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Dicas de Cálculo 1
Questão 1) Resolva a seguinte desigualdade:
Questão 2) Seja e :
a) Qual o domínio e imagem de f(x) e g(x) ;
b) Calcule ( f composta com a g) .
Questão 3) Dada a função racional :
a) Qual o domínio e imagem de f(x) ;
b) Localize a assíntota horizontal e vertical ;
c) Calcule os limites próximos da assíntota vertical e nos extremos ;
d) Esboce o gráfico da função .
Questão 4) Calcule os limites:
a) b)
c) d)
Prova A Cálculo 1 
2x 4 x 2
.
x 3 x 1
 

 
f ( x ) tan( x ) 2g( x ) x 2 
f g
2x 5
f ( x )
x 2



x 16
4 x
;
16 x
lim



2
2x 2
x 7 x 10
;
x 4
lim

 

x 0
sen( 5 x )
;
3x
lim

x
x
1
1 .
7 x
lim
 
 
 
 
Dicas de Cálculo 2
D
ic
as
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e 
C
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Questão 5) As funções a seguir são continuas? Se não, onde elas são
descontinuas :
a)
b)
c)
d)
Questão 6) Encontrar as derivadas das funções dadas:
a) b)
c) d)
Questão 7) Faça a diferenciação implícita das equações:
a)
b)
2
2
se x 24 x
f ( x ) ;
se x 2x 2x

 

f ( x ) tan( x ) ;
1
f ( x ) ;
x

2
x 2
f ( x ) .
x 2x 3


 
2 3
f ( x ) ( x 2 ) ln(cos( x )) ;  
2
g( x ) x 2 ; 
x x
h( x ) sen( x )e cos( x )e ; 
2
t 3
m( t ) .
2t 1



2 3
x y 3xy x 3 ;  
2 x
xy y cos( x ) e 8 .  
Dicas de Cálculo 3
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Questão 8) Calcule o limite usando a regra de L‘Hôpital:
a)
b)
Questão 9: Areia cai de uma calha de escoamento formando uma pilha
cônica cuja altura é sempre igual ao diâmetro. Se o volume crescer a
uma taxa constante de 500 cm³/s, qual a taxa de variação da altura da
areia quando a pilha tiver 3 cm de altura?
Questão 10: Num certo processo de fabricação química, o peso diário y
de produção defeituosa depende do peso x de toda a produção, de
acordo com a fórmula empírica:
onde x e y estão em kg. Se o valor do produto químico sem defeito é de
R$100,00 por kg e a perda for de R$ 20,00 por kg de produto químico
defeituoso produzido, quantos kg do produto devem ser produzidas
diariamente para maximizar o lucro diário total?
Questão 11) Calcule as derivadas sucessivas até ordem n indicada:
a)
b)
x
ln(ln( x ))
;
x
lim

x
x 0
e 1
.
sen( x )
lim


2
y 0,01x 0,00003x , 
3 a x
y 3x e , a n 4 ;
   
y sen( x )cos( x ); n 2 .  Dicas de Cálculo 4
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Questão 1) Resolva a seguinte desigualdade:
Questão 2: Seja e :
a) Qual o domínio e imagem de f(x) e g(x) ;
Para determinar o domínio de f(x), devemos lembrar que
, logo f(x) não está definida onde cos(x) é igual a zero.
Assim, temos que .
A imagem de f(x) são todos os reais , visto que
é uma função periódica e que cada período vai de
menos infinito até mais infinito (observe o gráfico a seguir).
2 2
2
2
2
2x 4 x 2
0
x 3 x 1
( 2x 4 )( x 1 ) ( x 2 )( x 3 )
0
( x 3 )( x 1 )
2x 2x 4 x 4 ( x 3x 2x 6 )
0
x 4 x 3
x 3x 2
0
x 4
2x 4 x 2
x 3
x 3 x 1
 
 
 
    

 
      

 


 
 

 

Prova A Cálculo 1 Resolução
Construir os 
gráficos das 
equações e 
analisar os sinais.
1
       
3
   R 2, 1 1,3   
2
         
1
2 31 1
f ( x ) tan( x )
2
g( x ) x 2 
sen( x )
tan( x )
cos( x )

