PO2 Cap 4 Introdução ao Planejamento Fatorial

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Pesquisa Operacional 
Modelos Probabilísticos 
4 – Planejamento Fatorial 
Professor Luciano Barboza da Silva 
Introdução 
• Imagine que você é o gerente de produção da Perfect 
Parachuts Company. Os paraquedas são tecidos em sua 
fábrica com o uso de uma fibra sintética adquirida de quatro 
diferentes fornecedores. A resistência dessas fibras é uma 
característica importante que garante paraquedas de 
qualidade. Você precisa decidir se as fibras sintéticas de 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 2 
Introdução 
 cada um dos seus quatro fornecedores resultam em 
paraquedas de igual resistência. Além disso, sua fábrica 
utiliza dois tipos de teares para produzir paraquedas: 
Jetta e o Turq. Você precisa estabelecer se os 
paraquedas tecidos nos dois teares são igualmente 
resistentes. 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 3 
Introdução 
 Você também deseja saber se quaisquer diferenças na 
resistência dos paraquedas que possam ser atribuídas 
aos quatro fornecedores são dependentes do tipo de tear 
utilizado. De que modo você pode ir a busca dessa 
informação? 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 4 
Introdução 
• Esse tipo de problemática introduz a noção de 
Planejamento de Experimento; 
• A empresa precisa desenvolver um procedimento de 
modo que possa tirar conclusões sobre as diferenças 
questionadas. Esse procedimento se chama 
Experimento; 
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Modelo Completamente Aleatório: 
Análise de Variância de Fator Único 
• Um fator é definido como uma Variável sob a qual você 
tem que estabelecer uma decisão; 
• Em geral esses Fatores podem ser divididos em Níveis; 
• Nosso primeiro problema é decidir se paraquedas vindos de 
fornecedores distintos têm a mesma resistência; 
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Modelo Completamente Aleatório: 
Análise de Variância de Fator Único 
• Nesse caso temos: 
– Um único fator: Fornecedor, o elemento variável no processo 
de produção; 
– Há vários Níveis desse fator no momento que se estabelece 
que são quatro fornecedores distintos; 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 7 
Modelo Completamente Aleatório: 
Análise de Variância de Fator Único 
• Quando temos um único fator utilizamos um Modelo 
Completamente Aleatório; 
• Nesse método busca-se eliminar quaisquer fatores 
sistemáticos que produzisse diferenças entre os 
processos; 
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Teste F ANOVA de fator Único 
• O objetivo deste procedimento é desenvolver um Teste 
para verificar se há diferenças significativas entre os 
resultados médios finais produzidos sob níveis 
diferentes do fator em discussão; 
• ANOVA – Análise de Variância (ANalysis Of VAriance); 
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Teste F ANOVA de fator Único 
• Protocolo: 
– Conseguir uma amostra de resultados para cada nível de 
fator: 
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ijX
i-ésimo Resultado do Experimento para o j-ésimo nível 
do fator sob estudo 
Teste F ANOVA de fator Único 
• Calcula-se: SQT – Soma Total dos Quadrados: 
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 
 

c
j
n
i
ij
j
XXSQT
1 1
2
n
X
X
c
j
n
i
ij
j

 

1 1
X
ijX
jn
c



c
j
jnn
1
Grande Média 
Observações Amostrais 
Número de Observações por Nível do fator 
Número de Níveis do Fator 
n
Número Total de Observações 
Teste F ANOVA de fator Único 
• Calcula-se: SQE – Soma dos quadrados entre os Níveis: 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 12 
 


c
j
jj XXnSQE
1
2
X
jX
jn
c
Grande Média 
Média da amostra de nível j 
Número de Observações por Nível do fator 
Número de Níveis do Fator 
Teste F ANOVA de fator Único 
• Calcula-se: SQD – Soma dos quadrados dentro dos 
Níveis: 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 13 
 
