caso_nao_linear

Prévia do material em texto

1/2 
 
Caso não Linear 
 
 
Exemplo 
 
Seja os dados do experimento utilizando f(x)  α1 e
-α
2
x , α1 e α2 positivos abaixo: 
 
 
x -1 -0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.0 
f(x) 36.55 17.26 8.155 3.85 1.82 0.86 0.406 0.25 
 
 
Aqui a função será linearizada utilizando y  α1 e
-α
2
x 
 
Portanto: z = ln y  ln (α1) - α2 x 
 
Se a1 = ln (α1) e a2 = α2 
 
Então, ln (y)  a1 - a2 x =  (x) torna-se um problema linear com parâmetros a1 e a2 
 
Assim sendo, podemos utilizar o quadrados mínimos. 
 
Exemplo 
 
Iremos ajustar z = ln (y) por quadrados mínimos, definindo assim  (x) = a1 + a2 x 
onde a1 = ln (α1) e a2 = - α2 
 
Observe que g1 (x) = 1 e g2(x) = x 
 
 
Portanto teremos: 
 
x -1 -0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.0 
z= ln(y) 3.599 2.849 2.099 1.349 0.599 -0.151 - 0.901 -
1.402 
 
 
Resolvendo o sistema encontraremos os valores de a1 e a2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/2 
 
 
g1(x) = 1. Portanto, 
 
Da mesma forma calculamos g2(x) = 3.59 = a22 
 
a12 = a21 = 
 
b1 = 
 
b2 = 
 
 
A = a = e b = 
 
 
Resolvendo o sistema encontramos: a1 = 1.099 e a2=-2.5 
 
Voltando ao início, α1 = e
a
1 = e
1.099 = 3.001 e α2 = - a2 = 2.5 
 
Portanto: α1 e
- α
2
 x = 3.00 e-2.5 x. 
 
 
 
Veja abaixo outros exemplos de transformações que podemos usar: 
 
 
1) Hipérbole: y  = ( z = 
 
 
2) Exponencial: : y  
 
 
Se y > 0, z = ln (y)  ln( α1)+ x ln (α2 )= a1 + a2 x = (x)