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Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos UFPE - Universidade Federal de Pernambuco CCSA - Centro de Ciências Sociais e Aplicadas 2018 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 • Antiderivação: a Integral Indefinida • Regras de Integração Indefinida • Equações Diferenciais Conteúdos Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Motivação Como podemos usar a taxa de inflação para prever os preços futuros? Como varia a velocidade de um corpo que se move em linha reta com aceleração conhecida? Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Antiderivada Uma função 𝑭 𝒙 é chamada de antiderivada de 𝒇(𝒙) se 𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 para qualquer 𝒙 no domínio de 𝒇 𝒙 . Exemplo 1: Mostre que 𝑭 𝒙 = 𝒙³ 𝟑 + 𝟓𝒙 + 𝟐 é uma antiderivada da função 𝒇 𝒙 = 𝒙² + 𝟓. Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Antiderivada Uma função 𝑭 𝒙 é chamada de antiderivada de 𝒇(𝒙) se 𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 para qualquer 𝒙 no domínio de 𝒇 𝒙 . 𝑭′ 𝒙 = 𝟑. 𝒙² 𝟑 + 𝟓 Exemplo 1: Mostre que 𝑭 𝒙 = 𝒙³ 𝟑 + 𝟓𝒙 + 𝟐 é uma antiderivada da função 𝒇 𝒙 = 𝒙² + 𝟓. 𝑭′ 𝒙 = 𝒙² + 𝟓 = 𝒇(𝒙) Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Antiderivada Uma função tem mais de uma antiderivada. Por exemplo: uma das antiderivadas de 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙² é 𝑭 𝒙 = 𝒙³, já que 𝑭′ 𝒙 = 𝟑𝒙² = 𝒇(𝒙). Mas o mesmo se pode dizer de 𝒙³ + 𝟏𝟐, 𝒙³ − 𝟓 e 𝒙³ + 𝝅, pois 𝑑 𝑑𝑥 𝒙𝟑 + 𝟏𝟐 = 𝟑𝒙² 𝑑 𝑑𝑥 𝒙𝟑 − 𝟓 = 𝟑𝒙² 𝑑 𝑑𝑥 𝒙𝟑 + 𝝅 = 𝟑𝒙² Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Propriedade Fundamental das Antiderivadas 𝐺′ 𝑥 = 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) Se 𝑭 𝒙 é uma antiderivada de uma função contínua 𝒇(𝒙), qualquer outra antiderivada de 𝒇(𝒙) tem a forma 𝑮 𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 , onde 𝐶 é uma constante. Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 A integral é indefinida porque envolve uma constante 𝐶 que pode assumir qualquer valor numérico. A Integral Indefinida 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 A Integral Indefinida 𝑭′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 𝒅𝑭 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 Ou Para qualquer função diferenciável 𝐹: Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 A Integral Indefinida 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑮 𝒙 + 𝑪 𝑮′ 𝒙 = 𝒇(𝒙) Verificar! Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Regras para Integrar Funções Comuns Regra da Constante: 𝒌 𝒅𝒙 = 𝒌𝒙 + 𝑪 Regra da Potência: Regra do Logaritmo: Regra da Exponencial: para 𝒌 constante. 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = 𝒙𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 para qualquer 𝒏 ≠ −𝟏 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 + 𝑪 para qualquer 𝒙 ≠ 𝟎 𝒆𝒌𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒌 𝒆𝒌𝒙 + 𝑪 para 𝒌 ≠ 𝟎 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Exemplos: Determine as seguintes integrais: a) 3𝑑𝑥 b) 𝑥17 𝑑𝑥 c) 𝑑𝑥 𝑥 d) 𝑒−3𝑥 𝑑𝑥 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Exemplos: Determine as seguintes integrais: a) 3𝑑𝑥 b) 𝑥17 𝑑𝑥 c) 𝑑𝑥 𝑥 d) 𝑒−3𝑥 𝑑𝑥 a) 𝟑𝒅𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝑪 b) 𝒙𝟏𝟕𝒅𝒙 = 𝒙𝟏𝟖 𝟏𝟖 + 𝑪 c) 𝒅𝒙 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝑪 = 𝟐 𝒙 + 𝑪 d) 𝒆−𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 −𝟑 𝒆−𝟑𝒙 + 𝑪 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos Regras Algébricas para Integração Indefinida Regra da Multiplicação por uma constante: 𝒌𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 Regra da Soma: Regra da Diferença: para 𝒌 constante. 