 

c
j
n
i
jij
j
XXSQD
1 1
2
ijX
jX
Observações da amostra 
Média da amostra de nível j 
Teste F ANOVA de fator Único 
• Pode-se mostrar que: 
• Pode-se verificar também: 
14 
SQESQDSQT 
Parcela da Soma SQT SQD SQE 
Número de Graus de Liberdade n - 1 n - c c - 1 
Teste F ANOVA de fator Único 
• Montamos o seguinte quadro 
15 
Fonte Graus de 
Liberdade 
Soma dos 
Quadrados 
Média dos 
Quadrados 
(Variância) 
F 
Entre os Níveis 
Dentro do Nível 
Total 
Fonte Graus de 
Liberdade 
Soma dos 
Quadrados 
Média dos 
Quadrados 
(Variância) 
F 
Entre os Níveis 
Dentro do Nível 
Total 
1c
cn
1n
ESQ
SQD
SQT
1 cSQEMQE
cnSQDMQD 
MQD
MQE
Teste F ANOVA de fator Único 
• Nosso teste consiste em: 
– Nível de Significância: α; 
– Teste: 
16 


 
diferente média existe :
:
1
210
H
H c 
Teste F ANOVA de fator Único 
• Nosso teste consiste em: 
– Estatística de Teste 
17 
MQD
MQE
F 
Fonte Graus de 
Liberdade 
Soma dos 
Quadrados 
Média dos 
Quadrados 
(Variância) 
F 
Entre os Níveis 
Dentro do Nível 
Total 
1c
cn
1n
ESQ
SQD
SQT
1 cSQEMQE
cnSQDMQD 
MQD
MQE
Teste F ANOVA de fator Único 
• Protocolo: 
– Região Crítica: 
 onde: 
FFRC :
    FFP cnc ,1
Teste F ANOVA de fator Único 
• Voltando ao nosso caso. Consideremos os seguintes 
dados: 
Fornecedor 1 Fornecedor 2 
 
Fornecedor 3 
 
Fornecedor 4 
 
18,5 26,3 20,6 25,4 
24,0 25,3 25,2 19,9 
17,2 24,0 20,8 22,6 
19,9 21,2 24,7 17,5 
18,0 24,5 22,9 20,4 
Teste F ANOVA de fator Único 
• Temos: 
945,21
20
4,205,172,17245,181 1




  
n
X
X
c
j
n
i
ij
j
52,19
5
189,192,17245,18
1 

X
26,24
5
5,242,21243,253,26
2 

X
84,22
5
9,227,248,202,256,20
3 

X
16,21
5
4,205,176,229,194,25
4 

X
Teste F ANOVA de fator Único 
• Temos ainda: 
     
    2855,63945,2116,215945,2184,225
945,2126,245945,2152,195
22
2
1
2
2



c
j
jj XXnSQE
       
      5040,9716,214,2016,215,1726,243,26
52,190,1852,192452,195,18
222
222
1 1
2


 


c
j
n
i
jij
j
XXSQD
Teste F ANOVA de fator Único 
• Nosso teste consiste em: 
– Nível de Significância: 5%; 
– Teste: 
22 





0:
0:
1
210
j
k
H
H

 
Teste F ANOVA de fator Único 
• Nosso teste consiste em: 
– Estatística de Teste 
23 
4616,3
MQD
MQE
F
Fonte Graus de 
Liberdade 
Soma dos 
Quadrados 
Média dos Quadrados 
(Variância) 
F 
Entre os Níveis 
Dentro do Nível 
Total 
14
420
120
2855,63
5040,97
7895,160
0952,213/2855,63 MQE
0940,616/5040,97 MQD
0940,6/0952,21
Teste F ANOVA de fator Único 
• Protocolo: 
– Região Crítica: 
 onde: 
• Conclusão: Rejeitamos H0 (afirmação de que não há 
diferenças entre as médias) com NS = 5% 
24,3: FRC
  24,305,0 05,005,016,3  FFFP
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey-Kramer 
• Anteriormente negamos a hipótese nula (a afirmação de 
que todas as resistências médias eram iguais, 
independentementedo fornecedor) ao NS dado (5%); 
• No procedimento de Tukey-Kramer identificamos os 
fornecedores que apresentam diferenças; 
 
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey-Kramer 
• Procedimento: 
– Calcule as diferenças absolutas entre as médias aritméticas 
para todos os pares de médias de níveis distintos; 
– Calcule o intervalo crítico para o procedimento utilizando a 
equação a seguir para cada par de médias comparadas : 
 
