Slides aula interativa 2, Matemática aplicada, lógica

Prévia do material em texto

7
1
Professor: 
Paulo Martinelli
CORRELAÇÃ E REGRESSÃO, 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES OU 
COMPOSTA E TAXAS DE RETORNO
Aula Revisão
7
2
MÉTODOS QUANTITATIVOS
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
7
3
INTRODUÇÃO
- Correlação
- Regressão 
a) Linear simples
b) Linear múltipla
- Reta de regressão
- Coeficiente de correlação de Pearson
7
4
CORRELAÇÃO é o grau de relacionamento existente 
entre duas variáveis.
Pode ser:
- simples (uma única variável independente);
- múltipla (mais de uma variável independente).
7
5
A correlação pode ser ainda como:
- linear: quando o ajustamento é feito por uma função do 
primeiro grau;
- não linear: quando o ajustamento é feito por uma função 
de grau maior que um.
7
6
REGRESSÃO é o método de análise da relação existente 
entre duas variáveis: 
uma dependente e uma independente.
7
7
Regressão Linear Simples
Linear porque vamos lidar com uma função do 1º grau 
(uma reta);
Simples porque trata-se de um modelo aplicado a dados 
cuja dispersão é constante e onde temos apenas uma 
variável independente.
7
8
Tema 2: 
RETA DE REGRESSÃO
7
9
Bairro Renda x Pizzas vendidas 
(R$100,00) por mês x 100
A 9 40
B 8 38
C 12 55
D 6 27
E 11 53
F 7 33
G 4 20
H 13 60
I 5 25
J 10 46
7
10
Há uma relação linear 
entre essas grandezas 
(salário e pizzas) ?
7
11
Diagrama de Dispersão
y (pizzas)
55
45
35
25
15
5
0 3 6 9 12 15
x (renda)
7
12
y = variável dependente (as pizzas)
x = variável independente (a renda)
y = M.x + B (função linear)
M e B são os parâmetros da função.
7
13
0
y
x
B
α
M = tg α
7
14
Reta de Regressão
y (pizzas)
55
45
35
25
15
5
0 3 6 9 12 15 
x (renda)
7
15
Equação da Reta de Regressão:
M = ( X . Y – X . Y ) / [ X2 – ( X )2 ]
B = Y – M . X
Lembre-se: y = M.x + B
7
16
X Y X2 X . Y
9 40 81 360
8 38 64 304
12 55 144 660
6 27 36 162
11 53 121 583
7 33 49 231
4 20 16 80
13 60 169 780
5 25 25 125
10 46 100 460
Σ=85 397 805 3.745
7
17
Cálculo das médias (dividir os 
somatórios por 10, neste caso)
X = 8,5
Y = 39,7
X2 = 80,5
X . Y = 374,5
7
18
Cálculo dos parâmetros da função:
M = 374,5 – 8,5 . 39,7 = 4,49
80,5 – (8,5)2
B = Y – M . X
B = 39,7 – 4,49 . 8,5
B = 1,535
7
19
Como y = M.x + B
y = 4,49 . X + 1,535
Suponha renda = R$1.800,00
(ou seja, x = 18). Quanto vale y ?
y = 4,49 . 18 + 1,535 
y = 82,36
(ou seja, 8.236 pizzas)
7
20
Tema 3: 
Coeficiente de Correlação 
de Pearson
7
21
Correlação Linear Perfeita (positiva)
x
y
r = 1
7
22
y
x
Forte correlação positiva
r > 0
7
23
y
x
Fraca correlação positiva
r > 0
7
24
Correlação Linear Perfeita (negativa)
y
x
r = −1
7
25
Forte correlação negativa
y
x
r < 0
7
26
Fraca correlação negativa
y
x
r < 0
7
27
y
x
Ausência de correlação linear
r = 0
7
28
Cálculo de “ r “
n.∑X.Y − ∑X.∑Y 
r = 
[n.∑X2 − (∑X)2] [n.∑Y2 − (∑Y)2]
7
29
Cidade Nº de mortes Nº de fumantes 
por câncer de entre os mortos
pulmão por câncer
A 12 9
B 27 20
C 14 10
D 18 15
E 31 24
F 24 19
G 35 30
H 10 8
7
30
X Y X.Y X2 Y2
9 12 108 81 144
20 27 540 400 729
10 14 140 100 196
15 18 270 225 324
24 31 744 576 961
19 24 456 361 576
30 35 1050 900 1225
8 10 80 64 100
135 171 3388 2707 4255
7
31
n.∑X.Y − ∑X.∑Y 
r = 
[n.∑X2 − (∑X)2] [n.∑Y2 − (∑Y)2]
7
32
8 . 3388 − 135 . 171
r = 
[8 . 2707 − 1352].[8 . 4255 − 1712
r = 0,99 (ou seja: 99%)
7
33
IMPORTANTE:
r = 0,99 (valor positivo)
As duas grandezas envolvidas são 
diretamente proporcionais.
