CONTEUDO INTERATIVO aula 01

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Fundamentos da Álgebra
Aula 01 – Operações Binárias 
De acordo com a literatura, a Teoria dos Grupos foi desenvolvida por Evariste Galois. Essa teoria dá início aos estudos da Álgebra abstrata e ao mesmo tempo nos leva a uma reflexão sobre a importância desse conhecimento na formação do professor de Matemática. A literatura menciona que a teoria dos números e a teoria das equações algébricas, no fim do século XVIII, e a Geometria, no início do século XIX, deram origem à definição de “grupos”. Agora, iremos estudar essa estrutura algébrica chamada Grupo, que está presente em várias áreas da Matemática e possui muitas aplicações em outras ciências. Antes, compreendamos o significado de Operação Binária e suas propriedades.
Para iniciar o nosso estudo, vamos entender o que são operações.
Na literatura, podemos encontrar muitas definições para as operações, mas vale ressaltar que elas podem ocorrer dentro dos conjuntos a partir do momento em que operamos seus elementos. E, nesse caso, elas são ditas internas.
Dizer que uma operação é interna é o mesmo que dizer que ela é fechada. Em nosso estudo, iremos considerar as operações internas com dois elementos, as chamadas binárias. Podemos definir uma operação binária do seguinte modo:
Seja A um conjunto não vazio (A ≠ Ø). Uma operação binária interna, fechada em A, é definida como uma aplicação ƒ ou ∗ em A. Veja a representação, a seguir:
∗: A x A → A
(x, y) → z = x ∗ y
Operações e Símbolos
As operações são denotadas por símbolos (∗, +, ·, Δ, ...) em vez das letras do alfabeto que normalmente usamos (f, g, h, ...).
Observações: f: A X A → A 
f(operação ou função)
EXEMPLO 1: Adição no conjunto dos números naturais
+: NXN →N
(a,b) →a+b
+: NXN →N
(5,2) →+(5,2)=5+2 = 7
Observe que a imagem do par (a, b) ∈ N x N pela operação de (+) é representada por a + b, chamada de soma de a e b. Podemos dizer que a adição é uma operação interna, pois, tomando dois elementos quaisquer do conjunto dos números naturais com a operação de soma, encontramos como resultado um elemento a + b. Este pertence ao conjunto dos números naturais, no qual a adição está bem definida.
EXEMPLO 2: Subtração no conjunto dos números naturais
- : N XN →N 
(a,b) → a – b
- : N XN →N
(5,2) →- (5,2) = 5 – 2 = 3
Nesse exemplo, a imagem do par (a, b) ∈ N x N pela operação de ( - ) é representada por a - b, chamada de diferença entre dois números naturais a e b. Porém, devemos observar que essa diferença só será definida quando a > b. Ao combinarmos dois números naturais a e b através da operação de subtração, encontraremos o elemento a – b, também natural, se a > b. A subtração é uma operação interna, mas ela não está completamente definida no conjunto dos números naturais. A operação de subtração no conjunto dos números inteiros Z, ao contrário do conjunto dos números naturais N, é uma operação interna bem definida. A diferença está bem marcada para todos os elementos a e b em Z.
EXEMPLO 3: Multiplicação no conjunto dos números naturais
NXN → N 
(a,b) →a.b
NXN → N 
(5,2) →(5,2) = 5 . 2 = 6
A multiplicação é uma operação interna no conjunto dos números naturais.
Propriedades de uma Operação Binária
Uma operação binária pode possuir as seguintes propriedades:
COMUTATIVA
Seja A um conjunto munido da operação * , e sejam x e y dois elementos desse conjunto. A propriedade comutativa será definida se, e somente se, x * y = y * x. Exemplo:
Vamos verificar se x □ y = xy, com a operação □, é comutativa no conjunto dos números naturais N. Para isso, vamos considerar dois elementos quaisquer em N, por exemplo 2 e 5. Veja: 2 □ 5 = 25 = 32 e 5 □ 2 = 52 = 25, ou seja 2 □ 5 ≠ 5 □ 2. Portanto, a operação não é comutativa.
Exemplo de Propriedade Comutativa
Verificar se x ∆ y = mdc(x,y) em N é comutativa.
Observe que o máximo divisor comum de x e y é o mesmo de y e x.
Portanto, a operação ∆ é comutativa. Ou seja, mdc(x,y) = mdc(y,x), assim x ∆ y = y ∆ x.
ASSOCIATIVA
Seja A um conjunto munido da operação * , e sejam x, y e z elementos desse conjunto. A propriedade associativa será definida se, e somente se, (x * y) * z = x * (y * z).
Exemplo: As operações usuais de adição e multiplicação em R, N, Q e Z são associativas.
