A Física e as Medições

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A F́ısica e as Medições - Aula 1
Prof. Giovanni Cordeiro Barroso
19 de novembro de 2020
Padrões de Comprimento, Massa e Tempo; Materiais e construção de mo-
delos; Análise dimensional; Conversão de unidades; Estimações e ordem de
magnitude; Algarismos significativos.
1 Padrões de Comprimento, Massa e Tempo
Como todas as outras ciências, a F́ısica é baseada em observações experimentais e me-
didas quantitativas.
Para descrever fenômenos naturais é preciso que se faça a medida de vários aspectos
da natureza. Cada medida é associada a uma quantidade f́ısica, tal como o comprimento
de um objeto. As leis da f́ısica são expressas por meio de relações matemáticas das quan-
tidades f́ısicas. Na Mecânica, as três quantidades fundamentais são: Comprimento,
Massa e Tempo. Todas as outras quantidades, em mecânica, podem ser expressas em
função destas três.
Em 1960, um comitê internacional estabeleceu um conjunto de padrões para as quan-
tidades fundamentais da ciência. Este comitê é denomindado de Système International -
SI e suas unidades fundamentais de comprimento, massa e tempo são, repectivamente, o
metro, o kilograma e o segundo. Outros padrões estabelecidos pelo SI são para tem-
peratura (kelvin), corrente elétrica (ampere), intensidade luminosa (candela)
e a quantidade de uma substância (mol).
1.1 Comprimento
A quantidade comprimento pode ser identificada como a distância entre dois pontos
no espaço. Como dito anteriormente, a medida padrão de comprimento no SI é o metro
(m).
1
Em 1799 a França adotou o metro como sua medida padrão de comprimento. O
mesmo foi definido como sendo um décimo de milionésimo da distância entre o Polo
Norte e o Equador ao longo de uma linha longitudinal que passa por Paris. Em 1960,
o tamanho do metro foi redefinido como a distância entre duas linhas de uma barra de
platina-iŕıdio armazenada sob condições controladas na França. Entretanto, as novas
necessidade da ciência e da tecnologia exigiam medidas mais precisas do que a distância
entre duas linhas em uma barra poderia fornecer, assim, em 1983 o metro foi mais uma
vez redefinido como a distância percorrida pela luz no vácuo no intervalo de tempo de
1/229.792.458 segundos. Essa definição estabelece que a velocidade da luz no vácuo é
precisamente 299.792.458 m/s. Esta definição do metro é válida em todo o Universo,
dado que a velocidade da luz no vácuo é a mesma em qualquer parte do mesmo.
1.2 Massa
O kilograma (unidade fundamental de massa no SI) é definido como a massa de uma liga
ciĺındrica espećıfica de platina-iŕıdio, mantida no Bureau Internacional de Medidas, em
Sèvres - França. Esse padrão de massa foi estabelecido em 1887 e não sofreu modificações
até hoje porque a platina-iŕıdio é uma liga estável.
1.3 Tempo
Antes de 1967, o padrão de tempo foi definido em função do dia solar médio (um dia
solar é o intervalo de tempo entre as sucessivas aparições do Sol em um determinado
ponto do espaço a cada dia). A unidade fundamental de um segundo (s) foi definida
como ( 160)(
1
60)(
1
24) de um dia solar médio. Esta definição é baseada na rotação do planeta
Terra, portanto, não é universal.
Em 1967, o segundo foi redefinido com base em um dispositivo conhecido como relógio
atômico, o qual mede as vibrações dos átomos de césio. Assim, um segundo é agora
definido como sendo 9.192.631.770 vezes o peŕıodo de vibração da radiação do átomo de
césio-133.
2
2 Materiais, construção de modelos e análise
dimensional
2.1 Materiais e Construção de Modelos
Se os cientistas e engenheiros não podem interagir diretamente com algum fenômeno, eles
�imaginam� um modelo. Por exemplo, não se pode interagir diretamente com átomos
porque eles são muito pequenos. Assim, pensou-se num modelo de átomo como sendo
um sistema consistindo de um núcleo e um ou mais elétrons em movimento ao redor do
mesmo. Uma vez identificados os componentes f́ısicos do modelo, predições são feitas
sobre o comportamento dos mesmos baseadas nas interações entre os componentes do
sistema, ou na interação entre o sistema e o meio ambiente em que o mesmo se encontra.
2.2 Análise Dimensional
Em f́ısica, a palavra dimensão expressa a natureza f́ısica de uma certa quantidade. A
distância entre dois pontos, por exemplo, pode ser medida em metros, o que expressa a
dimensão do comprimento.