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey-Kramer 
• Intervalo Crítico (IC): 
 
kj
nn
MQD
QIC
kj










11
2

Q
Valor Crítico da Cauda Superior, a partir da t de Student, com c 
graus de liberdade no numerador e n - c graus de liberdade no 
denominador (Tabela) com NS = α 
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey-Kramer 
• Procedimento: 
– Compare cada uma das diferenças absolutas calculadas com 
o valor do IC específico; 
– Caso a diferença absoluta seja maior que o valor crítico há 
uma diferença significativa entre as médias; 
 
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey-Kramer 
• Para o nosso caso: 
 
4712,4
5
1
5
1
2
094,6
05,4
11
2
















kj nn
MQD
QIC 
05,416420 e 4  Qcnc
5 jk nn
094,6MQD
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey-Kramer 
• Assim para cada par de médias: 
 
4712,468,116,2184,22
4712,410,316,2126,24
4712,442,184,2226,24
4712,464,116,2152,19
4712,432,384,2252,19
4712,474,426,2452,19
43
42
32
41
31
21






XX
XX
XX
XX
XX
XX
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey-Kramer 
• Conclusões: 
– A diferença absoluta entre 1 e 2 ultrapassou o IC. Existe portanto 
uma diferença significativa entre essas duas médias (a média 1 é 
significativamente menor que a média 2); 
– As diferenças entre os demais pares não ultrapassou o limite, o 
que significa que as diferenças podem ser atribuídas ao acaso. 
Essas médias são todas iguais. 
 
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey-Kramer 
• Conclusões: 
– Os Paraquedas produzidos com material dos Fornecedores 
2,3 e 4 apresentam resistência idêntica; 
– Os paraquedas produzidos com material do fornecedor 1 
apresenta uma resistência menor que os outros a um NS = 
5%. 
 
Teste F ANOVA de fator Único 
• Utilizando o Excel: 
Modelo Fatorial: Análise de Variância de 
Dois Fatores 
• Voltemos aos problemas da Perfect Parachutes: 
– Já tratamos o primeiro problema que consistiu em determinar 
se existia diferenças na resistência média dos paraquedas 
produzidos a partir de insumos vindos de fornecedores 
diferentes. Nossa resposta: há diferenças; 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 34 
Modelo Fatorial: Análise de Variância de 
Dois Fatores 
– A próxima questão é: Se utilizarmos dois tipos de teares para 
produzir paraquedas (Jetta e Turk) isso provocaria alguma 
diferença entre as médias de resistência a tensão dos 
produtos finais? 
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Modelo Fatorial: Análise de Variância de 
Dois Fatores 
• Consideremos os seguintes dados: 
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Modelo Fatorial: Análise de Variância de 
Dois Fatores 
• Notes: 
– Neste novo problema acrescentamos um novo fator (tipo de 
tear) com dois níveis adicionais: jetta e turk; 
– Nesse novo modelo temos combinações de níveis de fatores 
distintos; 
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Modelo Fatorial: Análise de Variância de 
Dois Fatores 
• Algumas definições 
– r : Número de Níveis do Fator A; 
– c : Número de Níveis do Fator B; 
– s : Número de valores (réplicas) para cada uma das combinações 
de níveis dos fatores A e B; 
– n : Número de Valores em todo o experimento (n = r × c × s) 
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Modelo Fatorial: Análise de Variância de 
Dois Fatores 
• Xijk- Valor da k-ésima observação para o nível i do fator 
A e j do fator B; 
• Grande Média: 
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n
X
X
r
i
c
j
s
k
ijk
  

1 1 1
Modelo Fatorial: Análise de Variância de 
Dois Fatores 
• Média Aritmética do i-ésimo nível do Fator A: 
 
• Média Aritmética do i-ésimo nível do Fator B: 
 
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sc
X
X
c
j
s
k
ijk
i



 

1 1
sr
X
X
r
i
s
k
ijk
j



 

1 1
Modelo Fatorial: Análise de Variância de 
Dois Fatores 
• Média Aritmética do da célula ij, a combinação entre o 
i-ésimo nível do fator A e o j-ésimo nível do fator B: 
 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 41 
s
X
X
s
k
ijk
ij


