03 Sistemas de numeração

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Sistemas de Numeração Prof. Luiz Marcelo Chiesse da Silva 
 
Cefet/PR – Cornélio Procópio 1 
 
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Quando mencionamos sistemas de numeração estamos nos referindo à utilização de 
um sistema para representar uma numeração, ou seja, uma quantidade. Sistematizar algo 
seria organizar, colocar em ordem, submeter à determinadas regras. Um sistema de 
numeração seria uma forma de organizar a representação de um número. Exemplo: Quando 
contamos algo ou expressamos algum valor, utilizamos no dia a dia um sistema de numeração, 
que é o sistema decimal. Para isto seguimos a organização dos números, pois eles obedecem 
à uma certa ordem, e uma das regras é utilizar somente os caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
combinados, obedecendo à ordenação, para formar dos números. 
 Mas existem inúmeros sistemas de numeração, pois existem diversas formas de se 
representar um número. Um chinês que tem dois carros, para transmitir a informação de que o 
número de carros que ele possui é dois, se expressa de um modo diferente de um americano 
que tenha os mesmos dois carros mas as formas que ambos utilizam para representar a 
quantidade de carros tem pontos em comum: são dois sistemas de numeração. O exemplo de 
um sistema de numeração diferente seria utilizar os seguintes caracteres: 0, 1, 2, 3, C, %,} 
para representar os números. Ordenando estes caracteres do mesmo modo que o sistema 
decimal, a contagem neste sistema seria feita na seguinte ordem: 1, 2, 3, C, %, }, 10, 11, 12, 
13, 1C, 1%..... O equivalente ao número 10 no sistema decimal seria representado pelo 
número 13 neste sistema, o número 11 seria 1C, assim por diante. 
 A representação de um número em um sistema de numeração diferente muda, para um 
mesmo valor, assim como as operações com números nestes novos sistemas podem ser 
readequadas. Estas diferenças entre os sistemas de numeração são utilizadas como 
ferramenta de cálculo e projeto em diversas áreas, como a computação. 
 Quando desejamos registrar um valor de tensão igual a trinta e quatro vírgula cinquenta 
e dois volts, usamos os caracteres 3, 4, 5, e 2 dispostos numa certa ordem: 34,52 volts. Esta 
representação é conhecida como notação posicional do valor observado, onde a importância 
de cada caracter depende da sua posição em relação aos demais caracteres. Os caracteres 
tem maior significação no sentido da direita para a esquerda. No caso, os caracteres 3 e 2 são, 
respectivamente, o de maior e menor significação. 
 
1.1. Base 
 Os sistemas de numeração foram criados pelo homem com o objetivo de quantificar as 
grandezas relacionadas às suas observações. Tais sistemas foram desenvolvidos através de 
símbolos, caracteres e do estabelecimento de regras para a sua representação gráfica. Ao 
conjunto destes símbolos ou caracteres chamamos de base ou raiz do sistema, “r”. 
 A base de um sistema de numeração é o número decimal no qual um sistema de 
numeração se utiliza para indicar uma quantidade e geralmente é o número de caracteres 
diferentes utilizados para compor o sistema. O sistema decimal é dito de base 10 por utilizar 
somente 10 caracteres diferentes para representar os números (os dígitos de 0 à 9) e a 
quantidade real representada pelos números tem como base o valor 10. Por exemplo, na 
contagem do sistema decimal, após o número 9, já utilizamos todos os caracteres diferentes 
disponíveis, que são 10 (observe que o caractere “0” também está incluído) e um número 
maior que 9 é representado utilizando uma convenção que atribui um significado numérico 
quantitativo à posição ou lugar ocupado por um dígito. Cada posição ocupada por um 
caractere no número possui um “peso” diferente, como no exemplo abaixo: 
 3004 = 3 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 4 x 100 
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 O mesmo artíficio é utilizado em outros sistemas de numeração, ou seja, cada 
caractere que compoe um número possui um “peso” de potências do valor da base e que 
variam de acordo com a posição ocupada pelo caractere no número, no caso do sistema 
decimal, potências de 10. Do exemplo exposto anteriormente (com o sistema 0, 1, 2, 3, C, %, 
}), o valor da base é 7 porque 0, 1, 2, 3, C, % , } são um conjunto de 7 caracteres diferentes 
que posso utilizar para compor um número neste sistema e a quantidade que os números 
representam são expressas com base no valor 7. 
 O número 31}C representa uma quantidade igual à que número no sistema decimal? 
 31}C = 3 x 73 + 1 x 72 + } x 71 + C x 70 
 como 3 = 310 no sistema decimal, 1 = 110, } = 610, C = 410, concluímos: 
 31}C = 3 x 73 + 1 x 72 + 6 x 71 + 4 x 70 
 31}C = 1.12410 
 De acordo com o interesse do estudo em controle de máquinas e pela utilidade em 
diversas áreas, daremos ênfase ao sistema de numeração binário (base 2). 
 