Os śımbolos mais usados para especificar as dimensões de comprimento, massa e tempo
são, respectivamente, L (do inglês length), M e T. Normalmente, usa-se também col-
chetes [ ] para as dimensões de uma quantidade f́ısica. Por exemplo, o śımbolo usado
aqui para a grandeza velocidade é v. Sendo assim, a notação para as dimensões de v são
[v] = L/T . Outro exemplo, as dimensões de uma área A são [A] = L2. As dimensões das
quantidades f́ısicas serão descritas à medida que as mesmas forem sendo apresentadas.
Em muitas situações é necessário verificar se uma determinada equação que envolve
algumas quantidades f́ısicas possui as dimensões corretas. Para tanto, é preciso se fa-
zer uma análise dimensional. Isso é feito, tratando as dimensões como quantidades
algébricas. Por exemplo, as quantidades podem ser somadas e subtráıdas se elas possuem
as mesmas dimensões. Qualquer relação só estará correta se as dimensões em ambos os
lados da equação são as mesmas.
————–
Exemplo 1. Suponha que você está interessado em descrever uma equação para a
posição x de um carro em um determinado instante de tempo t, sabendo que o carro
estava inicialmente em repouso na posição x0 = 0 e que o mesmo se move com uma
aceleração constante a.
R – A expressão correta para esta situação é:
3
x =
1
2
at2
A quantidade x, no lado esquerdo a equação, possui dimensão de comprimento,
assim, para que a equação esteja dimensionalmente correta, é necessário que a
quantidade do lado direito da equação também tenha dimensão de comprimento.
Como as respectivas dimensões da aceleração [a] e do tempo [t] são L/T 2 e T ,
então, a equação de dimensões é dada por:
L =
L
T 2
T 2 ⇒ L = L
As dimensões de tempo se cancelam fazendo com que reste apenas a dimensão de
comprimento tanto do lado esquerdo como do lado direito da equação. Portanto,
esta equação está dimensionalmente correta.
————–
2.3 Estimação e cálculo da ordem de magnitude
Suponha que alguém deseja estimar a distância entre o Sol e a Terra. Não é necessário
que a pessoa saiba a resposta exata, visto que é uma estimação, a qual pode ser expressa
em notação cient́ıfica. A estimação pode ser mais aproximada quando ela é expressa
como uma ordem de magnitude. A ordem de magnitude é uma potência de dez que
é determinada da seguinte forma:
1. Expresse o número em notação cient́ıfica cujo multiplicador (x) da potência de dez
(10y) deve ser um valor entre 1 e 10.
x ⋅ 10y
2. Se o número multiplicador é menor que 3,162 (a raiz quadrada de dez), a ordem
de magnitude do número é a potência de dez em notação cient́ıfica. Se o número
multiplicador é maior que 3,162, a ordem de magnitude é uma potência maior que
a potência de dez em notação cient́ıfica.
Se x ≤
√
10 Ô⇒ O.M. ∼ 10y
Se x >
√
10 Ô⇒ O.M. ∼ 10y+1
Usa-se o śımbolo ∼ que significa é da ordem de magnitude de. Usando o procedimento
acima pode-se verificar as ordens de magnitude dos seguintes comprimentos:
4
� 0,0057 m = 5,7 × 10−3 ∼ 10−2 m;
� 0,0012 m = 1,2 × 10−3 ∼ 10−3 m;
� 840 m = 8,4 × 102 ∼ 103 m.
2.4 Algarismos significativos
Quando quantidades são medidas, os valores medidos são conhecidos somente dentro
dos limites da incerteza experimental. O valor desta incerteza pode depender de vários
fatores, tais como da qualidade dos aparelhos de medida, da experiência do usuário e
do número de medidas realizadas. O número de algarismos significativos em uma
medida pode ser usado para expressar algo sobre a incerteza. O númerode algarismos
significativos está relacionado ao número de d́ıgitos numéricos usado para expressar a
medida.
Como exemplo de algarismos significativos, suponha que você deseja medir o raio de
um pequeno disco de metal usando uma régua. Suponha ainda que a precisão máxima
que se pode alcançar com esta régua é de ±0,1 cm. Devido a esta incerteza, se a medida
encontrada do raio foi de 5,0 cm, pode-se dizer que este raio mede entre 5,1 cm e 4,9 cm.
