Exercícios Resolvidos Área entre curvas

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Exerc´ıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Exerc´ıcios Resolvidos: A´rea Entre Curvas
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Como faremos?
A´ integral definida
∫ b
a
f(x)dx nada mais e´ do que a a´rea abaixo da curva f(x) limitada pelo
eixo x. Esse resultado e´ a ferramenta para calcular a a´rea entre duas curvas.
Exemplo 1: Calcule a a´rea entre as curvas y = x2 e y = 4x.
Soluc¸a˜o:
Na˜o e´ exatamente necessa´rio mas, fazer um gra´fico das duas func¸o˜es mas, tal pra´tica ajuda
muito neste tipo de problema. Abaixo temos o gra´fico das duas func¸o˜es que se interceptam no
ponto (0, 0) e (4, 16).
(0, 0)
(4, 16)
Usando a integrac¸a˜o em X:
A a´rea limitada pela curva y = 4x e o eixo x no intervalo [0, 4] e´ o resultado da integral A′:
A′ =
∫ 4
0
(4x)dx
(0, 0)
(4, 16)
1
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Ja´ a´ a´rea limitada pela curva y = x2 e o eixo x no mesmo intervalo e´ o resultado da integral
A′′
A′′ =
∫ 4
0
(x2)dx
(0, 0)
(4, 16)
Assim, a´ a´rea entre as curvas (AT ) sera´ a primeira integral menos a segunda (A
′ −A′′).
(0, 0)
(4, 16)
AT =
∫ 4
0
(4x)dx−
∫ 4
0
(
x2
)
dx
AT =
∫ 4
0
(
4x− x2) dx = 32
3
ua (unidade de a´rea).
Usando a integrac¸a˜o em Y:
A integrac¸a˜o em y e´ feita em relac¸a˜o ao eixo y. Para aplica-la antes temos de determinar as
func¸o˜es inversas das curvas.
y = x2 ⇒ x = √y
y = 4x⇒ x = y
4
Na verdade, y = x2 implicaria em x = ±√y mas, como estamos trabalhando com curvas
apenas no primeiro quadrante usa-se o resultado positivo.
A a´rea limitada pela curva x =
√
y e o eixo y e´ o resultado da integral A1
2
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(0, 0)
(4, 16)
A1 =
∫ 16
0
(
√
y)dy
Ja´ a a´rea limitada pela curva x =
y
4
e representada pela integral A2
(0, 0)
(4, 16)
A2 =
∫ 16
0
(y
4
)
dy
Assim, a a´rea entre as curvas sera´ o resultado da primeira integral menos a segunda (A1−A2).
(0, 0)
(4, 16)
AT =
∫ 16
0
(
√
y)dy −
∫ 16
0
(y
4
)
dy
AT =
∫ 16
0
(√
y − y
4
)
dy =
32
3
ua
3
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Note que neste segundo caso (integrac¸a˜o em y) usamos limites de integrac¸a˜o diferentes do
primeiro caso (integrac¸a˜o em x). Na integrac¸a˜o em x usa-se a abscisa dos pontos de intersec¸a˜o,
enquanto na integrac¸a˜o em y usa-se as ordenadas.
Exemplo 2: Calcule a a´rea limitadas pelas curvas y = 3
√
x e y =
6
x
− 3.
Soluc¸a˜o:
O gra´fico das func¸o˜es e´ o seguinte:
1
3
A1 A2
Usando a integrac¸a˜o em X:
Note que a regia˜o entre as curvas ora e´ limitada superiormente por y = 3
√
x ora por y =
6
x
−3.
Para resolver este problema dividimos a a´rea que desejamos calcular em duas (A1 e A2),
calculamos cada uma individualmente e depois fazemos a soma dos resultados.
Note que a a´rea A1 e´ limitada apenas por y = 3
√
x enta˜o, tera´ a medida da a´rea igual a:
A1 =
∫ 1
0
(3
√
x)dx
= 2 ua
Ja´ a a´rea A2 e´ limitada apenas pela curva y =
6
x
− 3 enta˜o, tera´ a´rea igual a:
A2 =
∫ 2
1
(
6
x
− 3
)
dx
= 6ln|2| − 3
Finalmente fazendo AT = A1 + A2 chegamos ao resultado final AT = 6ln|2| − 1.
4
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Usando a integrac¸a˜o em Y:
Primeiro encontramos as func¸o˜es inversas das curvas dadas.
y = 3
√
x⇒ x = y
2
9
y =
6
x
− 3⇒ x = 6
y + 3
Agora calculamos a a´rea limitada pela curva x =
6
y + 3
e pelo eixo y.
1
3
Chamaremos esse resultado de A′.
A′ =
∫ 3
0
(
6
y + 3
)
dy
Em seguida calculamos a a´rea limitada pela curva x =
y2
9
e o eixo y.
1
3
A1 A2
Chamaremos esse resultado de A′′.
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A′′ =
∫ 3
0
(
y2
9
)
dy
Agora deve ser poss´ıvel perceber que a a´rea entre as curvas e´ a primeira integral menos a segunda.