Obs.: Quando utilizamos sistemas de numeração diferentes, procura-se adotar uma convenção 
para a indentificação de números com bases de numeração diferentes. Exemplo: 111002 = 
2810 → o número 11100 no sistema de base 2 é igual ao número 28 no sistema decimal. 
 
 
 
 
2. O SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO 
 
 Os números decimais são os mais utilizados atualmente, de nosso conhecimento. Uma 
representação posicional no sistema decimal pode ser desenvolvida numa forma polinomial 
que envolve um somatório de potências de 10. Como exemplo, o número três mil e quatro: 
 3004 = 3 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 4 x 100 
 É comum utilizarmos como índice, à direita do dígito menos significativo na 
representação posicional, para identificar a base de representação. No caso da base decimal, 
este índice pode ser omitido. 
 Os circuitos ditos analógicos processam informações usando o sistema decimal. 
 
3. O SISTEMA BINÁRIO DE NUMERAÇÃO 
 
 O sistema de numeração de base 2 é chamado de sistema binário (dois), pois utiliza 
somente dois dígitos: 0 e 1. Todos os números são representados conforme o posicionamento 
e a quantidade destes dois dígitos. A contagem segue o mesmo raciocínio utilizado no sistema 
decimal: após o último dígito, incrementa-se uma posição à esquerda e a posição à direita é 
zerada, repetindo-se toda a sequência de números anterior: 
 1, 10, 11, 100, 101, 110,..... 
 Os números acima geralmente são chamados de números binários. Para evitar 
confusão com o sistema de numeração decimal, lemos dígito por dígito no sistema binário: 
 10=hum,zero; 
 1101=hum,hum,zero,hum. 
 Podemos expressar um número fracionário no sistema binário, utilizando a vírgula 
binária: 
 1,1001; 0,0001; 1101,0101,..... 
 Este sistema pode ser utilizado para representar 2 estados de um elemento: uma 
lâmpada (acesa ou apagada), uma chave (aberta ou fechada), uma fita magnética (variação ou 
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não na magnetização), na genética (presença ou ausência de genes),.... pois nos cálculos 
teóricos, o sistema binário é o mais utilizado para facilitar a manipulação dos dados. 
 Qualquer algarismo ou dígito de número binário é denominado de bit (binary digit). 
Exemplo: 
 111011 → 6 bits. 
 
2.1. Conversão do sistema binário para o sistema decimal 
 
 Uma representação posicional no sistema binário pode ser desenvolvida numa forma 
polinomial que envolve um somatório de potências de 2. Assim, o equivalentedecimal do 
número binário é obtido da representação polinomial do número na base 2, através do 
processamento da soma decimal. 
 
Exemplo 1: Conversão do número binário 110010 para decimal: 
 
 1- O primeiro dígito da direita para a esquerda do número binário multiplica a potência 
de 20, o segundo dígito da direita para a esquerda multiplica 21, o terceiro dígito à direita 
multiplica 22, e assim por diante: 
 0 x 20 = 0 x 1 = 0 
 1 x 21 = 1 x 2 = 2 
 0 x 22 = 0 x 4 = 0 
 0 x 23 = 0 x 8 = 0 
 1 x 24 = 1 x 16 = 16 
 1 x 25 = 1 x 32 = 32 
 
 2- A soma destas multiplicações resulta no número decimal: 
 0 + 2 + 0 + 0 + 16 + 32 = 50 
 Assim: 
 1100102 = 5010 
 
Exemplo 2:101011101010012 = 1 x 213 + 0 x 212 + 1 x 211 + 0 x 210 + 1 x 29 + 1 x 28 + 1 x 27 + 0 
x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 
 101011101010012 = 8192 + 0 + 2048 + 0 + 512 + 256 + 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 
+ 1 
 101011101010012 = 1117710 
 
