Aula 4 - Fenômenos de Transporte - Leny - UVA

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DINAˆMICA DOS FLUIDOS
1. Fluidos em movimento
• Agora passamos a investigar os fluidos em movimento. Ao inve´s de
considerarmos o movimento de cada partı´cula do fluido como uma
func¸a˜o do tempo, descrevemos as propriedades de um fluido em movi-
mento em cada ponto como uma func¸a˜o do tempo.
• Quando um fluido esta´ em movimento, seu escoamento pode ser clas-
sificado em um dos tipos abaixo:
– Escoamento laminar (ou estaciona´rio): no escoamento laminar, a
velocidade (vetor) do fluido em um ponto fixo qualquer na˜o varia
com o tempo; as partı´culas do fluido seguem trajeto´rias suaves e
bem definidas, que nunca se cruzam.
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– Escoamento turbulento: acima de uma certa velocidade crı´tica, o
movimento do fluido se torna turbulento; o escoamento turbulento
e´ irregular e caracterizado por pequenos vo´rtices.
• O termo viscosidade e´ geralmente utilizado na descric¸a˜o do escoa-
mento dos fluidos para caracterizar o grau de fricc¸a˜o interna em um
fluido, a qual esta´ associada com a resisteˆncia que duas camadas ad-
jacentes de fluido encontram para se mover uma em relac¸a˜o a outra.
A viscosidade faz com que parte da energia cine´tica de um fluido seja
convertida em energia interna.
• Pelo fato do movimento dos fluidos ser extremamente complexo e
ainda na˜o totalmente compreendido, algumas simplificac¸o˜es sera˜o
feitas. Aqui sera˜o considerados apenas fluidos ideais com as seguintes
caracterı´sticas:
– Auseˆncia de viscosidade: em um fluido na˜o-viscoso, o atrito in-
terno e´ desprezado. Um objeto que se move atrave´s de um fluido
com viscosidade nula na˜o experimenta a ac¸a˜o de forc¸as de arrasto
e se movimenta com velocidade constante;
– Escoamento estaciona´rio;
– O fluido e´ incompressı´vel, isto e´, sua densidade/massa epecı´fica
e´ constante;
– Escoamento irrotacional: o fluido na˜o possui momento angular em
relac¸a˜o a qualquer ponto.
2. A equac¸a˜o de continuidade
• Em um escoamento estaciona´rio, o caminho trac¸ado por um elemento
do fluido e´ denominado linha de fluxo. A velocidade da partı´cula e´
sempre tangente a` linha de fluxo.
• Um conjunto de linhas de fluxo forma um tubo de fluxo; as partı´culas
de fluido na˜o podem fluir para dentro ou para fora deste tubo.
• Vamos agora considerar um fluido ideal se movendo atrave´s de um
cano/tubo com dimenso˜es na˜o-uniformes (figura abaixo).
• As partı´culas do fluido em escoamento estaciona´rio se movem ao
longo das linhas de fluxo e, em um intervalo de tempo t, o fluido na
parte mais baixa do tubo se deslocou de uma distaˆncia ∆x1 = v1t.
Se a a´rea da sec¸a˜o reta do tubo nesta regia˜o e´ A1, enta˜o a massa
de fluido contida na regia˜o sombreada da figura e´ m1 = ρV1 =
ρ∆x1A1 = ρA1v1t, onde ρ e´ a densidade do fluido. Do mesmo
modo, o fluido que se move na regia˜o mais alta do tubo durante o in-
tervalo de tempo t possui massa m2 = ρA2v2t. No entanto, como
a massa se conserva e o escoamento e´ estaciona´rio, a massa de flu-
ido que atravessa A1 em um intervalo de tempo t deve ser igual a`
massa de fluido que atravessa A2 no mesmo intervalo de tempo, logo
m1 = m2 e
A1v1 = A2v2 = constante. (1)
A expressa˜o acima e´ chamada de equac¸a˜o da continuidade e esta-
belece que o produto da a´rea e da velocidade do fluido em todos os
pontos ao longo do tubo e´ contante para um fluido incompressı´vel.
• A equac¸a˜o acima nos diz que a velocidade do fluido e´ maior onde o
tubo tem sec¸a˜o reta menor, e velocidade menor onde A e´ maior. O
produto Av, que possui dimenso˜es de volume por unidade de tempo,
e´ chamado de fluxo ou vaza˜o. O fluxo de massa ou vaza˜o de massa
e´ dado por ρAv (massa por unidade de tempo),
Rv = Av, (2)
Rρ = ρAv. (3)
• A condic¸a˜o Av = cte tambe´m nos diz que o volume de fluido que
entra em um lado do tubo no intervalo de tempo t deve ser igual ao
volume que deixa o outro lado do tubo no mesmo intervalo de tempo,
no caso de na˜o existirem vazamentos.
Exemplo 1: A cada segundo, 5525 m3 de a´gua escoam atrave´s de um
dos penhascos das Cataratas do Nia´gara, o qual possui uma largura
de 670 m. Se, quando atinge o penhasco, a a´gua possui uma pro-
fundidade de aproximadamente 2 m, qual a velocidade da a´gua neste
ponto?
A vaza˜o neste ponto das cataratas e´ de exatamente 5525 m3 por
segundo, ou 5525 m3/s. A a´rea da sec¸a˜o reta do fluxo de a´gua que
atinge o penhasco e´ dada por (670 m).(2 m) = 1340m2. Portanto
teremos vaza˜o= 5525 = Av = 1340v, logo v = 4,12 m/s.
Exemplo 2: A figura abaixo mostra um encanamento e indica a vaza˜o
(em cm3/s) e o sentido do escoamento em todos os canos exceto um.
Quais sa˜o a vaza˜o e o sentido do escoamento neste cano?
Sabemos que o fluxo de a´gua que entra no cano deve ser igual ao
fluxo de a´gua que sai do cano. O fluxo de a´gua que entra no cano, de
acordo com a figura, e´: 4 + 8 + 5 + 4 = 21 cm3/s. Ja´ o fluxo de
a´gua que sai sera´: 2 + 6 = 8 cm3/s. Portanto, para que os fluxos se
igualem, devemos ter uma vaza˜o de 21 − 8 = 13 cm3/s, para fora,
no cano mencionado no problema.
Refereˆncias:
• Chaves, A. Fı´sica Ba´sica, vol. II. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
• Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Fı´sica, Vol. II, 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009
(verso˜es em portugueˆs e ingleˆs).