Gabarito AD1 2014.2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
Gabarito da Avaliac¸a˜o a` Distaˆncia 1
Questa˜o 1: (2,0pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por x2 + 4x− 5 e 4x− 5. Determine:
a) As leis que definem f ◦ g e g ◦ f e o valor de (g ◦ f)(2). .
b) Os valores do domı´nio da func¸a˜o (f ◦ g) que teˆm imagem 7.
Soluc¸a˜o: (Cada um dos itens vale 1,0pt)
a)
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = (4x− 5)2 + 4(4x− 5)− 5 = 16x2 − 20x+ 25 + 16x− 20− 5 = 16x2 − 24x,
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = 4(x2 + 4x− 5)− 5 = 4x2 + 16x− 25,
e g(f(2)) = 23.
b) queremos determinar os valores x tais que (f ◦ g)(x) = 7 ⇔ 16x2 − 24x = 7 resolvendo usando a
fo´rmula para encontrar as soluc¸o˜es obtemos x = −14 e x = 74 .
Questa˜o 2: (1,5pts) Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f) ⊂ D(g); em seguida, construa
a composta h(x) = (g ◦ f)(x).
A) g(x) =
√
x2 − x− 6 e f : A→ R, f(x) = x− 2;
B) g(x) =
√
x2 − 9 e f : A→ R, f(x) = x− 2.
Soluc¸a˜o: (O item A) vale 1,0pt e o item B) 0,5pt)
A) Precisamos determinar os valores de x tais que x2−x−6 ≥ 0. Observe que x2−x−6 = (x+2)(x−3)
logo os valores x devem ser tais que ou x ≤ −2 ou x ≥ 3 logo como f(x) pega um valor x e retorna
x− 2, logo A = {x ∈ R : x ≤ 0 ou x ≥ 5}.
B) Precisamos determinar os valores de x tais que x2 − 9 ≥ 0. Observe que x2 − 9 = (x + 3)(x − 3)
logo os valores de x devem ser que ou x ≤ −3 ou x ≥ 3 e da´ı
A = {x ∈ R : x ≤ −1 ou x ≥ 5}
Questa˜o 3: (2,5pts) Considere a func¸a˜o Real f definida por f(x) = 3 + 2x−1, sendo g de A em
R a sua inversa. Considere tambe´m as seguintes afirmac¸o˜es e verifique se sa˜o falsas ou verdadeiras,
justificando sua resposta.
i) a imagem de f e´ A.
ii) o gra´fico de f esta´ acima da reta y = 4.
iii) g(11/2) = log2 5.
iv) Se f(h(x)) = 3 + 2x enta˜o h(1/4) = 0.
v) O gra´fico da func¸a˜o g intercepta o eixo x no ponto (1, 0).
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Soluc¸a˜o: (Cada um dos itens vale 0,5pt)
i) Verdadeira. Como f−1 = g : A 7→ R, enta˜o para cada x ∈ R temos que podemos calcular g(f(x)),
isso significa que f(x) ∈ A isto e´, a imagem de f esta em A. Por outro, se x ∈ A, enta˜o podemos
calcular y = g(x) e f(y) = f(g(x)) = x, isto quer dizer que x esta na imagem de f .
ii) Falso. Considere x = 0, enta˜o f(0) = 3 + 12 =
7
2 < 4.
iii) Verdadeira. Vamos iniciar determinando a g, de f temos que y = 3 + 2x−1, isolando x, temos
y − 3 = 2x−1 ⇐⇒ x− 1 = log2(y − 3)⇐⇒ x = 1 + log2(y − 3).
Logo g(x) = 1 + log2(y − 3). E da´ı,
g(
11
2
) = 1 + log2(
11
2
− 3) = 1 + log2(
5
2
) = 1 + log2(5)− log2(2) = log2(5).
iv) Verdadeira. Inicialment e vamos supor que x = 1/4, logo f(h(1/4)) = 3 + 214 =
14
4 =
7
2 . Se
y = h(1/4) Vamos determinar o valor de y tal que f(y) = 72
3 + 2y−1 =
7
2
⇐⇒ 2y−1 = 7
2
− 3 = 7
2
− 6
2
=
1
2
⇐⇒ y − 1 = −1⇐⇒ y = 0.
Isso mostra que h(1/4) = 0.
v) Falso. Se g intercepta o eixo x em 1, isso quer dizer que g(1) = 0, mas como g = f−1 isso quer
dizer que f(0) = 1, mas f(1) = 3 + 20 = 4 6= 1.
Questa˜o 4: (2,0pts) Calcule os seguintes limites:
I) lim
x→−3
x2 − x− 6
x− 3
II) lim
x→2
1
x2
− 14
x− 2
Soluc¸a˜o: (Cada um dos itens vale 1,0pt)
lim
x→3
x2 − x− 6
x− 3 = limx→−3
(x− 3)(x+ 2)
x+ 3
= lim
x→−3
x+ 2 = 5
II)
lim
x→2
1
x2
− 14
x− 2 = limx→2
4−x2
4x2
x− 2 = limx→2
(2− x)(2 + x)
4x2(x− 2) = −
1
4
.
Questa˜o 5: (2,0pts) Fac¸a o estudo dos sinais das seguintes func¸o˜es:
r) −2(x
2+1)
(x2−1)2 s)
4x(x2+3)
(x2−1)3
Soluc¸a˜o: (Cada um dos itens vale 1,0pt) Observe que a func¸a˜o do item r) T
Tanto x2 + 1 > 0 como
(
x2 − 1)2 > 0 para todo o valor de x, e´ claro que o denominador ser
diferente de zero implica que x 6= ±1. Enta˜o o sinal da func¸a˜o para todos os valores que fazem sentido
avalia-la. Observe que
2(x2+1)
(x2−1)2 > 0 e da´ı −
2(x2+1)
(x2−1)2 < 0.
Observe que x2 + 3 > 0 para todo x. Logo o sinal da func¸a˜o
4x(x2+3)
(x2−1)3 depende apenas de x e do
sinal de
(
x2 − 1)3 que por sua vez concorda com o sinal de x2 − 1 que e´ uma para´bola com ra´ızes 1 e
−1 e boca voltada para cima. Veja o gra´fico abaixo que explica a situac¸a˜o
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