 
1
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• Dizemos que existe uma Interação entre os fatores A e B 
se o efeito do fator A for dependente do nível do fator 
B; 
• Assim devemos decompor a variação total dos dados 
nos seguintes componentes: 
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Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• Decomposição da Variação 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 43 
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• Variação total em ANOVA de dois fatores: 
 
• Variação do Fator A 
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 
  

c
i
r
j
s
k
ijk XXSQT
1 1 1
2
   

 
r
i
i XXscSQA
1
2
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• Variação do Fator B: 
 
• Variação decorrente da Interação 
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 
 
 
r
i
c
j
jiij XXXXsSQAB
1 1
2
   

 
c
j
j XXsrSQB
1
2
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• Erro Aleatório em ANOVA de dois fatores: 
 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 46 
 
  

c
i
r
j
s
k
ijijk XXSQR
1 1 1
2
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• Médias dos Quadrado: A soma dos quadrados divididos 
pelo seus graus de liberdade: 
 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 47 
1

r
SQA
MQA
1

c
SQB
MQB
  11 

cr
SQAB
MQAB
 1

src
SQR
MQR
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• Tabela da ANOVA de Dois Fatores 
 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 48 
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• Três Testes Possíveis 
– Nenhuma Diferença Decorrente do Fator A: 
 
– Estatística de Teste e Região Crítica: 
 
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

 


iguais são as todasNem :
:
1
210
i
r
H
H

 
MQR
MQA
FESTAT    



 FFP
FFRC
srcr
ESTAT
)1(,1
:
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
– Nenhuma Diferença Decorrente do Fator B: 
 
 
– Estatística de Teste e Região Crítica: 
 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 50 


 


iguais são as todasNem :
:
1
210
j
cH
H

 
MQR
MQB
FESTAT    



 FFP
FFRC
srcc
ESTAT
)1(,1
:
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
– Efeito da Interação: 
 
 
– Estatística de Teste e Região Crítica: 
 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 51 



zero a igual é não e entre interaçãoA :
zero a igual é e entre interaçãoA :
1
0
BAH
BAH
    



 FFP
FFRC
srccr
ESTAT
)1(,11
:
MQR
MQAB
FESTAT 
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• Retornando aos nossos dados: 
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Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• ANOVA: 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 53 
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
• Análise: 
– Iniciamos testando se existe o efeito de Interação entre os 
fatores A e B: 
 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 54 
   
922,2
05,0
922,2:
05,0
05,0)15(42,1412




F
FFP
FRC ESTAT
0111,0
6123,8
0956,0
ESTATF
Conclusão: Não há evidência de que exista interação entre os fatores A e B 
(não podemos negar H0) com NS de 5% 
 
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
– Efeito de Fator A 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 55 
8096,0
6123,8
9722,6
ESTATF
 
171,4
05,0
171,4:
05,0
05,0)15(42,12




F
FFP
FRC ESTAT
Conclusão: Não há evidência de que exista diferença na resistência dos 
paraquedas por variação do tipo de tear (não podemos negar H0) com NS de 
5% 
 
Testando o Efeito dos Fatores e Efeitos 
da Interação 
– Efeito de Fator B 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 56 
1999,5
6123,8
7829,44
ESTATF
 
922,2
05,0
922,2:
05,0
05,0)15(42,14




F
FFP
FRC ESTAT
Conclusão: Existe evidência de que as médias por variação dos níveis do fator 
B (rejeitamos H0) com NS de 5% 
 
Múltiplas Comparações: O procedimento 
de Tukey 
• Uma vez estabelecido que há diferenças entre as médias 
devidas a variações no fator B, podemos determinar 
quais desses fatores de fato divergem utilizando o 
procedimento de Tukey. 
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 57 
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey 
• O procedimento a seguir é o mesmo do caso de apenas 
um fator modifica-se apenas o IC: 
cs
MQR
QIC 
rs
MQR
QIC 
Gl do Numerador: r 
Gl do Denominador: rc(s-1) 
Gl do Numerador: c 
Gl do Denominador: rc(s-1) 
Fator A Fator B 
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey 
• Para o nosso caso há apenas diferenças significativas 
referentes ao fator B: 
 
56,3
10
6123,8
84,3 
rs
MQR
QIC 
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey 
• Assim para cada par de médias: 
 