1
3
A1 A2
A =
∫ 3
0
(
6
y + 3
− y
2
9
)
dy = 6ln|y + 3|
∣∣∣∣3
0
− y
3
27
∣∣∣∣3
0
= 6ln|2| − 1
Exemplo 3: Ache a´ a´rea limitada pelas curvas y = −x e y = √2− x.
Soluc¸a˜o:
O gra´fico das curvas e´ colocado a seguir.
2
-2 (2, 0)
Integrando em X:
Primeiro encontramos a integral que nos fornecera´ a a´rea limitada pela curva y =
√
2− x e
o eixo x.
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2
-2
2
-2 (2, 0)
A1 =
∫ 2
−2
(
√
2− x)dx
e em seguida a integral que nos dara´ a a´rea limitada por y = −x e o eixo x.
2
-2
2
-2 (2, 0)
A2 =
∫ 0
−2
(−x)dx
Assim, a a´rea entre as duas curvas sera´ a primeira integral menos a segunda (A1 −A2).
2
-2
2
-2 (2,0)
AT = A1 −A2
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AT =
∫ 2
−2
(
√
2− x)dx−
∫ 0
−2
(−x)dx
AT =
∫ 2
−2
(
√
2− x)dx +
∫ 0
−2
x dx
= −10
3
Como a´rea e´ uma medida positiva o que nos interessa e´ o mo´dulo desse resultado. Ou seja,
10
3
ua
Integrando em Y:
Neste caso na˜o ha´ nenhuma vantagem de usar a integrac¸a˜o em y, mas podemos realiza-la
deslocando as func¸o˜es 2 unidades para direita.
Nesse caso y = −x se torna y = −(x − 2) ou y = 2 − x. E a curva y = √2− x se torna
y =
√
2− (x− 2) ou y = √4− x.
Os gra´ficos das func¸o˜es deslocadas sera´:
(0, 2)
(4, 0)
Note que as curvas ainda teˆm as mesmas formas. Na verdade, apenas as “puxamos” para
direita.
Agora vamos determinar as inversas das curvas dadas.
y = 2− x⇒ x = 2− y
y =
√
4− x⇒ x = 4− y2
A integral que fornece a a´rea da curva limitada por x = 4− y2 sera´:
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(0, 2)
(4, 0)
A1 =
∫ 2
0
(
4− y2) dy
Ja´ a integral que nos fornece a a´rea limitada pela curva x = 2− y e o eixo y sera´.
(4, 0)
(0, 2)
A2 =
∫ 2
0
(2− y)dy
A a´rea entre as curva sera´ enta˜o a primeira menos a segunda integral (A1−A2).
(4, 0)
(0, 2)
AT =
∫ 2
0
(
4− y2) dy − ∫ 2
0
(2− y)dy
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AT =
∫ 2
0
(
2 + y − y2) dy
AT =
(
2y
y2
2
− y
3
3
) ∣∣∣∣2
0
AT =
10
3
ua
Comenta´rio: Nesse problema o leitor pode se perguntar, “porqueˆ tivemos de mover as
func¸o˜es?”. Se tive´ssemos a situac¸a˜o inicial e tenta´ssemos aplicar a integrac¸a˜o em y. A regia˜o
limitada pela curva x = 2− y2 (que e´ a inversa de y = √2− x) seria o resultado da integral∫ 2
0
(
2− y2) dy
O problema e´ que essa integral na˜o e´ a medida que desejamos, mas da a´rea em vermelho
abaixo:
2
-2 (2, 0)
E´ necessa´rio prestar muita atenc¸a˜o a esse tipo de situac¸a˜o. E mais uma vez e´ feito um incentivo
ao aluno que esboce o gra´fico das func¸o˜es. Caso contra´rio, erros provocados por situac¸o˜es como
esta podem vir a ser cometidos.
Exemplo 4: Encontre a a´rea entre as curvas y = x3 − 6x2 + 8x e y = x2 − 4x.
Soluc¸a˜o:
10
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(0,0)
(2,0)
(4,0)
(3,0)
Integrando em X:
A a´rea situada no intervalo [0, 3] da abscisa e´ igual a:
A′ =
∫ 3
0
[
(x3 − 6x2 + 8x)− (x2 − 4x)] dx
Ja´ no intervalo [3, 4] e´ igual a´:
A′′ =
∫ 4
3
[
(x2 − 4x)− (x3 − 6x2 + 8x)] dx
sendo assim:
AT = A
′ + A′′
AT =
∫ 3
0
[
(x3 − 6x2 + 8x)− (x2 − 4x)] dx + ∫ 4
3
[
(x2 − 4x)− (x3 − 6x2 + 8x)] dx
AT =
∫ 3
0
(x3 − 7x2 + 12x)dx +
∫ 4
3
(−x3 + 7x2 − 12x)dx
A ' 11.25 + 0.583
A ' 11.833 ua.
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Integrandoem Y:
Neste caso ate´ seria poss´ıvel realizar a integrac¸a˜o na varia´vel y, contudo ter´ıamos um esforc¸o
realmente nota´vel. Em alguns casos (como este por exemplo), a integrac¸a˜o em y e´ definitivamente
mais trabalhosa e em outras mais pra´tica. Com a pra´tica e´ poss´ıvel determinar qual das duas
utilizar.
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
diegoalvez@pop.com.br para que possa ser feito a devida correc¸a˜o.
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matema´tica acesse:
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