Superfícies Planas, Cilíndricas e Quádricas em Cálculo

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Cálculo de Várias VariáveisCálculo de Várias Variáveis
Aula:
Superfície Plana, Superfícies Cilíndricas e Superfícies Superfície Plana, Superfícies Cilíndricas e Superfícies 
Quádricas
Profª Eloisa Márcia da Silva Tampieri
Espaço TridimensionalEspaço Tridimensional
z
P(2,3,1)
Q(2,3,3)
x
y
SUPERFÍCIES PLANASSUPERFÍCIES PLANAS
Ax + By + Cz + d = 0
Toda equação de 1º grau em R³ = R x R x R 
é uma equação de um planoé uma equação de um plano
� Planos principais
Z=0
z
x
y
� X=0
z
x
y
� Y=0
z
x
y
Planos genéricos
z
2x + y + z = 0
x
y
SUPERFÍCIES CILÍNDRICASSUPERFÍCIES CILÍNDRICAS
Considere um plano α e uma curva c contida em α.
Geratriz
α
Considere, também, uma reta r, tal que r não
está contida em α, mas a interseção de r com o
plano nos fornece um ponto.
Diretriz
α
c
r
A superfície formada por todas as retas paralelas
a r, mas com interseção com c, é chamada de
superfície cilíndrica.
ExemplosExemplos
a) y + z = 3 z
x
y
b) x² + y² = 4
z
x
y
c) z = 4 – x² z
x
y
SUPERFÍCIES QUÁDRICASSUPERFÍCIES QUÁDRICAS
São superfícies em três dimensões em que suas
equações representam duas ou mais variáveis com
grau igual a dois.
a) z = x² + y² - Parabolóide Eliptico
b) x² + y² - z² = 1 - Hiperbolóide de uma folha
c) z² - x² - y² = 1 - Hiperbolóide de duas folhas
d) x² + y² - z² = 0 - Cone
e) x² + y² +z² = a² - Esfera
f) z = y² - x² - Parabolóide Hiperbólico
ElipsóideElipsóide
z
x
y
Equação Paramétrica
EsferaEsfera
x
y
z
Caso especial da Elipsóide, onde os valores de a, b e c são iguais. 
ParabolóideParabolóide ElipticoEliptico
z
x
y
Equação Paramétrica
HiperbolóideHiperbolóide de uma folhade uma folha
z
x
y
Equação Paramétrica
HiperbolóideHiperbolóide de duas folhasde duas folhas
z
Equação Paramétrica
x
y
Equação Paramétrica
Cone Cone ElipticoEliptico
z
x
y
Equação Paramétrica
ParabolóideParabolóide Hiperbólico Hiperbólico -- SelaSela
x
z
x
y
Equação Paramétrica
ExercíciosExercícios
� Construa as figuras quádricas dadas 
abaixo.
a) z = x² + y²
b) x² + y² - z² = 1b) x² + y² - z² = 1
c) z² - x² - y² = 1
d) x² + y² - z² = 0
e) x² + y² + z² = a²
f) z = y² - x²