56,358,183,2041,22
56,307,383,2090,23
56,340,141,2290,23
56,386,183,2097,18
56,344,341,2297,18
56,393,490,2397,18
43
42
32
41
31
21






XX
XX
XX
XX
XX
XX
Múltiplas Comparações: Procedimento de 
Tukey 
• Conclusões: 
– A diferença absoluta entre 1 e 2 ultrapassou o IC. Existe portanto 
uma diferença significativa entre essas duas médias (a média 1 é 
significativamente menor que a média 2); 
– As diferenças entre os demais pares não ultrapassou o limite, o 
que significa que as diferenças podem ser atribuídas ao acaso. 
Essas médias são todas iguais. 
 
Visualizando os Efeitos da Interação 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Uma empresa de âmbito nacional especializada em 
preparar alunos em exame para ingresso em faculdades 
norte americanas, tais como SAT, ACT e o LSAT, 
tinham como objetivo estratégico aperfeiçoar o seu 
Curso Preparatório para o ACT. Dois fatores de 
interesse para a empresa são: a duração do curso (um 
 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
 período condensado em 10 dias ou um período regular de 
30 dias) e o tipo de curso (aprendizado tradicional em sala 
de aula ou ensino à distância). A empresa coletou dados 
designando aleatoriamente 10 clientes para cada uma das 
quatro células que representam uma combinação entre 
duração de curso e tipo de curso. Os resultados estão 
 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
 organizados na tabela a seguir. Quais os efeitos do tipo 
de curso e da duração do mesmo nos resultados do 
ACT? 
 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
 
Saída do Excel para o 
problema 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
 
Note que a variação do 
fator tipo alterou o 
resultado da variação 
do fator duração. 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
Confirma-se a rejeição da hipótese de que não há interação entre os 
dois fatores. 
Estatística F Limite F 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Esse resultado complica a análise dos efeitos principais; 
• Sendo assim o procedimento deve ser considerar o 
problema de experimento com um único fator 
composto: Tipo de Curso; 
 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Esse fator é uma combinação dos dois originais e tem os 
seguintes níveis: 
– Grupo 1: Tradicional Condensado; 
– Grupo 2: Tradicional Regular 
– Grupo 3: Virtual Condensado; 
– Grupo 4:Virtual Regular; 
 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Dados do Problema: 
 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Saída do Excel: 
 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Conclusão: 
– Uma vez que a estatística F (8,2239) é maior que o limite da 
distribuição F (2,8663), com 3 gl no numerador e 36 gl no 
denominador, rejeitamos a hipótese nula (de que não há 
diferença entre as médias) com NS de 5%; 
 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Processo de Comparação de Tukey-Kramer: 
 
5,4
10
1
10
1
2
1083,14
79,3
11
2
















kj nn
MQD
QIC 
79,336440 e 4  Qcnc
10 jk nn
1083,14MQD
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Processo de Comparação de Tukey-Kramer: 






5,470,53,210,27
5,460,63,219,27
5,490,00,279,27
5,460,03,219,21
5,410,50,279,21
5,400,69,279,21
43
42
32
41
31
21
XX
XX
XX
XX
XX
XX
Diferença Significativa 
Diferença Significativa 
Diferença Significativa 
Diferença Significativa 
Nenhuma Diferença Significativa 
Nenhuma Diferença Significativa 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Conclusão: 
– Com um NS de 5% chegamos as seguintes conclusões: 
• O Grupo 1 tem resultado pior que o Grupo 2; 
• O Grupo 1 tem Resultado pior que o Grupo 3; 
• O Grupo 1 tem o mesmo resultado que o Grupo 4; 
• O Grupo 2 tem o mesmo resultado que o Grupo 3 
 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Conclusão: 
– Com um NS de 5% chegamos as seguintes conclusões: 
• O Grupo 2 tem resultado melhor que o Grupo 4; 
• O Grupo 3 tem Resultado melhor que o Grupo 4; 
• Os melhore resultados globais são do grupo 2 e 3 
Problemas de Dois Fatores com Interação 
• Assim a empresa deve fazer curso regulares em 
ambiente tradicional; 
• A empresa deve fazer cursos condensados em ambientes 
virtuais;