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Exemplos: Calcule as seguintes integrais: a) (𝟐𝒙𝟓 + 𝟖𝒙3 − 𝟑𝒙2 + 𝟓)𝒅𝒙 b) 𝒙³ + 𝟐𝒙 − 𝟕 𝒙 𝒅𝒙 c) (𝟑𝒆−𝟓𝒕 + 𝒕)𝒅𝒕 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Exemplo: Calcule a seguinte integral 𝒙³ + 𝟐𝒙 − 𝟕 𝒙 𝒅𝒙 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Exemplo: Calcule a seguinte integral 𝒙³ + 𝟐𝒙 − 𝟕 𝒙 𝒅𝒙 𝒙³ + 𝟐𝒙 − 𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙² + 𝟐 − 𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙²𝒅𝒙 + 𝟐𝒅𝒙 − 𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙²𝒅𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟕 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = = 𝟏 𝟑 𝒙³ + 𝟐𝒙 − 𝟕 𝐥𝐧 𝒙 + 𝑪 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Exemplo: Determine a função 𝒇 𝒙 cuja reta tangente tem uma inclinação 𝟑𝒙² + 𝟏 para qualquer valor de 𝑥 e cuja curva passa pelo ponto (𝟐, 𝟔). Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Exemplo: Determine a função 𝒇 𝒙 cuja reta tangente tem uma inclinação 𝟑𝒙² + 𝟏 para qualquer valor de 𝑥 e cuja curva passa pelo ponto (𝟐, 𝟔). 𝒇 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙2 + 𝟏 𝒅𝒙 A inclinação da tangente a uma curva no 𝑥, 𝑓 𝑥 é a derivada 𝑓′ 𝑥 . Assim, 𝒇′ 𝒙 = 𝟑𝒙² + 𝟏 , e 𝒇 𝒙 é a antiderivada. 𝒇(𝒙) = 𝒙³ + 𝒙 + 𝑪 Para determinar o valor de 𝑪, usaremos o ponto 2, 6 . 𝒇 𝟐 = 𝟔 𝟐³ + 𝟐 + 𝑪 = 𝟔 𝑪 = 𝟔 − 𝟏𝟎 𝑪 = −𝟒 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Assim, a função pedida é 𝒇 𝒙 = 𝒙³ + 𝒙 − 𝟒. . Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Problemas Práticos de Valor inicial Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Equações Diferenciais É qualquer equação que envolve uma ou mais derivadas. As equações diferenciais são usadas em modelagem e aparecem em muitas aplicações práticas do cálculo. Problema de Valor inicial É um problema que envolve a solução de uma equação diferencial com uma condição inicial especificada. Como no exemplo anterior: Determine a função 𝒇 𝒙 cuja reta tangente tem uma inclinação 𝟑𝒙² + 𝟏 para qualquer valor de 𝑥 e cuja curva passa pelo ponto (𝟐, 𝟔). Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Problema de valor inicial: Um fabricante constatou que o custo marginal é 𝟑𝒒² − 𝟔𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎 reais por unidade, onde que 𝒒 é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de R$ 900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades? Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Problema de valor inicial: Um fabricante constatou que o custo marginal é 𝟑𝒒² − 𝟔𝟎𝒒+ 𝟒𝟎𝟎 reais por unidade, onde que 𝒒 é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de R$ 900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades? A função Custo Marginal é a derivada da função Custo Total 𝑪(𝒒); assim, 𝒅𝑪 𝒅𝒒 = 𝟑𝒒³ − 𝟔𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎 E, portanto, 𝑪(𝒒) é a antiderivada 𝑪 𝒒 = 𝒅𝑪 𝒅𝒒 𝒅𝒒 = (𝟑𝒒³ − 𝟔𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎) 𝒅𝒒 Integral e Regras de Integração Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 Assim, 𝑪 𝒒 = 𝒒³ − 𝟑𝟎𝒒2 + 𝟒𝟎𝟎𝒒 + 𝟐𝟏𝟐 𝑪 𝒒 = 𝒅𝑪 𝒅𝒒 𝒅𝒒 = (𝟑𝒒² − 𝟔𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎) 𝒅𝒒 𝑪 𝒒 = 𝒒³ − 𝟑𝟎𝒒2 + 𝟒𝟎𝟎𝒒 + 𝑲 Para determinar o valor de 𝑲, usaremos o fato de 𝐂 𝟐 = 𝟗𝟎𝟎. 𝟐³ − 𝟑𝟎. 𝟐 2 + 𝟒𝟎𝟎. 𝟐 + 𝑲 = 𝟗𝟎𝟎 𝟖 − 𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝟎𝟎 + 𝑲 = 𝟗𝟎𝟎 𝟔𝟖𝟖 + 𝑲 = 𝟗𝟎𝟎 𝑲 = 𝟐𝟏𝟐 O custo para produzir as cinco primeiras unidades é de: 𝑪 𝟓 = 𝟓³ − 𝟑𝟎. 𝟓2+𝟒𝟎𝟎. 𝟓 + 𝟐𝟏𝟐 𝑪 𝟓 = 𝐑$ 𝟏. 𝟓𝟖𝟕, 𝟎𝟎 Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos Bibliografia ÁVILA, G. Cálculo: das funções de uma variável. 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: Um curso moderno e suas aplicações. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª ed. 1 Vol. São Paulo: Harbra, 1994. MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. 1 Vol. Rio de Janeiro: LTC- Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1982. STEWART, J. Cálculo. 5ª ed. Vol. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. Integral Definida e Teorema Fund. do Cálculo
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