Caso fossem inversamente 
proporcionais, o valor de 
r seria negativo.
7
34
Tema 4: 
CORRELAÇÃO LINEAR MÚLTIPLA 
7
35
Correlação e Regressão Linear 
Múltipla
Há fenômenos que só são razoavelmente 
bem explicados por mais de uma variável 
independente. Nesse caso, a regressão e 
a correlação são múltiplas.
7
36
y = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn + B
onde:
y é a variável dependente;
M1,2,...,n são os coeficientes de regressão;
x1,2,...,n são as variáveis independentes;
B é o múltiplo intercepto.
7
37
Cálculo dos parâmetros da fórmula:
B = Y − M1 . X1 − M2 . X2
Sy2 − Sy1
S12 S11
M2 = 
S22 − S12
S12 S11
7
38
M1 = Sy2 − S22 . M2
S12 S12
r = M1 . Sy1 + M2 . Sy2
Syy
7
39
Cargos dos empregados de uma empresa, 
com grau de instrução mínimo exigido
Cargo Salário Grau de Nível de 
(x 100) instrução supervisão
A) Ger. Div. 42 4 4
B) Ger. Pro. 28 4 3
C) Op. torno 9 3 1
D) Ch. Alm. 10 3 1
E) Projetista 18 3 3
F) Of. Boy 8 1 0
G) As. Social 15 4 2
H) Psicol. 18 4 2
I) Dir. Fin. 50 5 4
J) Contador 12 2 0
7
40
Cargo Y X1 X2 Y.X Y.X2 X1.X2 X12 X22
A 42 4 4 168 168 16 16 16
B 28 4 3 112 84 12 16 9
C 9 3 1 27 9 3 9 1
D 10 3 1 30 10 3 9 1
E 18 3 3 54 54 9 9 9
F 8 1 0 8 0 0 1 0
G 15 4 2 60 30 8 16 4
H 18 4 2 72 36 8 16 4
I 50 5 4 250 200 20 25 16
J 12 2 0 24 0 0 4 0
Σ 210 33 20 805 591 79 121 60
7
41
y = M1 . x1 + M2 . x2 + B
y = 0,2332 . x1 + 8,3982 . x2 + 3,434
Empregado A:
y = 0,2332 . 4 + 8,3982 . 4 + 3,434
y = 37,9596
Como o valor encontrado é menor que 42, esse 
empregado deve permanecer com o mesmo salário.
Então, se o valor encontrado for maior do que está na 
coluna Y, o salário deverá ser aumentado.
7
42
INTRODUÇÃO
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E TAXAS
7
43
O que é Capitalização
Capitalizar é somar juros ao capital 
que o produziu.
A capitalização pode ser:
- simples;
- composta.
7
44
Tipos de Capitalização
A capitalização é simples quando for 
utilizada a taxa de juros simples.
A capitalização é composta quando 
for utilizada a taxa de juros 
compostos.
7
45
Taxas de Juros
Mas afinal, o que são as taxas de juros?
Como se calcula Juros?
7
46
TEMA 1 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
7
47
Juro simples: é aquele calculado 
aplicando uma taxa sempre sobre o 
Capital inicial.
