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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ CÁLCULO – PROVA DE TRANSFERÊNCIA FACULTATIVA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 02/12/2012 Candidato:_________________________________________________________ Curso Pretendido: __________________________________________________ OBSERVAÇÕES: 01 – Prova SEM consulta 02 – A prova PODE ser feita a lápis 03 - PROIBIDO o uso de calculadoras e similares 04 - Duração: 2 HORAS 1a Questão (10 pontos): a) Determine o valor de c para que a função dada por 2 )4()1( )( 2 xc xx xf satisfaça a igualdade )2()1( ff . b) Para o valor da constante c obtida no item anterior, determine todos os valores de x para os quais 0)( xf . SOLUÇÃO a) 2 10 1 c f e 22 30 2 c f Igualando: 60302020 22 30 2 10 cc cc b) Devemos resolver a inequação: 0 42 )4()1( 2 x xx Portanto o Conjunto-Solução da inequação é: + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - x x x 12 x 4x x42 4 2 1 xf - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 4 2 1 x 4c 2 1 4/ xxS 2a Questão (10 pontos): As retas tangentes ao gráfico da função 754 23 xxxxf pelos pontos 1x e 3x são concorrentes num ponto P. Encontre as coordenadas desse ponto. SOLUÇÃO A equação da reta tangente ao gráfico da função xf pelo ponto 00 , yx é: 000 . xxxfyy Temos: 583 2 xxxf Para 0151 00 fyx Assim, a reta tangente é: 51.05 yxy Para 8313 00 fyx Assim, a reta tangente é: . 2583.81 xyxy Para encontrar o ponto P, basta igualar as equações das retas, ou seja: 2 5 2085258 xxx Portanto: 3a Questão (10 pontos): Usando Integração Por Partes, resolver a integral dxarctgxI . . SOLUÇÃO O método de Integração por Partes é: duvvudvu ... xvdxdvdxdv dx x duarctgxu 21 1 Então: dx x x arctgxxI 21 . 5, 2 5 P CxarctgxxI 21ln 2 1 . 4a Questão (10 pontos): Achar yxfz , se yxx y z coscos e xxxf 3cos 22 , SOLUÇÃO Temos: dy y z yxfz , xCsenyxxyyxfdyyxxyxf .cos.,coscos, Como xxxf 3cos 22 , , então: xxCxCxxxx 4cos. 2 3cos 2 Portanto: 5a Questão (10 pontos): Calcular R dxdyyxf , , onde R é a região do 1o quadrante limitada por 295 xy : a) considerando ;6, yxf b) considerando ., yxyxf SOLUÇÃO a) Em ambos os casos a região de integração R é: 295 20 : xy x R . 2 0 9 5 2 0 2 0 2 0 229 5 2 2 6243065466, x x R dxxdxxdxydydxdxdyyxf 2 0 3224, xxdxdyyxf R xsenyxxyyxf 4.cos., R dxdyyxf 32, b) 2 0 9 5 2 0 2 0 22 2 9 5 22 2 2 25 5 2 9 9. 2 , x x R dxx x xxdx y xydydxyxdxdyyxf 2 0 4 23 2 25 5 2 9 2 81 9, dxx x xxxdxdyyxf R 2 0 4 23 28 2 94, dx x xxxdxdyyxf R 2 0 5 3 4 2 28 10 3 4 2, x x x x xdxdyyxf R = 565 16 2448, R dxdyyxf 6a Questão (10 pontos): Um menino chutou uma bola. Esta atingiu altura máxima de 12 metros e voltou ao solo 8 segundos após o chute. Sabendo que uma função quadrática expressa a altura y da bola em função do tempo t de percurso, encontre esta função. a) tty 6 4 3 2 b) tty 4 3 4 2 c) tty 3 4 1 2 d) tty 5 5 3 2 SOLUÇÃO A função quadrática procurada