 Dom f ( x ) x / x k , k Z
2


  
      
  
f ( x ) tan( x )
Im( f ( x )) 
Dicas de Cálculo 5
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Já g(x) é uma função raiz quadrada, que não admite valores negativos, porém
como a variável independente está elevada ao quadrado, sempre teremos
valores positivos. Deste modo, temos e a imagem são
todos os reais maiores do menor valor de g(x), que é quando . Então,
temos (observe o gráfico a seguir).
b) Calcule (f composta com a g) .
   Dom g( x ) x 
f g
  Im g( x ) 2 , 
x 0
   2f g f g( x ) tan x 2  
f ( x ) tan( x )
2
g( x ) x 2 
Dicas de Cálculo 6
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Questão 3) Dada a função racional :
a) Qual o domínio e imagem de f(x);
b) Localize a assíntota horizontal e vertical;
c) Calcule os limites próximos da assíntota vertical e nos extremos;
d) Esboce o gráfico da função.
Para responder este tipo de questão é aconselhável primeiramente
construir o esboço do gráfico, pois as questões são respondidas no
processo de construção ou, após construído, são facilmente
respondidas.
Como se trata de uma função racional, ela não está definida onde o
denominador se torne nulo, então temos .
O que ocorre com a função quando nos aproximamos de (x=2) ?
Para responder esta questão devemos encontrar os limites laterais.
Quando nos aproximamos pela direita e pela esquerda o numerado
resulta em um número muito próximo de 9. Já no denominador, ao se
aproximarmos pela direita, temos um número negativo que tente a zero
e pela esquerda um número positivo que tente a zero. Assim, fica-se
com:
e .
2x 5
f ( x )
x 2



   Dom f ( x ) x / x 2  
x 2
2x 5
x 2
lim


 
x 2
2x 5
x 2
lim


 

Dicas de Cálculo 7
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Em seguida, devemos analisar o comportamento nos extremos, para
isto também aplicamos os limites. Podemos resolver facilmente estes
limites aplicando a propriedade da divisão de polinômios, onde
encontramos:
e ,
mas com a diferença que, quando a função f(x) tende a 2
por baixo e quando a função f(x) tende a 2 por cima.
Podemos também encontrar o ponto onde a função corta o eixo x (raiz) ,
ou seja, onde f(x) = 0,
Com o esboço construído podemos responder
qual é a imagem, ou seja,
A assíntota vertical encontra-se em
e assíntota horizontal em .
x
2x 5
2
x 2
lim



x
2x 5
2
x 2
lim




x 
x 
2x 5 5f ( x ) 0 0 2x 5 2x 5 x .
2x 2

          

   Im f ( x ) 2 
x 2
y 2
Dicas de Cálculo 8
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Questão 4) Calcule os limites:
a)
Se aplicarmos o limite diretamente cairemos em uma indeterminação do
tipo zero sobre zero. Entretanto, para resolver este limite podemos abrir
o denominador no produto notável do produto da soma pela diferença de
dois termos: .
Outra forma seria racionalizar a expressão da seguinte forma:
b)
Mais uma vez ao aplicar o limite diretamente caímos em uma
indeterminação do tipo zero sobre zero, para resolver este limite
podemos abrir o numerador e denominador no produto da diferença das
raízes dos polinômios:
.
x 16
4 x
16 x
lim



x 16 x 16 x 16
4 x 4 x 1 1
16 x 8( 4 x )( 4 x ) 4 x
lim lim lim
  
 
  
   
2
2x 2
x 7 x 10
x 4
lim

 

2
2x 2 x 2 x 2
x 7 x 10 ( x 2 )( x 5 ) x 5 3
x 4 ( x 2 )( x 2 ) x 2 4
lim lim lim
  
    
  
   

     x 16 x 16 x 16 x 16
4 x 4 x 4 x 16 x 1 1
16 x 16 x 84 x 16 x 4 x 4 x
lim lim lim lim
   
      
                 
Dicas de Cálculo 9
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c)
Ao olharmos para este limite devemos perceber a estrutura de um dos
limites fundamentais . Desta forma, manipula-se este
limite para fazer o uso do limite fundamental. Primeiramente, multiplica-
se o numerador e denominador por 5. Em seguida, utiliza-se a
propriedade da multiplicação por uma constante :
.
Em seguida, devemos fazer a troca de variável e do limite.
Sabendo que, quando x tende a zero, u também tende a zero. Fazendo
a troca e aplicando o limite fundamental obtém-se:
.
d)
No calculo deste limite utiliza-se outro limite fundamental
, na qual devemos manipular a expressão para utilizá-lo. Novamente
faz-se uma troca de variável . Reavalia-se o limite e utilizam-se
as regras da multiplicação de potências para obter:
.
x 0
sen( 5 x )
3x
lim

x 0 x 0 x 0
sen( 5 x ) 5 .sen( 5 x ) 5 sen( 5 x )
3x 5 . 3x 3 5 x
lim
lim lim
  
 
u 5 x
x 0 u 0
5 sen( 5 x ) 5 sen( u ) 5 5
1
3 5 x 3 u 3 3
lim lim
 
   
x
x
1
1
7 x
lim

 
 
