Aula 1 A Física e as Medições

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A F´ısica e as Medic¸o˜es - Aula 1
Prof. Giovanni Cordeiro Barroso
1 de marc¸o de 2018
Padro˜es de Comprimento, Massa e Tempo; Materiais e construc¸a˜o de mo-
delos; Ana´lise dimensional; Conversa˜o de unidades; Estimac¸o˜es e ordem de
magnitude; Algarismos significativos.
1 Padro˜es de Comprimento, Massa e Tempo
Como todas as outras cieˆncias, a F´ısica e´ baseada em observac¸o˜es experimentais e me-
didas quantitativas.
Para descrever fenoˆmenos naturais e´ preciso que se fac¸a a medida de va´rios aspectos
da natureza. Cada medida e´ associada a uma quantidade f´ısica, tal como o comprimento
de um objeto. As leis da f´ısica sa˜o expressas por meio de relac¸o˜es matema´ticas das quan-
tidades f´ısicas. Na Mecaˆnica, as treˆs quantidades fundamentais sa˜o: Comprimento,
Massa e Tempo. Todas as outras quantidades, em mecaˆnica, podem ser expressas em
func¸a˜o destas treˆs.
Em 1960, um comiteˆ internacional estabeleceu um conjunto de padro˜es para as quan-
tidades fundamentais da cieˆncia. Este comiteˆ e´ denomindado de Syste`me International -
SI e suas unidades fundamentais de comprimento, massa e tempo sa˜o, repectivamente, o
metro, o kilograma e o segundo. Outros padro˜es estabelecidos pelo SI sa˜o para tem-
peratura (kelvin), corrente ele´trica (ampere), intensidade luminosa (candela)
e a quantidade de uma substaˆncia (mol).
1.1 Comprimento
A quantidade comprimento pode ser identificada como a distaˆncia entre dois pontos
no espac¸o. Como dito anteriormente, a medida padra˜o de comprimento no SI e´ o metro
(m).
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Em 1799 a Franc¸a adotou o metro como sua medida padra˜o de comprimento. O
mesmo foi definido como sendo um de´cimo de milione´simo da distaˆncia entre o Polo
Norte e o Equador ao longo de uma linha longitudinal que passa por Paris. Em 1960,
o tamanho do metro foi redefinido como a distaˆncia entre duas linhas de uma barra de
platina-ir´ıdio armazenada sob condic¸o˜es controladas na Franc¸a. Entretanto, as novas
necessidade da cieˆncia e da tecnologia exigiam medidas mais precisas do que a distaˆncia
entre duas linhas em uma barra poderia fornecer, assim, em 1983 o metro foi mais uma
vez redefinido como a distaˆncia percorrida pela luz no va´cuo no intervalo de tempo de
1/229.792.458 segundos. Essa definic¸a˜o estabelece que a velocidade da luz no va´cuo e´
precisamente 299.792.458 m/s. Esta definic¸a˜o do metro e´ va´lida em todo o Universo,
dado que a velocidade da luz no va´cuo e´ a mesma em qualquer parte do mesmo.
1.2 Massa
O kilograma (unidade fundamental de massa no SI) e´ definido como a massa de uma liga
cil´ındrica espec´ıfica de platina-ir´ıdio, mantida no Bureau Internacional de Medidas, em
Se`vres - Franc¸a. Esse padra˜o de massa foi estabelecido em 1887 e na˜o sofreu modificac¸o˜es
ate´ hoje porque a platina-ir´ıdio e´ uma liga esta´vel.
1.3 Tempo
Antes de 1967, o padra˜o de tempo foi definido em func¸a˜o do dia solar me´dio (um dia
solar e´ o intervalo de tempo entre as sucessivas aparic¸o˜es do Sol em um determinado
ponto do espac¸o a cada dia). A unidade fundamental de um segundo (s) foi definida
como ( 160)( 160)( 124) de um dia solar me´dio. Esta definic¸a˜o e´ baseada na rotac¸a˜o do planeta
Terra, portanto, na˜o e´ universal.
Em 1967, o segundo foi redefinido com base em um dispositivo conhecido como relo´gio
atoˆmico, o qual mede as vibrac¸o˜es dos a´tomos de ce´sio. Assim, um segundo e´ agora
definido como sendo 9.192.631.770 vezes o per´ıodo de vibrac¸a˜o da radiac¸a˜o do a´tomo de
ce´sio-133.