tem a forma: cbtaty 2 . Porém, para 0t , temos 0y . Assim, concluímos que 0c . Por outro lado, para 8t , temos 0y . Logo: abba 80864 A altura máxima atingida é a ordenada do vértice, ou seja: 12 4 a yv Assim: 6 4 3 12 4 64 12 4 12 4 4 222 ba a a a b a bac Portanto: R dxdyyxf 5 196 , tty 6 4 3 2 7a Questão (10 pontos): A concentração C de uma certa substância química no fluxo sangüíneo em t horas após ser injetada no músculo é dada por C = 354 3 t t . Após quantas horas essa concentração será máxima? a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas SOLUÇÃO Devemos ter 0 dt dC (Ponto Crítico). 23 3 23 23 54 6162 54 3.354.3 t t dt dC t ttt dt dC Igualando a zero: 2706162 33 tt 8a Questão (10 pontos): Calculando a integral 8 1 32 x dx I , obtemos: a) 1 b) 8 c) 5 26 d) 9 SOLUÇÃO Fazendo: tdttdxtxtxtxtx 2.2.32222 223223233 Para 11 tx Para 28 tx Então: 2 1 2 1 35 24 2 1 22 4 3 4 5 .644.6 2.6 t tt dtttdt t tt I 15 6020312016096 .64 3 4 5 1 8 3 32 5 32 .6I horast 3 5 26 I 9a Questão (10 pontos): Qual é a variação percentual no volume de um cilindro circular reto quando seu raio sofre um aumento de 12% e a sua altura diminui de 8%.? a) o seu volume permanece constante b) o volume aumenta de 12% c) o volume diminui de 4% d) o volume aumenta de 16% SOLUÇÃO O volume de um cilindro de raio r e altura h é hrV 2 . A Diferencial Total é: dhrrhdrdVdh h V dr r V dV 22. Dividindo por hrV 2 , obtemos: h dh r dr V dV dh hr r dr hr rh V dV .2 2 2 2 2 Tomando 12 r dr e 8 h dh , temos: 16824 V dV 10a Questão (10 pontos): Calculando o valor da integral 2 2 cos3 0 22 sen drdr , obtemos: a) b) 2 c) 1d) 5 12 SOLUÇÃO 2 2 2 2 2 2 2223 cos3 0 2 3 cos.1.9.cos9 3 dsensendsendsenrI 5 1 3 1 5 1 3 1 .9 53 .9 2 2 53 I sensen I %16Aumenta 5 12 I UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ FÍSICA – PROVA DE TRANSFERÊNCIA FACULTATIVA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 02/12/2012 Candidato:_________________________________________________________ Curso Pretendido: __________________________________________________ OBSERVAÇÕES: 01 – Prova SEM consulta 02 – A prova PODE ser feita a lápis 03 - PROIBIDO o uso de calculadoras e similares 04 - Duração: 2 HORAS Dados: g = 9,8 m/s 2 , massa de repouso do elétron = 9,11x10 -31 kg, sen 30 0 = 0,50 e cos 30 0 = 0,87, cos 45 0 = sen 45 0 = 0,7 sen 64 0 = 0,90 e cos 64 0 = 0,44 sen 51 0 = 0,78 e cos 51 0 = 0,63 sen 14 0 = 0,24, cos 14 0 = 0,97 e tan 14 0 = 0,25 1ª Questão (5 pontos): O coeficiente de atrito estático entre as roupas de uma pessoa e a parede cilíndrica de uma centrífuga de parque de diversões de 5 m de raio é 0,5. Qual deve ser a velocidade angular mínima (em rpm) da centrífuga para que a pessoa permaneça colada à parede, suspensa acima do chão? a) 1134,0 b) 0,3 c) 0,5 d) 16,8 e) 18,9 SOLUÇÃO I-) F = m.a Fcp = m. ω 2 .r (Neste caso a Fcp = Força Normal) II-) Peso = Força Atrito m.g = μ.N m.g = μ.m. ω 2 .r 9,8 = 0,5.