um campo de velocidades, temos que rot(~F ) = duas vezes a velocidade angular
de rotac¸a˜o do movimento. Por exemplo, os campos ~F = (a, b) (uma translac¸a˜o uniforme,
ver Figura 1) e ~F = (x, y) (um movimento de expansa˜o, ver Figura 2) teˆm rotacional zero.
Entretanto, o campo ~F = (−y, x), que e´ uma rotac¸a˜o com velocidade angular unita´ria
(Figura 3), e´ tal que rot(~F ) = 2.
Para um campo de forc¸a, temos rot ~F = torque exercido sobre uma massa de teste, e
mede como ~F realiza o movimento de rotac¸a˜o. De fato, enquanto que para um movimento
de translac¸a˜o temos que forc¸a/massa = acelerac¸a˜o = d
dt
velocidade, para um movimento de
rotac¸a˜o temos torque/momento de ine´rcia = acelerac¸a˜o angular = d
dt
velocidade angular.
Figura 1 Figura 2 Figura 3