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2 Materiais, construc¸a˜o de modelos e ana´lise
dimensional
2.1 Materiais e Construc¸a˜o de Modelos
Se os cientistas e engenheiros na˜o podem interagir diretamente com algum fenoˆmeno, eles
‚imaginamƒ um modelo. Por exemplo, na˜o se pode interagir diretamente com a´tomos
porque eles sa˜o muito pequenos. Assim, pensou-se num modelo de a´tomo como sendo
um sistema consistindo de um nu´cleo e um ou mais ele´trons em movimento ao redor do
mesmo. Uma vez identificados os componentes f´ısicos do modelo, predic¸o˜es sa˜o feitas
sobre o comportamento dos mesmos baseadas nas interac¸o˜es entre os componentes do
sistema, ou na interac¸a˜o entre o sistema e o meio ambiente em que o mesmo se encontra.
2.2 Ana´lise Dimensional
Em f´ısica, a palavra dimensa˜o expressa a natureza f´ısica de uma certa quantidade. A
distaˆncia entre dois pontos, por exemplo, pode ser medida em metros, o que expressa a
dimensa˜o do comprimento.
Os s´ımbolos mais usados para especificar as dimenso˜es de comprimento, massa e tempo
sa˜o, respectivamente, L (do ingleˆs length), M e T. Normalmente, usa-se tambe´m col-
chetes [ ] para as dimenso˜es de uma quantidade f´ısica. Por exemplo, o s´ımbolo usado
aqui para a grandeza velocidade e´ v. Sendo assim, a notac¸a˜o para as dimenso˜es de v sa˜o[v] = L/T . Outro exemplo, as dimenso˜es de uma a´rea A sa˜o [A] = L2. As dimenso˜es das
quantidades f´ısicas sera˜o descritas a` medida que as mesmas forem sendo apresentadas.
Em muitas situac¸o˜es e´ necessa´rio verificar se uma determinada equac¸a˜o que envolve
algumas quantidades f´ısicas possui as dimenso˜es corretas. Para tanto, e´ preciso se fa-
zer uma ana´lise dimensional. Isso e´ feito, tratando as dimenso˜es como quantidades
alge´bricas. Por exemplo, as quantidades podem ser somadas e subtra´ıdas se elas possuem
as mesmas dimenso˜es. Qualquer relac¸a˜o so´ estara´ correta se as dimenso˜es em ambos os
lados da equac¸a˜o sa˜o as mesmas.
————–
Exemplo 1. Suponha que voceˆ esta´ interessado em descrever uma equac¸a˜o para a
posic¸a˜o x de um carro em um determinado instante de tempo t, sabendo que o carro
estava inicialmente em repouso na posic¸a˜o x0 = 0 e que o mesmo se move com uma
acelerac¸a˜o constante a.
R – A expressa˜o correta para esta situac¸a˜o e´:
3
x = 1
2
at2
A quantidade x, no lado esquerdo a equac¸a˜o, possui dimensa˜o de comprimento,
assim, para que a equac¸a˜o esteja dimensionalmente correta, e´ necessa´rio que a
quantidade do lado direito da equac¸a˜o tambe´m tenha dimensa˜o de comprimento.
Como as respectivas dimenso˜es da acelerac¸a˜o [a] e do tempo [t] sa˜o L/T 2 e T ,
enta˜o, a equac¸a˜o de dimenso˜es e´ dada por:
L = L
T 2
T 2 ⇒ L = L
As dimenso˜es de tempo se cancelam fazendo com que reste apenas a dimensa˜o de
comprimento tanto do lado esquerdo como do lado direito da equac¸a˜o. Portanto,
esta equac¸a˜o esta´ dimensionalmente correta.