 
1
u
x u 7 17
7
x u u
1 1 1
1 1 1 e
7 x u u
lim lim lim
        
      
                  
u 7 x
x 0
sen( x )
1
x
lim


x
x
1
1 e
x
lim
 
 
  
 
Dicas de Cálculo 10
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Questão 5) As funções a seguir são continuas? Se não, onde elas são
descontinuas.
Antes de começarmos esta questão deve-se lembrar que para uma
função ser continua em um ponto ela deve:
1) estar definida nesse ponto .
2) o limite deve existir nesse ponto .
3) .
Se essas três condições forem satisfeitas para todos os pontos do
domínio da função, diz-se que a função é contínua para todo x .
a)
Percebe-se que a função está definida para todo . Notem que é
uma função por partes constituída de dois polinômios. Como as funções
polinomiais são continuas para todo x real, o único ponto em que f(x)
possa não ser continua (descontínua) é em x = 2. Então, vamos calcular
os limites laterais para verificar se são iguais, nesse caso o limite vai
existir nesse ponto.
Logo, o limite existe e é igual a 0. Por fim, devemos
analisar se . Como , então de fato
e a função apresentada é contínua para todo ,
observe esta função no gráfico a seguir.
 2
x 2
4 x 0lim

   2
x 2
x 2x 0lim

 
2
f ( 2 ) 4 2 0  
x a
x a
x ax a
lim f ( x )

x a
lim f ( x ) f ( a )


2
2
se x 24 x
f ( x )
se x 2x 2x
 
 

x
x 2
lim f ( x )

x 2
lim f ( x ) f ( 2 )


x 2
lim f ( x ) f ( 2 )

 x
Dicas de Cálculo 11
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b)
Observem que mesmo 1 sendo uma constante pode ser considerado
como um polinômio de grau 0. Então essa função é uma função racional
(divisão de polinômios). Funções racionais são contínuas para todo
exceto nos pontos nos quais o denominador se anula. Percebe-se
facilmente que em x=0 o denominador se anula, logo a função não está
definida nesse ponto. Assim, a função é contínua para todo ,
exceto em x=0. Ou seja , a função é descontínua em x=0, observe
esta função no gráfico a seguir.
1
f ( x )
x

x
x
,
Dicas de Cálculo 12
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c)
A função tangente é uma função trigonométrica.
Funções trigonométricas são contínuas para todo , exceto nos
pontos nos quais o denominador se anula. Como foi visto na questão
número 2, a função tangente não está definida em todos os valores em
que cos(x) for igual a zero, portanto a função é continua para todo
aaaaa, exceto em , observe esta função no gráfico a
seguir.
d)
Mais uma vez, essa é uma função racional, na qual é contínua para todo
, exceto nos pontos nos quais o denominador se anula.
Observando as raízes do denominador, elas são complexas pois ,
logo a função do denominador em todo o domínio será diferente de
zero. Assim, sendo numerador e denominador polinômios e polinômios
são contínuos para todo , então a razão entre eles também será
continua. Portanto, é contínua para todo .
2
x 2
f ( x )
x 2x 3


 
8  
x
x
2
x 2
f ( x )
x 2x 3


 
x
f ( x ) tan( x )
sen( x )
f ( x ) tan( x )
cos( x )
 
x k , k Z
2

  
x
x
Dicas de Cálculo 13
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Questão 6) Encontrar as derivadas das funções dadas:
a) ;
Para resolver este exercício devemos aplicar a regra da cadeia nos dois
termos. Vamos resolver de forma separada, depois basta unir as
respostas, então:
e .
Substituindo em cada uma a função u temos:
e .
Unindo novamente o problema obtemos a resposta:
.
2 3
f ( x ) ( x 2 ) ln(cos( x ))  
3
2
3 2
1
2
1
g( u ) u
u( x ) x 2
d d
f ( x ) u x 2
du dx
f ( x ) 3u 2x

 
          
  
   
 
2
2
g( u ) ln( u )
u( x ) cos( x )
d d
f ( x ) ln( u ) cos( x )
du dx
1
f ( x ) sen( x )
u


  
   