7
48
J = C . i . n
onde:
J = juro
C = capital
i = taxa de juro
n = período, tempo 
ou prazo
7
49
Taxa de Juro Simples ( i )
Taxas Equivalentes
Exemplos:
i = 3% a. m. = 36% a. a.
i = 12% a. t. = 4% a. m.
i = 5% a. b. = 15% a. s.
i = 6% a. m. = 0,2% a. d.
7
50
Montante ( M )
M = C + J
Então:
M = C + C . i . n
M = C (1 + i . n)
7
51
TEMA 2 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
7
52
Juro composto: o juro produzido 
num período será acrescido ao valor 
do capital que o produziu, passando 
os dois, capital e juro, a render juro 
no período seguinte.
Capitalização Composta
7
53
Capitalização Composta
M = C + J
M = C . (1 + i)n
Para o cálculo dos juros, vamos igualar: 
C + J = C . (1 + i)n
Então:
J = C . (1 + i)n − C
J = C . [(1 + i)n − 1]
7
54
Crescimento de uma dívida
Juro composto
Juro simples
t
$
7
55
Taxas Equivalentes
Para determinação da taxa equivalente, em capitalização 
composta, utiliza-se a fórmula:
( ) 1i1i q/t
tq
−+=
7
56
Exemplo
Calcule a taxa anual equivalente, pelo critério 
de juro composto a 1,2% ao mês.
Dados do problema:
it = 1,2% = 0,012 a. m.t = 1 mês
q = 1 ano = 12 meses
7
57
iq = (1 + it)
q/t – 1
iq = (1 + 0,012)
12/1 – 1 
iq = 1,012
12 – 1 
iq = 0,153895 a. a.
Ou seja: 
iq = 15,3895% ao ano
7
58
TEMA 3 
PERÍODO FRACIONÁRIO
7
59
Período Fracionário
O Período Fracionário corresponde a uma 
capitalização descontínua. Há um período 
inteiro e um período fracionário sobre os 
quais devemos 
calcular juros.
7
60
Período Fracionário
Como exemplo, suponha que temos uma conta 
vencida há 3 meses e 22 dias e o juro de mora 
é de 2% ao mês. Temos como período 3 meses 
inteiros e mais 22 dias que são uma fração do 
mês.
7
61
Período Fracionário
Convenção linear: aplicamos juro simples na 
parte fracionária do tempo.
Convenção exponencial:
aplicamos juro composto também na parte 
fracionária do tempo.
7
62
Convenção Linear
O cálculo deve ser feito em duas etapas:
1) para a parte inteira do tempo (n), calcula-
se o montante a juro composto; 
2) para a fração não inteira de tempo (n) 
admite-se a formação linear de juros, ou seja, 
calcula-se o montante a juro simples. 
7
63
Convenção Linear
M = C . ( 1 + i )n . ( 1 + i . n1 )
juro composto
juro simples
7
64
Convenção Exponencial
O cálculo do juro num período fracionário 
adotando a convenção exponencial tem 
em conta o juro composto o tempo todo, 
ou seja, tanto na parte inteira do tempo 
(n) quanto na parte não inteira (n1).
7
65
Convenção Exponencial
M = C . ( 1 + i )n+n1
juro composto o tempo inteiro
7
66
TEMA 4
TAXAS
(NOMINAL, EFETIVA, REAL, APARENTE)
7
67
Taxa Nominal
taxa conhecida
período da taxa
i2 = i1 . n2 que se quer
n1
período da taxa
conhecida
taxa que se quer
7
68
TAXA NOMINAL
O prazo de formação do juro e sua 
incorporação ao capital que o produziu 
costumam ser de periodicidade menor.
Por exemplo, é informada uma taxa anual, 
porém a periodicidade de cálculo do juro é 
mensal.
7
69
TAXA EFETIVA
Temos uma taxa efetiva quando o prazo a que 
se refere uma taxa que nos foi informada 
coincide com aquele de formação e 
incorporação do juro ao capital que o 
produziu.
Por exemplo, foi informada uma taxa mensal e 
o prazo de formação do juro é mensal.