Diz-se, então, que este valor medido (5,0 cm) possui dois algarismos significativos. Note
que os algarismos significativos incluem o primeiro d́ıgito estimado. Por isso pode-se
dizer que a medida do raio é de (5 ± 0,1) cm.
Zeros podem representar, ou não representar, algarismos significativos. Os zeros usa-
dos para posicionar o ponto decimal, tais como em 0,07 e 0,0043 são não significativos,
por isso existe somente um algarismo significativo no primeiro número e dois no segundo.
Quando os zeros vêm após outros d́ıgitos, pode haver a possibilidade de uma má inter-
pretação. Como exemplo suponha que a massa de um objeto é de 1600 g. Esse valor pode
ser amb́ıguo, visto que os dois últimos zeros podem estar sendo usados para localizar o
ponto decimal ou podem representar algarismos significativos na medida. Para eliminar
esta ambiguidade, usa-se normalmente a notação cient́ıfica para indicar o número de
algarismos significativos. Expressando o valor da massa como sendo 1,6 × 103 g signi-
fica que existem dois algarismos significativos. Se o valor é expresso como 1,60 × 103 g,
isso quer dizer que existem três algarismos significativos e assim por diante. A mesma
regra se aplica a números menores que a unidade, ou seja, o número 1,6 × 10−4 possui
dois algarismos significativos (0,00016) e o número 1,60 × 10−4 possui três algarismos
significativos (0,000160).
Na solução de problemas, deve-se ter certeza de que o resultado tenha o número correto
de algarismos significativos. Uma boa regra para determinar o número de algarismos
significativos do resultado de uma divisão ou de uma multiplicação é a seguinte:
Definição 1. Quando se multiplicam várias quantidades, o número de algarismos sig-
nificativos da resposta final é igual ao número de algarismos significativos da quantidade
5
que tiver o menor número deles. A mesma regra vale também para a divisão.
—————
Exemplo 2. Aplique esta regra para encontrar a área do disco de metal usado como
exemplo acima, lembrando que o raio medido foi de 5,0 cm.
R – Usando a equação para encontrar a área de um ćırculo, tem-se:
A = πr2 = π(5,0 cm)2 = 0,79 × 102 cm2
Fazendo esta conta na calculadora, encontra-se o valor 78,5398163 cm2. Nesse
caso, é tentador dar a resposta como igual a 78,5 cm2. Este resultado não se
justifica porque ele possui três algarismos significativos, enquanto o raio possui só
dois. Assim, o resultado deve possuir somente dois algarismos significativos, como
apresentado acima (observe que foi feito o arredondamento do número).
—————
Para adição e subtração, considera-se a quantidade de algarismos decimais para de-
terminar quantos algarismos significativos deve possuir a resposta, assim:
Definição 2. Quando números são adicionados ou subtráıdos, o número de casas deci-
mais do resultado deve ser igual ao da parcela de menor número de casas decimais
—————
Exemplo 3. Considere a seguinte soma:
32,1 + 6,374 = 38,5
Note que o valor encontrado na calculadora é 38,474, mas como 32,1 possui somente
uma casa decimal, o resultado tem que ser apresentado também com somente uma casa
decimal (observe o arredondamento).
—————
A regra para adição e subtração frequentemente leva a resultados que possuem um
número de algarismos significativos diferente do número de algarismos significativos das
quantidades iniciais. Vejamos um exemplo:
Exemplo 4. Considere as operações a seguir que satisfazem à regra:
3,0002 + 0,0007 = 3,0009
6
1,004 − 0,995 = 0,009
No primeiro caso, o resultado possui 5 algarismos significativos, embora um dos termos
da soma (0,0007) só possua um algarismo significativo. No segundo caso, o resultado
possui apenas um algarismo significativo, embora os termos da subtração possuam, res-
pectivamente, quatro e três algarismos significativos.
Se o número de algarismos significativos do resultado de um cálculo deve ser reduzido,
usa-se como regra geral o arredondamento e o truncamento. Se o último d́ıgito que
foi retirado for maior ou igual a cinco (5), então, soma-se um ao último d́ıgito restante
(arredondamento). Caso contrário, se o último d́ıgito retirado for menor que cinco (5),
então o último d́ıgito restante permanece como está (truncamento). Por exemplo, 3,468
fica igual a 3,47 e 3,473 fica igual a 3,47.
Exemplo 5. Qual a área de uma sala que possui 5,34 m de largura e 11,78 m de
comprimento?