2 2
1
2 2
1
f ( x ) 3( x 2 ) 2x
f ( x ) 6 x( x 2 )
   
  
 2
2
1
f ( x ) sen( x )
cos( x )
f ( x ) tan( x )
   
  
1
2 2
2
f ( x ) 6 x( x 2 ) tan(
f ( x
x
) f
)
( x ) f ( x )
   
   
Dicas de Cálculo 14
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 
1
2 2
1
2
2
g( x ) x 2
f ( u ) u
u( x ) x 2
 

 
1
22
1
2
2
d d
g ( x ) u x 2
du dx
1
g ( x ) u 2x
2
x
g ( x )
x
g ( x )
x
u
2

      
 
  
  



b) ;
Análogo ao exemplo anterior devemos utilizar a regra da cadeia,
lembrando que a raiz quadrada de um número é igual a este
número na potência de um meio:
.
Portanto,
.
2
g( x ) x 2 
Dicas de Cálculo 15
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c) ;
Para resolver este exercício devemos aplicar a derivada do produto
nos dois termos:
d) .
Para resolver este exercício devemos aplicar a derivada da divisão:
.
x x
h( x ) sen( x )e cos( x )e 
   
x x
x x x x
x x x x
x
h( x ) sen( x )e cos( x )e
d d d d
h ( x ) sen( x ) e e sen( x ) cos( x ) e e cos( x )
dx dx dx dx
h ( x ) cos( x )e e sen( x ) sen( x )e e
h ( x ) 2e cos( x
co
)
s( x )
 
               
   



2
t 3
m( t )
2t 1



     
 
   
   
 
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2( t t
t 3
m( t )
2t 1
d d
t 3 2t 1 2t 1 t 3
dt dtm ( t )
2t 1
2t
3 )
m (
2t 1 2 t 3 4t 2t 2t 6
m ( t )
2
t )
2t 1
t 1 2t 1



         
 

       
 
 
 




Dicas de Cálculo 16
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Questão 7) Faça a diferenciação implícita das equações:
a) ;
Para fazer a derivação implícita devemos derivar todos os termos em
relação a x, lembrando que a variável y é dependente de x, por isto
devemos aplicar a regra da cadeia para ficar com:
.
No primeiro e segundo termos devemos aplicar a derivada do produto
da seguinte forma:
.
Agora falta aplicar a regra da cadeia para obter:
   
2 3
2 3
x y 3xy x 3
d d d d
x y 3xy x 3
dx dx dx dx
  
        
       
 
2 2 3 3
2 3 3
d d d d d d
x y y x x 3 y y 3x x 3
dx dx dx dx dx dx
d d
2xy y x 3 y y 3x 1 0
dx dx
              
        
2 3
x y 3xy x 3  
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.
b) .
Análogo ao a questão anterior, devemos aplicar a derivada em x e a
derivada do produto para obter:
Em seguida, devemos aplicar a regra da cadeia:
.
 
 
2 3 3
2 3 2
2 3
2 2
3
3
2 2
d dy d dy
2xy u x 3 y u 3x 1
du dx du dx
dy dy
2xy x 3 y 3u 3x 1
dx dx
dy dy
2xy x 3 y 1
dx d
dy 1 3 y
x
dy
x 9 y
2xy
x 1 3 y 2xy
dx
dx
x 9 y x
       
    
   
   
 


2 x
xy y cos( x ) e 8  
   
       
 
2 x
2 2 x
2 2 x
d d d d
xy y cos( x ) e 8
dx dx dx dx
d d d d d d
x y y x y cos( x ) cos( x ) y e 8
dx dx dx dx dx dx
d d
y y x y cos( x ) sen( x )y e 0
dx dx
        
              
        
 
 
2 x 2
x 2
x 2
x
2
2
x
d dy d dy
u x u cos( x ) e sen( x )y y
du dx du dx
dy dy
x 2u cos( x ) e sen( x )y y
dx dx
dy dy
x 2 ycos( x ) e sen( x )y y
dx dx
dy
x 2 ycos( x ) e sen( x )y y
dy e sen( x )y y
d
d
x x 2 ycos x
x
( )
      
 


     
   
  