7
70
TAXA APARENTE x TAXA REAL
A relação existente entre as taxas aparente e real é
dada através de:
( )
( ) 1I1
i1
i a −
+
+
=
7
71
A TAXA APARENTE é aquela que NÃO leva em 
conta a inflação do período a que a taxa 
corresponde.
A TAXA REAL considerada a inflação do 
período.
Logo, a TAXA REAL é sempre menor que a 
TAXA APARENTE.
7
72
Exemplo 1
Um trabalhador teve um aumento salarial 
de 10% relativo a um período em que a 
inflação foi de 6%. Qual o aumento 
real de salário desse trabalhador?
7
73
I = 6% no período 
ia = 10%
i = ?
i = 1 + 0,10 − 1 
1 + 0,06
i = 3,7736%
( )
( ) 1I1
i1
i a −
+
+
=
7
74
Exemplo 2:
Uma pessoa emprestou R$ 3.000,00 e pagou no
final do período R$ 3.300,00. Essa pessoa pagou
no ato do empréstimo, despesas no valor de R$
30,00. Determine as taxas nominal, efetiva e real
dessa operação, sabendo que a inflação no
período foi de 2%.
7
75
Cálculo da Taxa Nominal
M = C . ( 1 + i )n
3300 = 3000 . (1 + i )1
i = 300 = 0,10 no período
3000
Ou seja: i = 10% no 
período
7
76
Cálculo da Taxa Efetiva
M = C . ( 1 + i )n
3300 = (3000 – 30) . (1 + i )n
3300 – 2970 = 2970 . i
i = 330 = 0,1111 no período
2970
Ou seja: i = 11,11% no 
período
7
77
Cálculo da Taxa Real
O capital menos as despesas, corrigido pela inflação, 
é:
(3000 – 30) . 1,02 = 3029,40
M = C . ( 1 + i )n
3300 = 3029,40 . (1 + i )n
i = 270,60 = 0,0893 
3029,40
i = 8,98% no período
7
78
TAXAS DE RETORNO
- Rendas
- Taxa Interna de retorno
- Valor Presente líquido
7
79
TEMA 1 
RENDAS
7
80
Rendas ou Séries Uniformes
Por RENDA entende-se uma sucessão de 
pagamentos, ou recebimentos ou 
depósitos.
7
81
Rendas ou Séries Uniformes
Uma sucessão de pagamentos ou recebimentos ou 
depósitos pode se destinar à Amortização de uma 
dívida ou a um Investimento.
7
82
Representação de uma Renda
0 1 2 3 4 5 6 7 n
p
7
83
Classificação de uma Renda
Quanto ao prazo
a) Temporárias
b) Perpétuas
7
84
Classificação de uma Renda
Quanto ao valor
a) Constantes
b) Variáveis
7
85
Classificação de uma Renda
Quanto à forma
a) Imediatas Postecipada
Antecipada
b) Diferidas Postecipada
Antecipada
7
86
Classificação de uma Renda
Quanto à periodicidade
a) Periódicas
b) Não periódicas
7
87
TEMA 2:
MODELO BÁSICO DE RENDA E RENDA 
ANTECIPADA
7
88
É uma RENDA que, simultaneamente, é 
temporária, constante, imediata postecipada e 
periódica.
Portanto, não há carência e não há entrada
Modelo básico de renda
7
89
Modelo Básico de renda
Fórmula a utilizar:
V = p . (1 + i)n – 1 
(1 + i)n . i
7
90
Renda Antecipada
É aquela cuja única diferença, quando comparada ao 
Modelo Básico de Renda, é o fato de o primeiro 
pagamento ter ocorrido no dia zero (ou seja, 
houve uma entrada no 
mesmo valor dos demais pagamentos)
7
91
Renda Antecipada
Fórmula a utilizar:
V = p . (1 + i)n – 1 . (1 + i)
(1 + i)n . i
7
92
TEMA 3 
RENDA DIFERIDA
7
93
Renda Diferida
O que é isso?
É uma Renda em que é dado um prazo de carência. 
