Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Regra da cadeia Danilo Sande December 9, 2013 Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Regra da cadeia A regra da cadeia para func¸o˜es de uma varia´vel e´ uma regra para derivac¸a˜o de func¸o˜es compostas. Se y = f (x) e x = g(t), onde f e g sa˜o deriva´veis, enta˜o y e´ indiretamente uma func¸a˜o deriva´vel de t: dy dt = dy dx dx dt . Para o caso de func¸o˜es de duas varia´veis, ha´ mais de uma versa˜o da regra da cadeia. Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Caso 1 Suponha que z = f (x , y) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) sa˜o ambas func¸o˜es diferencia´veis de t. Enta˜o, z e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de t, e : dz dt = ∂z ∂x dx dt + ∂z ∂y dy dt , ou dz dt = [∂z∂x ∂z ∂y ] [ dx dt dy dt ] , ou dz dt = ~∇f .d~r dt Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Exemplo 1 Se z = x2y + 3xy4, onde x = sin(2t) e y = cos(2t), obtenha dzdt quando t=0. Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Exemplo 2 A pressa˜o P (em KPa), volume V (em litros) e a temperatura T (em K) de um mol de ga´s ideal, esta˜o relacionadas pela equac¸a˜o PV = 8, 31T . Encontre a taxa na qual a pressa˜o varia, quando a temperatura e´ 300 K e cresce a uma taxa de 0,1 K/s e o volume e´ 100 L e cresce a uma taxa de 0,1 L/s. Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Caso 2 Suponha que z = f (x , y) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, onde x = g(s, t) e y = h(s, t) sa˜o ambas func¸o˜es diferencia´veis de s e t. Enta˜o: ∂z ∂s = ∂z ∂x ∂x ∂s + ∂z ∂y ∂y ∂s , e ∂z ∂t = ∂z ∂x ∂x ∂t + ∂z ∂y ∂y ∂t , ou [∂z∂s ∂z ∂t ] = [ ∂z ∂x ∂z ∂y ] [ ∂x ∂s ∂x ∂t ∂y ∂s ∂y ∂t ] Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Caso 2 De um modo geral: ∂z ∂ti = ∂z ∂x1 ∂x1 ∂ti + ∂z ∂x2 ∂x2 ∂ti + ...+ ∂z ∂xn ∂xn ∂ti Para todo ti = 1, 2, ...,m. Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Exemplo 3 Dada a func¸a˜o w = x2 + y2 + z2 e sabendo que x = r cos θ sin γ y = r sin θ sin γ z = r cos γ . Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da func¸a˜o w em relac¸a˜o a` r , θ e γ. Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Exemplo 3 Soluc¸a˜o: ∂w ∂r = ∂w ∂x ∂x ∂r + ∂w ∂y ∂y ∂r + ∂w ∂z ∂z ∂r ∂w ∂θ = ∂w ∂x ∂x ∂θ + ∂w ∂y ∂y ∂θ + ∂w ∂z ∂z ∂θ ∂w ∂γ = ∂w ∂x ∂x ∂γ + ∂w ∂y ∂y ∂γ + ∂w ∂z ∂z ∂γ , ou [∂w∂r ∂w ∂θ ∂w ∂γ ] = [ ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z ] ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂γ ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂γ ∂z ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂γ Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Exemplo 3 Soluc¸a˜o: ∂w∂r∂w ∂θ ∂w ∂γ = 2r0 2r2 cos θ cos2 γ + 2r2 sin θ cos2 γ − 2r2 cos γ sin γ Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Exemplo 4 Se u = x4y + y2z3, onde x = rset , y = rs2e−t e z = r2s sin t. Encontre o valor de ∂u∂s quando r=2, s=1 e t=0. Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Exemplo 5 Se g(s, t) = f (s2 − t2, t2 − s2) e f e´ diferencia´vel, mostre que g satisfaz a equac¸a˜o t ∂g∂s + s ∂g ∂t = 0. Danilo Sande Regra da cadeia Regra da cadeia Exemplo 6 Se z = f (x , y) possui derivadas parciais cont´ınuas de segunda ordem e { x = r2 + s2 y = 2rs , obtenha ∂z∂r e ∂2z ∂r2 . Danilo Sande Regra da cadeia
Compartilhar