 Podemos representar um número decimal fracionário por um número binário, como no 
exemplo abaixo:
 
 
 111,01012 = 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + 0 x 2-3 + 1 x 2-4 
 111,01012 = 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 
 111,01012 = 7,312510 
 
 Para a representação de números negativos pode-se utilizar o sinal “-”. Outro método 
utilizado na prática é o acréscimo de um dígito binário à esquerda do número para indicar este 
sinal, ou seja, para indicar se o número é negativo ou não. Os números binários compostos 
desta maneira são chamados números binários com sinal ou números de magnitude com sinal 
pois o primeiro dígito representa o sinal e os dígitos restantes significam a magnitude do 
número. Geralmente o dígito 0 indica um número positivo e 1 indica um número negativo. 
 
Exemplo: -32410 = 11010001002 
 ↓ 
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 dígito que indica um número negativo 
 
 
 
 
 
2.2. Conversão do sistema decimal para o sistema binário: 
 
 Efetua-se uma operação aproximadamente inversa à conversão de binário para decimal, 
utilizando o método das divisões sucessivas: divide-se sucessivamente o número decimal por 
2 até resultar em um número menor que 2 e os restos destas divisões juntamente com o último 
resultado formarão o número binário. Este mesmo método pode ser usado para outros 
sistemas de numeração de base diferente de 2, como o sistema hexadecimal, cuja base é 16. 
 
Exemplo 1: Conversão do número decimal 1029 para o sistema binário. 
 
 1- Divide-se o número por 2, que é a base do sistema binário. O resto desta divisão 
será o último dígito do número binário. 
 1029|2___ 
 1 514 
 
 2- O resultado desta divisão é dividido novamente por 2, e o resto será o penúltimo 
dígito do número binário. O resultado é dividido sucessivas vezes por 2, até a última divisão em 
que o resultado for 0 ou 1. O resultado da última divisão será o primeiro dígito do número 
binário. 
 514|2___ 
 0 257 |2__ 
 1 128|2_ 
 0 64|2_ 
 0 32|2_ 
 0 16|2_ 
 0 8|2_ 
 0 4|2__ 
 0 2 |2 
 0 1 
 
 restos das divisões sucessivas:10000000101 
 102910 = 100000001012 
 
Exemplo 2: Conversão do número 28374 decimal para binário. 
 28374|2_____ 
 0 14187|2___ 
 1 7093|2____ 
 1 3546|2____ 
 0 1773|2__ 
 1 886|2 
 0 443|2___ 
 1 221|2__ 
 1 110|2_ 
 0 55|2_ 
 1 27|2 
 1 13|2 
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 1 6|2 
 0 3|2 
 1 
 restos das divisões sucessivas: 110111011010110 
 2837410 = 1101110110101102 
 
2.3. O Sistema Octal 
 
 O sistema de numeração de base 8 e que utiliza os caracteres de 0 à 7 do sistema de 
numeração decimal, na respectiva ordem, é chamado de sistema octal. Este sistema era mais 
utilizado antigamente, pois é uma simplificação do sistema binário: 3 dígitos binários eram 
substituídos por 1 dígito no sistema octal, porque o valor máximo de um número de 3 dígitos 
binários é 111, ou seja, 7. que é o número máximo de caracteres diferentes utilizados pelo 
sistema octal (base 8). Atualmente, o sistema octal entrou em desuso pela utilização cada vez 
maior da informática e de circuitos eletrônicos digitais, que utilizam somente números binários. 
Em substituição ao sistema octal é utilizado o sistema hexadecimal. 
 
3. O SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO 
 
 O sistema hexadecimal de numeração pode representar quatro bits do sistema binário 
por um dígito (o número máximo obtido com quatro dígitos binários é 1610, que é a base do 
sistema hexadecimal) utilizando os dígitos de 0 à 9 do sistema decimal e representando os 
números de 10 à 15 pelos caracteres A, B, C, D, E, F. A contagem no sistema hexadecimal se 
processa da seguinte forma: 
 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B,... 
 