Você já deve ter visto aquela propaganda no mês de 
agosto que diz 
“compre agora e comece 
a pagar com o seu 13º”
7
94
Renda Diferida
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n
p
Como resolver um problema com carência?
7
95
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n
p
Divide-se o problema em duas partes: a carência + 
o Modelo Básico de Renda
Carência
Modelo básico
7
96
Renda Diferida
Na carência, utilizar a fórmula da Capitalização 
Composta:
M = C . (1 + i)n
No Modelo Básico de Renda:
V = p . (1 + i)n – 1 
(1 + i)n . i
7
97
TEMA 4
TAXA INTERNA DE RETORNO
7
98
Taxa Interna de Retorno
Popularmente, essa taxa é conhecida como 
TIR.
O que é isso?
É a taxa de juros compostos que anula o seu 
valor atual.
7
99
T I R
Para o cálculo da TIR, deve-se ter em mãos 
uma calculadora financeira, pois seu cálculo 
sem a mesma, além de demorado, nos fornece 
um valor aproximado da taxa.
7
100
T I R
Suponhamos um financiamento de R$10.000,00 que 
será pago em 3 parcelas mensais e consecutivas de 
R$3.000,00, R$5.000,00 e R$4.000,00.
Qual o custo efetivo do financiamento?
7
101
10000
n (meses)
3000 5000 4000
7
102
Utilizando uma calculadora inanceira HP 12c, 
temos:
f REG
f 4
10000 g CFo
3000 CHS g CFj
5000 CHS g CFj
4000 CHS g CFj
f IRR (9,2647% a.m.)
7
103
Para a comprovação de que essa é 
a Taxa Interna de retorno, vamos 
utilizar a definição de TIR:
10000 = 3000 + 5000 + 4000 =
(1 + 0,092647)1 (1 + 0,092647)2 (1 + 0,092647)3
10000 = 2.745,62 + 4.188,04 + 3.066,34
10000 = 10000
7
104
TEMA 5 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO
7
105
Valor Presente Líquido
Popularmente conhecido como VPL
O que é isso?
É uma ferramenta para a tomada de decisão: deve-se 
ou não fazer determinado investimento?
7
106
V P L 
Para o cálculo do VPL, deve-se trazer ao dia zero 
cada valor futuro:M1, M2, M3, etc.
A seguir soma-setodos esses valores futuros e desse 
resultado subtrai-se o valor do capital inicial.
7
107
V P L
V P L = Valor Presente Líquido
Consiste em calcular o Valor Presente de uma série 
de pagamentos, de recebimentos ou de depósitos, a 
uma determinada taxa de juros conhecida.
7
108
Do Valor Presente deduz-se o valor inicial do 
fluxo de caixa (no ponto zero) e assim 
obtém-se o VPL.
Logo:
VPL = M1 + M2 + ... + Mn – C
(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n
7
109
Exemplo:
Uma empresa de radiotáxi está analisando a 
possibilidade de adquirir, para a sua frota, veículos 
no valor unitário de R$ 40.000,00, sabendo que as 
receitas líquidas estimadas, em 5 anos, são de 
R$ 18.000,00; R$ 18.500,00; R$ 19.200,00; R$ 
20.000,00 e R$ 21.200,00, respectivamente.
7
110
Ao final do 5º ano, o valor residual de cada 
veículo é de R$ 10.000,00. 
Verifique se a empresa deve ou não investir 
nesses veículos, para uma taxa de retorno 
de 18% ao ano.
7
111
VPL = 18000 + 18500 + 19200 + 
(1 + 0,18)1 (1 + 0,18)2 (1 + 0,18)3
+ 20000 + 31200 - 40000 
(1 + 0,18)4 (1 + 0,18)5
VPL = + 24.179,95 (como é positivo, isso significa que 
a taxa efetiva de retorno é superior aos 18% 
esperados.) 
Logo, é um bom negócio.
7
112
VPL
Se o resultado dessa subtração for nulo ou 
positivo, deve-se investir o capital inicial, pois 
o rendimento será igual ou superior à 
TMA(Taxa Mínima de Atratividade).
Caso contrário, não é aconselhável o 
investimento.