————–
2.3 Estimac¸a˜o e ca´lculo da ordem de magnitude
Suponha que algue´m deseja estimar a distaˆncia entre o Sol e a Terra. Na˜o e´ necessa´rio
que a pessoa saiba a resposta exata, visto que e´ uma estimac¸a˜o, a qual pode ser expressa
em notac¸a˜o cient´ıfica. A estimac¸a˜o pode ser mais aproximada quando ela e´ expressa
como uma ordem de magnitude. A ordem de magnitude e´ uma poteˆncia de dez que
e´ determinada da seguinte forma:
1. Expresse o nu´mero em notac¸a˜o cient´ıfica cujo multiplicador da poteˆncia de dez
deve ser um valor entre 1 e 10.
2. Se o nu´mero multiplicador e´ menor que 3,162 (a raiz quadrada de dez), a ordem
de magnitude do nu´mero e´ a poteˆncia de dez em notac¸a˜o cient´ıfica. Se o nu´mero
multiplicador e´ maior que 3,162, a ordem de magnitude e´ uma poteˆncia maior que
a poteˆncia de dez em notac¸a˜o cient´ıfica.
Usa-se o s´ımbolo ∼ que significa e´ da ordem de magnitude de. Usando o procedimento
acima pode-se verificar as ordens de magnitude dos seguintes comprimentos:
ˆ 0,0057 m = 5,7 × 10−3 ∼ 10−2 m;
ˆ 0,0012 m = 1,2 × 10−3 ∼ 10−3 m;
ˆ 840 m = 8,4 × 102 ∼ 103 m.
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2.4 Algarismos significativos
Quando quantidades sa˜o medidas, os valores medidos sa˜o conhecidos somente dentro
dos limites da incerteza experimental. O valor desta incerteza pode depender de va´rios
fatores, tais como da qualidade dos aparelhos de medida, da experieˆncia do usua´rio e
do nu´mero de medidas realizadas. O nu´mero de algarismos significativosem uma
medida pode ser usado para expressar algo sobre a incerteza. O nu´mero de algarismos
significativos esta´ relacionado ao nu´mero de d´ıgitos nume´ricos usado para expressar a
medida.
Como exemplo de algarismos significativos, suponha que voceˆ deseja medir o raio de
um pequeno disco de metal usando uma re´gua. Suponha ainda que a precisa˜o ma´xima
que se pode alcanc¸ar com esta re´gua e´ de ±0,1 cm. Devido a esta incerteza, se a medida
encontrada do raio foi de 5,0 cm, pode-se dizer que este raio mede entre 5,1 cm e 4,9 cm.
Diz-se, enta˜o, que este valor medido (5,0 cm) possui dois algarismos significativos. Note
que os algarismos significativos incluem o primeiro d´ıgito estimado. Por isso pode-se
dizer que a medida do raio e´ de (5 ± 0,1) cm.
Zeros podem representar, ou na˜o representar, algarismos significativos. Os zeros usa-
dos para posicionar o ponto decimal, tais como em 0,07 e 0,0043 sa˜o na˜o significativos,
por isso existe somente um algarismo significativo no primeiro nu´mero e dois no segundo.
Quando os zeros veˆm apo´s outros d´ıgitos, pode haver a possibilidade de uma ma´ inter-
pretac¸a˜o. Como exemplo suponha que a massa de um objeto e´ de 1600 g. Esse valor pode
ser amb´ıguo, visto que os dois u´ltimos zeros podem estar sendo usados para localizar o
ponto decimal ou podem representar algarismos significativos na medida. Para eliminar
esta ambiguidade, usa-se normalmente a notac¸a˜o cient´ıfica para indicar o nu´mero de
algarismos significativos. Expressando o valor da massa como sendo 1,6 × 103 g signi-
fica que existem dois algarismos significativos. Se o valor e´ expresso como 1,60 × 103 g,
isso quer dizer que existem treˆs algarismos significativos e assim por diante. A mesma
regra se aplica a nu´meros menores que a unidade, ou seja, o nu´mero 1,6 × 10−4 possui
dois algarismos significativos (0,00016) e o nu´mero 1,60 × 10−4 possui treˆs algarismos
significativos (0,000160).
Na soluc¸a˜o de problemas, deve-se ter certeza de que o resultado tenha o nu´mero correto
de algarismos significativos. Uma boa regra para determinar o nu´mero de algarismos
significativos do resultado de uma divisa˜o ou de uma multiplicac¸a˜o e´ a seguinte:
Definic¸a˜o 1. Quando se multiplicam va´rias quantidades, o nu´mero de algarismos sig-
nificativos da resposta final e´ igual ao nu´mero de algarismos significativos da quantidade
que tiver o menor nu´mero deles. A mesma regra vale tambe´m para a divisa˜o.
