Centróide e Momento de Inércia em Engenharia Civil

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CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAS I
CENTRÓIDE
E
MOMENTO DE INÉRCIA 
ENG. DANIELA SILVA TAMWING
13/02/2017
14/02/2017
CENTRÓIDE
DEFINIÇÃO
Um corpo composto consiste em um conjunto de corpos de formatos ‘mais simples’ que podem ser
retangulares, triangulares, semicirculares, etc. Esse corpo frequentemente pode ser segmentado ou
dividido em suas partes constituintes e, contanto que o peso e a localização do centro de gravidade de
casa uma dessas partes sejam conhecidos, podemos eliminar a necessidade de integração para obter
o centro de gravidade do corpo como um todo.
 𝑥 =
 𝑥𝑊
 𝑊
 𝑦 =
 𝑦𝑊
 𝑊
 𝑧 =
 𝑧𝑊
 𝑊
W – L – A – m 
CENTRÓIDE
DEFINIÇÃO
CENTRÓIDE
DEFINIÇÃO
CENTRÓIDE
DEFINIÇÃO
CENTRÓIDE
DEFINIÇÃO
CENTRÓIDE
DEFINIÇÃO
CENTRÓIDE
 EXEMPLO
1) Encontre o centroide do fio mostrado na figura.
CENTRÓIDE
 EXEMPLO
1° Divide as seções e encontra os centróides.
CENTRÓIDE
EXEMPLO
2° Cálculos dos dados que aparecem na tabela.
3° Aplicar na fórmula: 
CENTRÓIDE
 EXEMPLO
1) Localize o centroide da área da placa mostrada na figura:
CENTRÓIDE
 EXEMPLO
1° Divide as seções
CENTRÓIDE
 EXEMPLO
2° Cálculos dos dados que aparecem na tabela.
3° Aplicar na fórmula: 
CENTRÓIDE
 EXEMPLO
1) Localize o centroide da área da seção reta do elemento:
CENTRÓIDE
 EXEMPLO
1° Divide as seções
CENTRÓIDE
 EXEMPLO
2° Cálculos dos dados que aparecem na tabela.
3° Aplicar na fórmula: 
MOMENTO DE INÉRCIA
 DEFINIÇÃO
Em termos gerais, pode-se definir momento de inércia como a propriedade das superfícies planas se
deixarem girar em torno de um eixo. É a medida da resistência à flexão.
MOMENTO DE INÉRCIA
 DEFINIÇÃO
Em termos gerais, pode-se definir momento de inércia como a propriedade das superfícies planas se
deixarem girar em torno de um eixo. É a medida da resistência à flexão.
MOMENTO DE INÉRCIA
 Considere a área A, mostrada na figura abaixo, que se encontra no plano x-y. Por definição, os
momentos de inércia de uma área plana infinitesimal dA em ralação aos eixos x,y são:
dlx = y²dA e dly = x²dA
 Para toda a área, os momentos de inércia são determinados por integração, isto é:
MOMENTO DE INÉRCIA
 Podemos também formular o segundo momentos de dA em relação ao pólo ou eixo z. Esse
momento é denominado momento polar de inércia, dJo = r² dA.
 Nesse caso, r é a distância perpendicular do pólo à área infinitesimal dA. Para a área total, o
momento de inércia polar é:
É possível relacionar Jo, Ix e Iy já que r² = x²+ y²
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA
MOMENTO DE INÉRCIA
Os momentos de inércia têm as seguintes propriedades: 
 São sempre grandezas positivas, uma vez que a massa é uma grandeza positiva e o
quadrado de uma distância também;
 Só é nulo para pontos sobre a base de referência (plano, eixo, ou ponto);
 Nunca é negativo.
Assim definidos os momentos de inércia, têm como unidades 𝒎𝒎𝟒, 𝒑é𝒔𝟒, 𝒑𝒐𝒍𝟒 .
 PROPRIEDADES
MOMENTO DE INÉRCIA
Se o momento de inércia de uma área em relação a um eixo passa pelo centroide, como é o caso na
maioria das vezes, é conveniente determinar o momento de inércia da área em relação a um eixo
paralelo correspondente, utilizando o teorema dos eixos paralelos.
 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
Momento de inércia
da área em relação
ao eixo que passa
pelo centroide.
y' distância ao
centroide = 0.
Área total A.
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS
Desde que o momento de inércia de cada uma dessas partes seja conhecido ou possa ser determinado 
em relação a um eixo comum, então o momento de inércia da área composta é igual à soma algébrica 
dos momentos de inércia de todas as partes que a compõem.
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
1) Calcule o momento de inércia da área composta mostra na figura, em relação ao eixo x.
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
1° Divide as seções
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
2° Cálculo Momento de Inércia para cada seção
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
1) Determine os momentos de inércia da área da seção reta da viga mostrada na figura,
em relação aos eixos x e y que passam pelo seu centroide.
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
1° Divide as seções
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
2° Cálculo Momento de Inércia para cada seção
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
2° Cálculo Momento de Inércia para cada seção
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
2) Determine ao distância 𝑥 do centróide da seção reta da área da viga e encontre o seu momento de inércia 
em relação ao eixo y’.
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
1° Divide as seções
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
2° Cálculos dos dados que aparecem na tabela.
2
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
2° Cálculos dos momentos de inércia.
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
3) Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x’.
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
1° Cálculo do Momento de Inércia
𝐼𝑥′ =
1
12
𝑏ℎ3
𝐼𝑥′ =
1
12
(160)(1603) −
1
12
(120)(803)
𝐼𝑥′ = 49,5 10
6 𝑚𝑚4
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
3) Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo y.
MOMENTO DE INÉRCIA
 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS - EXEMPLO
1° Cálculo do Momento de Inércia