(x+y) +z = x + (y +z)
(xy)z = x(yz) 
ADMITE ELEMENTO NEUTRO
Seja Α um conjunto munido da operação ∗ . Dizemos que a operação ∗ admite elemento neutro e ∈ Α (único) se, e somente se, e ∗ x = x = x ∗ e para todo x em Α. Fique atento! Se a operação ∗ é indicada pela notação + (adição), então, o elemento neutro (caso exista) será denotado por 0 (zero), para todo x em Α, isto é, 0 + x = x = x + 0. Se a operação ∗ é indicada pela notação · (multiplicação), então, o elemento neutro (caso exista) será denotado por 1 (unidade), para todo x em Α, isto é, 1 · x = x = x ·1.0 e 1 são os elementos neutros para as operações de adição e multiplicação sobre N, Z, Q e R.
[
ADMITE ELEMENTO SIMETRIZÁVEL 
Seja A um conjunto munido da operação *. Dizemos que a operação * admite elemento simetrizável x ϵ A se, e somente se, Ǝx ’ ϵ A, x *x ‘ = e = x‘ *x, para todo x em A. Chamamos x' de simétrico de x com a operação *. Fique atento! Se a operação * é indicada pela notação + (adição), então, (- x) é o elemento oposto de x, isto é, (- x) + x = 0 = x + (- x). Se a operação * é indicada pela notação · (multiplicação), então, x-1 é chamado de inverso de x, isto é, x -1 · x = 1 = x · x -1 . 
DISTRIBUTIVA
Seja A um conjunto munido de duas operações * e ∇.
1. Dizemos que a operação binária ∇ é distributiva à direita em relação à operação binária * se, e somente se, x∇ (y * z) = (x∇y) * (x∇z), ∀x, y, z ϵ A.
2. Dizemos que a operação binária ∇ é distributiva à esquerda em relação à operação binária * se, e somente se, (y*z)∇ x = (y∇x) * (z∇x), ∀x, y, z ϵ A.
Portanto, se a operação binária ∇ é distributiva à esquerda e à direita em relação à operação binária * , diremos apenas que ∇ é distributiva em relação à operação * .
Pausa para um exercício
Analise as afirmativas abaixo e marque Verdadeiro ou Falso:
1 - A operação binária * sobre Z, definida por x*y = x2 + y é associativa. 
R – FALSO
2 - A operação binária * definida por
*: Z x Z Z
(x, y) x*y = x2 – 2y é uma operação interna em Z.
R – VERDADEIRO
3 - A operação binária * sobre N, definida por x*y = mmc (x, y) admite elemento simetrizável.
R – FALSO
Estruturas algébricas
Agora que estudamos as operações binárias, podemos definir uma estrutura algébrica.
Considere um conjunto Ε não vazio (Ε ≠ ∅). Dizemos que um conjunto Ε tem uma estrutura algébrica quandodefinimos em E uma operação interna ∗.
ATENÇÃO!
 Notação:(Ε,∗) ou < Ε,∗ >
As estruturas algébricas podem ser classificadas em: grupoides, semigrupos, monoides e grupos. Porém, essa classificação dependerá das propriedades verificadas para a operação interna ∗. Veja o conceito de cada uma, a seguir:
GRUPOIDES: Também são chamados, na literatura, de magma. É uma estrutura algébrica simples que possui apenas a propriedade do fechamento
SEMIGRUPOS: Seja (Ε, ∗ ), um conjunto Ε munido da operação ∗ . Dizemos que (Ε, ∗ ) é um semigrupo se a operação binária ∗ admite a propriedade associativa.
MONOIDES: Seja (Ε, ∗ ), um conjunto E munido da operação ∗ . Dizemos que (Ε, ∗ ) é um monoide se a operação binária ∗ admite a propriedade associativa e a existência do elemento neutro.
GRUPOS: Se, na estrutura chamada de monoide, dotada da propriedade associativa e da existência de um elemento neutro, identificarmos a existência de um elemento simétrico, então, passamos a chamá-la de grupo.
Estrutura de grupo
Vamos conhecer a estrutura de grupo com mais detalhe. Antes, veja a definição dessa estrutura:
 Atenção ! 
Notação: (G, ∗)
Dizemos que a operação ∗ define uma estrutura de grupo sobre o conjunto G se, e somente se, são válidos os seguintes axiomas:
G1: Propriedade Associativa
∀ x, y, z ϵ G, tem-se (x∗y) ∗ z = x ∗ (y∗z)
G2: Existência do Elemento Neutro
Existe um elemento e ϵ G tal que e∗ x = x = x∗e para todo x em G.
G3: Existência do Elemento simétrico para cada elemento de G
∀ x ϵ G, ∃ x’ ϵ G, tal que x ∗ x’ = e = x’ ∗ x
Portanto, (G,∗) é um grupo.