R – Multiplicando o comprimento pela largura tem-se:
5,34 × 11,78 = 62,9052
Pela regra, o resultado de uma multiplicação deve possuir o mesmo número de
algarismos significativos da quantidade com menor número de algarismos signifi-
cativos, assim, o número de algarismos significativos do resultado deve ser igual
a 3, que corresponde ao número de algarismos significativos da quantidade 5,34,
desta forma, tem-se que o resultado é:
5,34 × 11,78 = 62,9
Na Tabela 1 são apresentados alguns prefixos e potências de dez mais usuais.
Potência Prefixo Abreviação Potência Prefixo Abreviação
10−15 femto f 103 kilo k
10−12 pico p 106 mega M
10−9 nano n 109 giga G
10−6 micro µ 1012 tera T
10−3 mili m 1015 peta P
10−2 centi c
10−1 deci d
Tabela 1: Tabela das potências de dez e suas respectivas abreviações
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3 Lista de Exerćıcios
1. Um modelo de ferro fundido de um determinado carro foi feito com 9,35 kg de
ferro. Para refazer o mesmo modelo com ouro, qual a massa de ouro necessária?
(ρouro = 19,3 × 103 kg/m3 —— ρferro = 7,86 × 103 kg/m3)
2. Duas esferas são constrúıdas com o mesmo material, ou seja, uma pedra com
densidade uniforme. Uma delas possui raio igual a 4,50 cm. A massa da outra é
cinco vezes maior. Qual o seu raio?
3. Quais das seguintes equações são dimensionalmente corretas?
a) vf = vi + ax;
b) y = 2(m) cos(kx), em que k = 2 m−1
4. A lei da gravitação universal de Newton é expressa como:
F = G
M m
r2
em que F é a magnitude da força gravitacional exercida por um objeto em outro.
M e m são as massas dos objetos e r é a distância entre eles. A força possui as
seguintes unidades no SI: kg.m/s2. Quais são as unidades no SI da constante de
proporcionalidade G?
5. A energia cinética K possui dimensões kg.m2/s2. K pode ser escrita em função
do momento p e da massa m, tal que K = p2/2m.
a) Determine as unidades do momento p usando análise dimensional;
b) A unidade de força é o newton (N), em que 1 N = 1 kg.m/s2. Quais as
unidades do momento p em função de N e outra unidade fundamental do SI?
6. Um pedaço sólido de chumbo possui massa igual a 23,94 g e um volume de
2,10 cm3. A partir destes dados, calcule a densidade do chumbo no SI (kilograma
por metro cúbico).
7. Um galão de tinta (cujo volume é 3,78× 10−3 m3) cobre uma parede de área igual
a 25,0 m2. Qual é a espessura da tinta fresca na parede?
8. Encontre a ordem de magnitude da quantidade de bolas de ping-pong que caberia
em uma sala de 48 m3. Suponha que o diâmetro da bola seja de aproximadamente
4,0 cm.
9. Um pneu de carro possui uma vida útil de pelo menos 25.000 km. Supondo o
diâmetro de um pneu de aproximadamente 60 cm, estime (em ordem de magnitude)
8
quantas revoluções o mesmo deve realizar durante sua vida útil.
10. Obedecendo ao número de algarismos significativos, encontre quantos segundos
possui um ano tropical t́ıpico, sabendo que o mesmo possui 365,242199 dias.
(O ano tropical é o intervalo de tempo de um equinócio vernal para o próximo
equinócio vernal e é a base para o nosso calendário).
11. Suponha que lhe foi explicado que a aceleraçãode uma part́ıcula movendo-se com
velocidade escalar v constante em um ćırculo de raio r é proporcional a alguma
potência de r (seja rn) e a alguma potência de v (seja vm). Determine os valores
de n e m e escreva a fórmula mais simples para a aceleração (Dica: use análise
dimensional).
12. Estimando que o tempo de vida médio de um brasileiro é de 65 anos e que o
número médio de respirações do mesmo é de 15 respirações por minuto, estime a
quantidade total de respirações durante toda a vida.
4 Respostas aos exerćıcios
1. A massa de ouro é igual a 23,0 kg;
2. O raio da outra esfera é igual a 7,69 cm;
3. Somente o item (b) está correto;
4. As unidades de G são m3/kg.s2;
5. a) As unidades do momento p são kg.m/s;
b) As unidades do momento p são N.s;
6. A densidade do chumbo no SI é 11,4 × 103 kg/m3;
7. A espessura da tinta é de 151 µm;
8. A ordem de magnitude é de ∼ 106;
9. A ordem de magnitude é de ∼ 107;
10. O ano tropical possui 31.556.926,0 s.
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