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Exemplo 2. Aplique esta regra para encontrar a a´rea do disco de metal usado como
exemplo acima, lembrando que o raio medido foi de 5,0 cm.
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R – Usando a equac¸a˜o para encontrar a a´rea de um c´ırculo, tem-se:
A = pir2 = pi(5,0 cm)2 = 0,79 × 102 cm2
Fazendo esta conta na calculadora, encontra-se o valor 78,5398163 cm2. Nesse
caso, e´ tentador dar a resposta como igual a 78,5 cm2. Este resultado na˜o se
justifica porque ele possui treˆs algarismos significativos, enquanto o raio possui so´
dois. Assim, o resultado deve possuir somente dois algarismos significativos, como
apresentado acima (observe que foi feito o arredondamento do nu´mero).
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Para adic¸a˜o e subtrac¸a˜o, considera-se a quantidade de algarismos decimais para de-
terminar quantos algarismos significativos deve possuir a resposta, assim:
Definic¸a˜o 2. Quando nu´meros sa˜o adicionados ou subtra´ıdos, o nu´mero de casas deci-
mais do resultado deve ser igual ao da parcela de menor nu´mero de casas decimais
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Exemplo 3. Considere a seguinte soma:
32,1 + 6,374 = 38,5
Note que o valor encontrado na calculadora e´ 38,474, mas como 32,1 possui somente
uma casa decimal, o resultado tem que ser apresentado tambe´m com somente uma casa
decimal (observe o arredondamento).
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A regra para adic¸a˜o e subtrac¸a˜o frequentemente leva a resultados que possuem um
nu´mero de algarismos significativos diferente do nu´mero de algarismos significativos das
quantidades iniciais. Vejamos um exemplo:
Exemplo 4. Considere as operac¸o˜es a seguir que satisfazem a` regra:
3,0002 + 0,0007 = 3,0009
1,004 − 0,995 = 0,009
No primeiro caso, o resultado possui 5 algarismos significativos, embora um dos termos
da soma (0,0007) so´ possua um algarismo significativo. No segundo caso, o resultado
possui apenas um algarismo significativo, embora os termos da subtrac¸a˜o possuam, res-
pectivamente, quatro e treˆs algarismos significativos.
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Se o nu´mero de algarismos significativos do resultado de um ca´lculo deve ser reduzido,
usa-se como regra geral o arredondamento e o truncamento. Se o u´ltimo d´ıgito que
foi retirado for maior ou igual a cinco (5), enta˜o, soma-se um ao u´ltimo d´ıgito restante
(arredondamento). Caso contra´rio, se o u´ltimo d´ıgito retirado for menor que cinco (5),
enta˜o o u´ltimo d´ıgito restante permanece como esta´ (truncamento). Por exemplo, 3,468
fica igual a 3,47 e 3,473 fica igual a 3,47.
Exemplo 5. Qual a a´rea de uma sala que possui 5,34 m de largura e 11,78 m de
comprimento?
R – Multiplicando o comprimento pela largura tem-se:
5,34 × 11,78 = 62,9052
Pela regra, o resultado de uma multiplicac¸a˜o deve possuir o mesmo nu´mero de
algarismos significativos da quantidade com menor nu´mero de algarismos signifi-
cativos, assim, o nu´mero de algarismos significativos do resultado deve ser igual
a 3, que corresponde ao nu´mero de algarismos significativos da quantidade 5,34,
desta forma, tem-se que o resultado e´:
5,34 × 11,78 = 62,9
Na Tabela 1 sa˜o apresentados alguns prefixos e poteˆncias de dez mais usuais.
Poteˆncia Prefixo Abreviac¸a˜o Poteˆncia Prefixo Abreviac¸a˜o
10−15 femto f 103 kilo k
10−12 pico p 106 mega M
10−9 nano n 109 giga G
10−6 micro µ 1012 tera T
10−3 mili m 1015 peta P
10−2 centi c
10−1 deci d
Tabela 1: Tabela das poteˆncias de dez e suas respectivas abreviac¸o˜es
3 Lista de Exerc´ıcios
1. Um modelo de ferro fundido de um determinado carro foi feito com 9,35 kg de
ferro. Para refazer o mesmo modelo com ouro, qual a massa de ouro necessa´ria?
