Derivada da função paramétrica

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Derivada de func¸o˜es parame´tricas
Func¸o˜es vetoriais e curvas parame´tricas
Derivada das func¸o˜es parame´tricas
Danilo Sande
October 25, 2013
Danilo Sande Derivada das func¸o˜es parame´tricas
Derivada de func¸o˜es parame´tricas
Func¸o˜es vetoriais e curvas parame´tricas
Derivada de func¸o˜es parame´tricas
Derivada de func¸o˜es parame´tricas
Seja y uma func¸a˜o de x definida pelas equac¸o˜es: (1)
{
x = x(t)
y = y(t)
,
t ∈ [a, b].
Suponhamos que as func¸o˜es y = y(t), x = x(t) e sua inversa
t = t(x) sa˜o deriva´veis.
Podemos ver a func¸a˜o y = y(x), definida pelas equac¸o˜es (1), como
uma func¸a˜o composta y = y [t(x)] e aplicar a regra da cadeia.
Temos enta˜o:
dy
dx
= y ′(t).t ′(x)
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Derivada de func¸o˜es parame´tricas
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Como x=x(t) e sua inversa t=t(x) sa˜o deriva´veis, podemos usar o
teorema da derivada da func¸a˜o inversa:
Teorema da derivada da func¸a˜o inversa
Seja y = f (x) uma func¸a˜o definida em um intervalo (a,b). Suponhamos
que f(x) admita uma func¸a˜o inversa x=g(y) cont´ınua. Se f’(x) existe e e´
diferente de zero para qualquer x ∈ (a, b), enta˜o g = f −1 e´ deriva´vel e
vale:
g ′(y) = 1f ′(x) =
1
f ′(g(y))
t ′(x) = 1x′(t) , assim:
dy
dx =
y ′(t)
x′(t) =
dy
dt
dx
dt
, ( dxdt 6= 0).
Que permite nos calcular a derivada dydx sem conhecer explicitamente y
como func¸a˜o de x.
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Derivada de func¸o˜es parame´tricas
Exemplo 1
Calcule a derivada dydx das func¸o˜es parame´tricas abaixo:{
x = 2t + 1
y = 4t + 3{
x = 3t − 1
y = 9t2 − 6t{
x = 4 cos3 t
y = 4 sin3 t
, t ∈ (0, pi2 )
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Exemplo 2
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` circunfereˆncia
x2 + y2 = 4, no ponto P(
√
2,
√
2).
* Lembrar que a eq. da reta tangente e´ dada por (y − y0) = dydx |t(x − x0),
enquanto a reta normal e´ (y − y0) = − 1dy
dx |t
(x − x0).
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Exemplo 3
Obtenha as retas tangentes a` curva parame´trica dada por:{
x = t3 − 2t
y = 2t2 − 2 , no ponto (0,2).
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Derivada segunda de func¸o˜es parame´tricas
Para calcular a segunda derivada de uma func¸a˜o parame´trica,
usamos:
d2y
dx2
=
d
dx
(
dy
dx
) =
d
dt (
dy
dx )
dx
dt
.
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Exemplo 4
Calcule a segunda derivada das seguintes equac¸o˜es parame´tricas:{
x = t2 − 4
y = 2t + 6
.
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Func¸a˜o vetorial
Uma func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real t, definida em um
intervalo I, e´ uma func¸a˜o que a cada t ∈ I , associa um vetor ~f do
espac¸o: ~f = ~f (t).
O vetor ~f (t) pode ser escrito como:
~f (t) = f1(t)~i + f2(t)~j + f3(t)~k , onde f1(t), f2(t) e f3(t) sa˜o func¸o˜es
reais, chamadas de componentes de ~f (t).
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Func¸o˜es vetoriais e curvas parame´tricas
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Func¸a˜o vetorial
Dado um ponto P(x,y,z) do espac¸o, o vetor ~r = x~i + y~j + z~k
representa esse ponto e´ chamado de vetor posic¸a˜o do ponto P.
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Func¸a˜o vetorial
Dado um conjunto de equac¸o˜es parame´tricas

x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
.
Podemos obter uma equac¸a˜o vetorial para ele:
~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k
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Func¸a˜o vetorial
Se definirmos ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k como o vetor posic¸a˜o
cujo paraˆmetro t e´ o tempo, enta˜o:
~v(t) = d~rdt sera´ o vetor velocidade e ~a(t) =
d~v
dt sera´ o vetor
acelerac¸a˜o.
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Exemplo 5
Uma part´ıcula descreve a traje´toria de um ciclo´ide, dada por:{
x(t) = t − sin t
y(t) = 1− cos t ou ~r(t) = (t − sin t, 1− cos t), determine os
vetores velocidade e acelerac¸a˜o dessa part´ıcula.
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Exemplo 6
O vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula em movimento no plano e´:
~r(t) = t~i + 1t+1
~j , t ≥ 0.
a) Determine o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o em um
instante t qualquer;
b) Esboce a trajeto´ria da part´ıcula, desenhando os vetores
velocidade e acelerac¸a˜o no tempo t=0 e t=1.
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