Dicas de Cálculo 18
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Questão 8) Calcule o limite usando a regra de L‘Hôpital
Lembrando que a regra de L‘Hôpital só é valida quanto temos
indeterminação do tipo zero dividido por zero ou infinito dividido por
infinito.
a)
Aplicando a regra de L‘Hôpital e, em seguida, a regra da cadeia no
numerador obtém-se:
.
x
ln(ln( x ))
?
x
lim
 



     
x x
d d d
ln(ln( x )) ln(
u ) ln( x )
dx du dx
d 1
x
dx 2 x
lim lim
    
 
 
 
x x x x
1 11 1
2 x 2ln( x ) xu x
1 1 x ln( x ) x ln( x )
2 x 2 x
0lim lim lim lim
          

   
Dicas de Cálculo 19
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b)
Aplicando a regra de L‘Hôpital obtém-se:
.
Questão 9: Areia cai de uma calha de escoamento formando uma pilha
cônica cuja altura é sempre igual ao diâmetro. Se o volume crescer a
uma taxa constante de 500 cm³/s, qual a taxa de variação da altura da
areia quando a pilha tiver 3 cm de altura?
Informações conhecidas
Substituindo o valor do raio obtém-se: .
 
 
 
x x
x
x 0 x 0 x 0
d d d
e 1 e 1
e 1dx dx dx
d d cos( x ) 1
sen( x ) sen( x )
dx
1
dx
lim lim lim
  
       
   
h
d
2
h
h d h 2r r
2
r h
V Volume de um cone
3

    
 
 
2
3h h h2
V V
3 12
 
  
x
x 0
e 1 0
?
sen( x ) 0
lim



Dicas de Cálculo 20
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Em seguida devemos derivar em função com relação ao tempo para obter
a taxa de variação do volume. Como h depende do tempo t temos que
utilizar a regra da cadeia:
.
Substituindo os valores dados pelo problema obtém-se:
.
2
3 2dV d dh dV dh dV h dh
u 3u
dt 12 du dt dt 12 dt dt 4 dt
  
      
2 2
dV h dh 3 dh dh 500 4
500
dt 4 dt 4 dt dt 9
dh
70,74 cm s
dt
 


     
Dicas de Cálculo 21
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Questão 10: Num certo processo de fabricação química, o peso diário y
de produção defeituosa depende do peso x de toda a produção, de
acordo com a fórmula empírica:
onde x e y estão em kg. Se o valor do produto químico sem defeito é de
R$100,00 por kg e a perda for de R$ 20,00 por kg de produto químico
defeituoso produzido, quantos kg do produto devem ser produzidas
diariamente para maximizar o lucro diário total?
Este é um problema que envolve o conhecimento de máximos e
mínimos, na qual devemos encontrar uma função que expresse o lucro
diário em função da quantidade de Kg produzidos. Sabemos que o lucro
é dado pela subtração da venda dos produtos sem defeitos pelo prejuízo
dos produtos com defeitos:
.
Substituindo pela expressão dada pelo problema obtemos:
.
Para se obter o ponto de máximo devemos derivar em função de x e
igualar a zero, obtendo:
.
2
y 0,01x 0,00003x . 
L ( x y ) 100 y 20    
    2 2
2 2
2
L x 0,01x 0,00003x 100 0,01x 0,00003x 20
L 99x 0,003x 0,2x 0,0006 x
L 98,8x 0,0036 x
      
   
 
dL
98,8 0,0072x
dx
0 98,8 0 ,0072x 0,0072x 98, x 13722 Kg8
 
    
Dicas de Cálculo
22
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Questão 11) Calcule as derivadas sucessivas até ordem n indicada
.
3 a x
y 3x e , a ; n 4
   
2 a x
2 a x
3 a x
IV 4 a x
y 9x a
y a e
e
y 18x a e
y 18 a e




  
  


 
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Elaborado por de Dicas de Cálculo, esta prova resolvida é de uso
exclusivo de seu destinatário, não pode ser reproduzido ou
distribuído, no todo ou em parte, a qualquer terceiro sem autorização
expressa. A resolução desta prova é baseada em questões retiradas
dos principais livros de cálculo e disponíveis ao público,
consideradas confiáveis na data de publicação.
As análises, informações e estratégias de resolução das questões
tem como único propósito apresentar uma forma de solução,
aumentando assim o leque e opções de como resolver tais
questões. Os destinatários devem, portanto, desenvolver as suas
próprias análises e estratégias de resolução dos exercícios
propostos pelo seu professor.
A reprodução indevida, não autorizada, deste relatório ou de
qualquer parte dele sujeitará o infrator a multa de até 3 mil vezes o
valor do relatório, à apreensão das cópias ilegais, à
responsabilidade reparatória civil e persecução criminal, nos termos
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	Digital Assinatura: 
		2017-08-22T17:40:50-0300