(ρouro = 19,3 × 103 kg/m3 —— ρferro = 7,86 × 103 kg/m3)
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2. Duas esferas sa˜o constru´ıdas com o mesmo material, ou seja, uma pedra com
densidade uniforme. Uma delas possui raio igual a 4,50 cm. A massa da outra e´
cinco vezes maior. Qual o seu raio?
3. Quais das seguintes equac¸o˜es sa˜o dimensionalmente corretas?
a) vf = vi + ax;
b) y = 2(m) cos(kx), em que k = 2 m−1
4. A lei da gravitac¸a˜o universal de Newton e´ expressa como:
F = GM m
r2
em que F e´ a magnitude da forc¸a gravitacional exercida por um objeto em outro.
M e m sa˜o as massas dos objetos e r e´ a distaˆncia entre eles. A forc¸a possui as
seguintes unidades no SI: kg.m/s2. Quais sa˜o as unidades no SI da constante de
proporcionalidade G?
5. A energia cine´tica K possui dimenso˜es kg.m2/s2. K pode ser escrita em func¸a˜o
do momento p e da massa m, tal que K = p2/2m.
a) Determine as unidades do momento p usando ana´lise dimensional;
b) A unidade de forc¸a e´ o newton (N), em que 1 N = 1 kg.m/s2. Quais as
unidades do momento p em func¸a˜o de N e outra unidade fundamental do SI?
6. Um pedac¸o so´lido de chumbo possui massa igual a 23,94 g e um volume de
2,10 cm3. A partir destes dados, calcule a densidade do chumbo no SI (kilograma
por metro cu´bico).
7. Um gala˜o de tinta (cujo volume e´ 3,78× 10−3 m3) cobre uma parede de a´rea igual
a 25,0 m2. Qual e´ a espessura da tinta fresca na parede?
8. Encontre a ordem de magnitude da quantidade de bolas de ping-pong que caberia
em uma sala de 48 m3. Suponha que o diaˆmetro da bola seja de aproximadamente
4,0 cm.
9. Um pneu de carro possui uma vida u´til de pelo menos 25.000 km. Supondo o
diaˆmetro de um pneu de aproximadamente 60 cm, estime (em ordem de magnitude)
quantas revoluc¸o˜es o mesmo deve realizar durante sua vida u´til.
10. Obedecendo ao nu´mero de algarismos significativos, encontre quantos segundos
possui um ano tropicalt´ıpico, sabendo que o mesmo possui 365,242199 dias.
(O ano tropical e´ o intervalo de tempo de um equino´cio vernal para o pro´ximo
equino´cio vernal e e´ a base para o nosso calenda´rio).
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11. Suponha que lhe foi explicado que a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula movendo-se com
velocidade escalar v constante em um c´ırculo de raio r e´ proporcional a alguma
poteˆncia de r (seja rn) e a alguma poteˆncia de v (seja vm). Determine os valores
de n e m e escreva a fo´rmula mais simples para a acelerac¸a˜o (Dica: use ana´lise
dimensional).
12. Estimando que o tempo de vida me´dio de um brasileiro e´ de 65 anos e que o
nu´mero me´dio de respirac¸o˜es do mesmo e´ de 15 respirac¸o˜es por minuto, estime a
quantidade total de respirac¸o˜es durante toda a vida.
4 Respostas aos exerc´ıcios
1. A massa de ouro e´ igual a 23,0 kg;
2. O raio da outra esfera e´ igual a 7,69 cm;
3. Somente o item (b) esta´ correto;
4. As unidades de G sa˜o m3/kg.s2;
5. a) As unidades do momento p sa˜o kg.m/s;
b) As unidades do momento p sa˜o N.s;
6. A densidade do chumbo no SI e´ 11,4 × 103 kg/m3;
7. A espessura da tinta e´ de 151 µm;
8. A ordem de magnitude e´ de ∼ 106;
9. A ordem de magnitude e´ de ∼ 107;
10. O ano tropical possui 31.556.926,0 s.
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