Grupos Comutativos ou Abelianos
Falando um pouco mais sobre grupos, vamos identificar o que são os grupos comutativos. Consideremos (G,∗) um grupo. Se a operação ∗ satisfaz a propriedade comutativa, então, podemos dizer que G é um grupo comutativo ou abeliano. G4: Propriedade Comutativa
 x, y ϵ G, tem-se x*y = y*x
Propriedades de um grupo As propriedades que veremos são consequências imediatas das propriedades G1, G2 e G3, estudadas anteriormente. Vejamos:
	Considerando (G,*) um grupo, temos as seguintes proposições:
	1
	O elemento neutro é único. Observe a demonstração:
Sejam e1 e e2 	 de G.
a * e1 = e1 * a = a, ∀a ϵ G (1)
a * e2 = e2 * a = a, ∀a ϵ G (2)
Em (1), tomando α = e2 ⇒ e2 * e1 = e1 * e2 = e2, (3)
Em (2), tomando α = e1 ⇒ e1 * e2 = e2 * e1 = e1, (4)
Observe que, de (3) e (4) temos que e1 = e2. Assim, fica provado que o elemento neutro é único.
	2
	O inverso de cada elemento é único. Observe a demonstração:
Seja a um elemento de G, e sejam a'1 e a'2 inversos de a.
a * a’1 = a’1 * a = e, ∀a ϵ G (1)
a * a’2 = a’2 * a = e, ∀ a ϵ G (2)
a’2 = a’2 * e = a’2 * (a * a’1) = (a’2 * a) * a’1 = e * a’1 = a’1
Assim, fica provado que o elemento inverso é único.
	3
	(a')' = a, para todo a em G. Observe a demonstrãção:
Sabemos que a' é o inverso de a. Então, a * a’1 = a’1 * a = e. Pela propriedade 2, temos que a é inverso de a'1. Então, (a')' = a.
	4
	(a * b)’ = b’ * a’
	5
	Quaisquer que sejam a e b em G, existe um único elemento x de G tal que a * x = b , ou seja, a equação a * x = b admite uma única solução em G.
	6
	Todo elemento de G é regular para a operação * .
Pausa para um exercício
Analise as afirmativas abaixo e marque Verdadeiro ou Falso:
01-A operação (x,y) →x*y sobre o conjunto Z é um grupo. X*y = x+y+ xy
R – VERDADEIRO 
02- A operação (x,y) →x*y sobre o conjunto R é um grupo. x*y = x+ y / 2
R- FALSO 
03- A operação (x,y) →x*y = sobre o conjunto R é um grupo.
R- VERDADEIRO
Definição de elementos regulares
Vamos pensar um pouco:
O que são os elementos regulares?
Dizemos que um elemento a de G é regular (ou simplificável) para a operação ∗ se:
(1)  a * x = a * y ⇒ x = y
(2)  x * a= y * a⇒ x = y,    ∀x, y, ∈ G
Atente-se para algumas observações:
1 - Dizemos que a é regular à esquerda (1).
2 - Dizemos que a é regular à direita (2).
3 - O conjunto dos elementos regulares de G para a operação ∗ é indicado por R ∗ (G).
Proposição: Lei do cancelamento
Para finalizar esta aula, vamos entender o que é a Lei do cancelamento.
Essa lei ocorre da seguinte maneira:
Seja (G,∗) um grupo. Então: α ∗ b = α ∗ c ⇒ b = c e b ∗ α = c ∗ α ⇒ b = c
Demonstração:
α ∗ b = α ∗ c ⇒ α´ ∗ (α ∗ b) = α´ ∗ (α ∗ c) ⇒ (α´ ∗ α) ∗ b = (α´ ∗ α) ∗ c ⇒ e ∗ b = e ∗ c ⇒ b = c
Veja um exemplo em que poderemos aplicar a lei do cancelamento: Seja b um elemento do grupo H, com a operação * e elemento neutro e. Determine a solução da equação b-1 * x * b = e: Solução:
Nesse caso, devemos isolar a variável x do lado esquerdo, mas, para isso, devemos excluir o b-1 e o b. Para tanto, usaremos as propriedades dos grupos. Observe que podemos multiplicar o lado esquerdo e o lado direito por b :
b-1 *x*b = e (multiplicar por b)
(b*b-1)*x*b = e*b, mas b*b-1 = e
e*x*b = e*b (multiplicar por b-1) _______________________________________________________
e*x* (b*b-1) = e* (b*b-1) e* (x*e) = e*e (Lei do cancelamento)
x*e = e, mas x*e = x
x = e
Atividade Proposta
01 – MARQUE A ALTERNATIVA QUE INDICA O ELEMENTO NEUTRO DA OPERAÇÃO BINÁRIA * SOBRE R+ , DEFINIDA POR x*y = .
R - e=0
02 – SEJA A OPERAÇÃO BINÁRIA * DEFINIDA POR: * : Z X Z ˃Z (X, Y) →x*y = RESTO DA DIVISÃO DE X + Y POR 4 
CALCULE 12 *(-3).
R - 1 
R - M = N
R- x -1=10 - x
R - x = b
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Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, leia os seguintes textos:
A noção de estrutura em Matemática e Física. Disponível aqui.
História da Teoria dos Grupos. Disponível aqui.
O Prêmio Abel de 2008. Disponível aqui.
Acesse os seguintes sites:
Revista Pesquisa FAPESP. Disponível aqui.
Uma Análise Histórico-Epistemológica do conceito de Grupo: caminhos para uma nova transposição didática. Disponível aqui.