ω 2 .5 ω = 1,98 rad/s = 18,9 rpm 2ª Questão (5 pontos): Uma roda, partindo do repouso, é acelerada de tal forma que sua velocidade angular aumenta uniformemente para 3 Hz em 5.10 -2 h. Depois de girar com essa velocidade por algum tempo, a roda é freada com desaceleração angular uniforme, levando 4 min para parar. O número total de rotações é 1.080. Quanto tempo, ao todo, a roda ficou girando? a) 9,5 min b) 7 min c) 6,5 min d) 5,5 min e) 4,5 min SOLUÇÃO I-) ω0 = 0 ω = ω0 + αt θ = θ0 + ω0t + ½ αt 2 ω = 180 rpm 180 = 0 + α3 θ = ½ 60.(3) 2 t = 5.10 -2 h = 3 min α = 60 rad/s 2 θ = 270 rotações II-) ω = 0 ω = ω0 + αt θ = θ0 + ω0t + ½ αt 2 ω0 = 180 rpm 0 = 180 + α4 θ = 180.4 - ½ 45.(4) 2 t = 4 min α = -45 rad/s 2 θ = 360 rotações III-) 1080 – 270 – 360 = 450 θ = θ0 + ωt 450 = 180.t t = 2,5 min Δt = 2,5 + 4 + 3 = 9,5 min 3ª Questão (5 pontos): Um cavalo puxa horizontalmente uma carreta com uma força de 200 N. A força forma um ângulo de 30 0 acima da horizontal. A carreta se move com uma velocidade constante de 8 km/h. Calcule a potência instantânea desenvolvida pelo cavalo. a) 222 W b) 387 W c) 1600 W d) 1392 W e) 800 W SOLUÇÃO P = F.cos.30 0 . v P = 200. 0,87. 8/ 3,6 = 387 W 4ª Questão (5 pontos): Uma partícula α colide com um núcleo de oxigênio, inicialmente em repouso. A partícula α é desviada de um ângulo de 64 0 , em relação à direção inicial do movimento, e o núcleo de oxigênio recua em uma direção que faz um ângulo de 51 0 com a direção inicial mencionada, para o outro lado. Qual a relação das velocidades das duas partículas? A massa do oxigênio é quatro vezes maior do que a massa da partícula α. a) 3,46 b) 2,85 c) 7,09 d) 8,85 e) 1,82 SOLUÇÃO Fazendo a análise da Conservação do Momento pelo eixo y teremos: Pfinal = Pinicial Mα.Vαf.sen64 0 – Mo2.Vo2f.sen51 0 = M α.V αi Mα.Vαf.0,90 - 4 Mα. Vo2f.0,78 = 0 Mα.Vαf.0,90 = 4 Mα. Vo2f.0,78 Vαf/. Vo2f = 3,46 5ª Questão (10 pontos): Um trem viaja para o norte a 120 km/h. A fumaça da locomotiva forma uma trilha que se estende numa direção de 14 0 a esquerda da direção sul, com o vento soprando a oeste. Qual é a velocidade do vento? a) 28,8 km/h b) 116,4 km/h c) 30,0 km/h d) 120,8 km/h e) 90,0 km/h SOLUÇÃO Imagine o trem indo para o norte. O vento sopra a oeste. A fumaça se desloca numa direção de 14 0 a esquerda da direção sul. tg14 0 = Vvento 0,25 = Vvento Vvento = 30 km/h 120 120 6ª Questão (30 pontos): Um garoto quer atirar um pedregulho de massa igual a 50 g em um alvo que está 5 metros a sua frente e a 2 metros acima de seu braço. Para isso, utiliza um estilingue em que cada elástico se estica de 1 cm para uma força aplicada de 1 N. O garoto aponta numa direção a 30º da horizontal. De que distância deve puxar os elásticos para acertar o alvo? SOLUÇÃO I-) F = 1N II-) vx= v0x = v0cos30 0 voy=v0sen30 0 x = 10 -2 m x = vx.t ou x = v0cos30 0 t → t = x/v0cos30 0 F = Kx y = voyt – ½ gt 2 ou y = v0sen30 0 t-½ gt 2 K = 100 N/m y = v0sen30 0 (x/v0cos30 0 ) – ½ .g.