Exemplo de números binários: A16 = 1010 
 99F16 = 246310 
 BBC16 = 300410 
3.1. Conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal 
 
 Uma representação posicional no sistema hexadecimal pode ser desenvolvida numa 
forma polinomial que envolve um somatório de potências de 16. Executa-se um processo 
semelhante à conversão dos números binários para decimal. 
 
Exemplo 1: Conversão do número A01 hexadecimal para decimal. 
 
 1- O primeiro dígito da direita para a esquerda do número hexadecimal multiplica a 
potência de 160, o segundo dígito da direita para a esquerda multiplica 161, o terceiro dígito à 
direita multiplica 162, e assim por diante. Caso exista um dígito maior que 9, converte-lo para 
decimal e mutiplicar normalmente: 
 1 x 160 = 1 x 1 = 1 
 0 x 161 = 0 x 16 = 0 
 A x 162 = A x 256 = 10 x 256 = 2560 
 
 2- A soma destas multiplicações resulta no número decimal: 
 16 + 0 + 2560 = 2561 
 Assim: 
 A0116 = 256110 
 
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Exemplo 2:BF2016 = B x 163 + F x 162 + 2 x 161 + 0 x 160 
 BF2016 = 11 x 4096 + 15 x 256 + 2 x 16 + 0 x 1 
 BF2016 = 45056 + 3840 + 32 + 0 
 BF2016 = 4892810 
 
Exemplo 3:600CD16 = 6 x 164 + 0 x 163 + 0 x 162 + C x 161 + D x 160 
 600CD16 = 6 x 65536 + 0 x 2998 + 0 x 256 + 12 x 16 + 13 x 1 
 600CD16 = 39342110 
 
3.2. Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal 
 
 Utiliza-se o método das divisões sucessivas: divide-se sucessivamente o número 
decimal por 16 até resultar em um número menor que 16 e os restos destas divisões 
juntamente com o resultado da última divisão formarão o número hexadecimal. 
 
Exemplo 1: Conversão do número decimal 4096 para hexadecimal. 
 4096|16 
 0 256|16 
 0 16|16 
 0 1 
 409610 = 100016 
 
Exemplo 2: Conversão do número 3748 decimal para hexadecimal. 
 3748|16 
 4 234|16 
 10 141410 = E16 
 1010 = A16 
 374810 = EA416 
 
3.3. Conversão do sistema binário para hexadecimal 
 
 A conversão de um número binário para hexadecimal pode ser feita de forma indireta 
pelos métodos de conversão anteriores: converte-se do sistema binário para o decimal e 
depois do decimal para o sistema hexadecimal. Porém, uma conversão direta do sistema 
binário para o sistema hexadecimal pode ser efetuada substituindo-se quatro dígitos binários 
por um dígito hexadecimal, pois com quatro dígitos binários obtenho no máximo o número 16, 
que é a base do sistema hexadecimal. 
 
Exemplo 1: Conversão do número 11101 em binário para o sistema hexadecimal. 
 
 1 - Obtenho os quatro últimos dígitos do número binário: 1101 
 2 - Converto diretamente para hexadecimal: 11012 = 1310 = D16 
 3 - Com isto, obtenho o último dígito do número hexadecimal: D16 
 4 - Repetir o mesmo método para os dígitos restantes do número binário: 12 = 116 
 5 - Unindo os dois dígitos, obtenho o número em hexadecimal: 
 111012 = 1D16 
 
Exemplo 2: Conversão do número 100101010 em binário para o sistema hexadecimal. 
 10102 = 1010 = A16 
 00102 = 216 
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 12 = 116 
 1001010102 = 12A16 
 
 A conversão de hexadecimal para binário pode ser feita de forma indireta: converte-se 
de hexadecimal para decimal e de decimal para binário. Uma forma direta pode ser executada 
do modo contrário ao anterior: converte-se em quatro dígitos binários cada dígito hexadecimail. 
O último dígito do número hexadecimal fornece o valor dos quatro últimos dígitos do número 
binário. 
 
Exemplo 3: Conversão do número CDF hexadecimal para o sistema binário. 
 F16 = 1510 = 11112 
 D16 = 1310 = 11012 
 C16 = 1210 = 11002 
 CDF16 = 110011011112 
 
Exemplo 4: Conversão do número 1002 hexadecimal para o sistema binário. 
 216 = 00102 
 016 = 00002 
 016 = 00002 
 116 = 00012 
 E00216 = 10000000000102