(x/ v0cos30 0 ) 2 2 = v0. ½ .5/ v0.0,87 – 9,8/2. (5/ v0.0,87) 2 v0 = 13,6 m/s III-) Temos a v que o pedrugulho sai do estilingue. Agora aplicaremos a conservação de energia no estilingue. O dois que multiplica no início da expressão é devido ao fato do estilingue ter duas borrachas (2).KΔx 2 /2 = mgh + mv0 2 /2 (2). KΔx 2 /2 = mgΔxsen30 0 +m.vo 2 /2 2.100. Δx 2 /2 = 5.10 -2 .9,8. Δx. ½+ 5.10 -2 .(13,6) 2 /2 Resolvendo a equação do segundo grau acima, a solução do problema será a positiva: Δx = 0,22 m Que significa 0,11m para cada um. 7ª Questão (10 pontos): Em um tubo de raios catódicos, um feixe de elétrons é projetado horizontalmente com velocidade de 1,0 x 10 8 cm/s, na região entre um par de placas horizontais de 1,0 cm de comprimento. O campo elétrico existente entre as placas imprime aos elétrons uma aceleração constante de 1,0 x 10 16 cm/s 2 e dirigida para baixo. Calcule: (a) o deslocamento vertical do feixe de elétrons, ao emergir das placas e (b) a velocidade (módulo, direção e sentido) do feixe neste mesmo instante. SOLUÇÃO vx = 1.10 8 cm/s ou 1.10 6 m/s L = 1 cm ou 1.10 -2 m a = 1.10 16 cm/s 2 ou 1.10 14 m/s 2 I-) Considere vx = L/t e voy=0 e y0 = 0 y = y0 + v0yt + ½ at 2 y = 1.10 14 (L 2 /vx 2 ) 2 y = 5.10 -3 m ou 5 mm II-) vy = at III-) vr = √[(106)2 + (106)2] vy = 1.10 14 . 10 -2 /10 6 vr = √2 . 106 vy = 10 6 m/s 8ª Questão (10 pontos): Uma esfera e um cilindro tendo ambos a mesma massa e o mesmo raio, partem do repouso e rolam para baixo em um mesmo plano inclinado. Determine fisicamente qual dos dois corpos chega primeiro à base do plano? SOLUÇÃO I-) Para a esfera, Icm=2/5 M.R 2 Mg.senθ – f = Ma (translação do cm) fR =Icm.α = (2/5MR 2 ).(a/R) (Rotação em torno de cm) ou f = 2/5Ma e a = 5/7gsenθ (a da esfera) II-) Para o cilindro, Icm=1/2 M.R 2 Mg.senθ – f = Ma (translação do cm) fR = Icm.α = (1/2MR 2 ).(a/R) (Rotação em torno de cm) a = 2/3 g.senθ (a do cilindro) Portanto, a esfera chegará primeiro. 9ª Questão (10 pontos): Um canhão dispara um projétil com velocidade inicial de 300 m/s. a-) Calcule o alcance máximo atingido pelo projétil. b-) Calcule o tempo que esse projétil levará para atingir o topo da trajetória. Considere que o objeto foi lançado a partir do solo. SOLUÇÃO Vx = V.cos45 0 Vy = V.sen45 0 a-) ΔT = 42,8 s (Tempo da subida + Tempo da descida) Vx = 300.0,7 Vy = 300.07 ΔS = Vx. ΔT Vx = 210 m/s Vy = 210 m/s ΔS = 210.42,8 = 8988 m b-) Vy = V0y – gt 0 = 210 – 9,8.t T = 21,4 s (Tempo da subida até atingir o topo) 10ª Questão (10 pontos): Um motorista percorre 10 km a 40 km/h, os 10 km seguintes a 80 km/h e mais 10 km a 30 km/h. Qual é a velocidade média do seu percurso? Compare-a com a média aritmética das velocidades. SOLUÇÃO Vm = ΔS/Δt Vm = 10 + 10 + 10_____ 10/40 + 10/80 + 10/30 Vm = _____30____ ¼ + 1/8 + 1/3 Vm = 30. 24/17 = 42,4 km/h V aritmética = 40 + 80 + 30 = 50 km/h 3
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