21_Matrizes_Autovalor

Prévia do material em texto

Álgebra Linear
Matrizes: Autovalores, autovetores
Formas quadráticasFormas quadráticas
Prof. Dr. Jorge Lizardo Díaz Calle
Dpto. de Ciências Básicas – FZEA / USPDpto. de Ciências Básicas – FZEA / USP
Forma Linear
T(X) = AX + B
T(X) = L(X) + BT(X) = L(X) + B
- Transforma um vetor coluna X em
- produto de matrizes AX=L(X) (transformação linear)
- traslada o resultado uma matriz fixa B
Uma forma linear pode ser vista como uma 
transformação afím.
Forma quadrática
No caso de um função quadrática, com x real,
cbxaxxf ++= 2)(
Uma transformação quadrática tem a forma
A parte principal da transformação quadrática é 
chamada de forma quadrática
cbxaxxf ++= 2)(
CBXAXXXT t ++=)(
chamada de forma quadrática
Exemplos e exercícios: 
AXX t
xzyz 423 22 −−
Matrizes semelhantes e congruentes
A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz 
não singular P tal que BPPA 1−=
Exemplo: , utilize
Exemplo: com 
Definição: Uma matriz não singular é chamada de 






=
20
12
A 





=
20
42
B 





=
40
02
P





 −
=
40
31
A 





=
40
01
B 





=
30
11
P 




 −
=
−
3/10
3/111P
Definição: Uma matriz não singular é chamada de 
matriz ortogonal se:
A e B são matrizes congruentes se existe uma matriz 
não singular P tal que BPPA t=
1−
= PPt
Formas quadráticas equivalentes
Duas formas quadráticas: e são 
equivalentes se existe uma matriz P, não singular 
XBX tAXX t
tal que 
Exemplo:
1. São equivalentes: e
se consideramos a matriz
APPB t=
XXAXX tt 





=
21
12
XX t 





10
03
se consideramos a matriz










−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
P
Autovalores de uma matriz
Valor próprio de uma matriz: Dada uma matriz A, 
um número escalar , é valor próprio de A, se λ
existe um vetor não nulo tal que:
Observar que
A álgebra linear garante solução não trivial para esse 
X
XAX λ=
0=− XAX λ
0)( =− XIA λ
A álgebra linear garante solução não trivial para esse 
sistema homogêneo se o determinante da matriz é 
zero: 0)det( =− IA λ
Exemplos
1.






=
21
12
A
2.
3. Da forma quadrática dada no segundo slide.










−
−
=
544
101
121
A
Polinômio característico: é o polinômio resultante 
do determinante
Autovetores (vetor próprio) associado a um 
autovalor , é o vetor não nulo X, tal que 
)det( IA λ−
λ .XAX λ=
Diagonalização de matrizes simétricas
Teorema: Todos os autovalores de uma matriz 
simétrica são números reais.
Teorema: Uma matriz P é ortogonal se e somente se 
suas colunas formam um conjunto ortonormal 
(ortogonais e unitários) 
Teorema: Os autovetores correspondentes a Teorema: Os autovetores correspondentes a 
autovalores distintos são ortogonais.
Diagonalização de matrizes simétricas
Teorema: Se A é uma matriz simétrica então existe 
uma matriz ortogonal P, tal que 
é uma matriz diagonal. Assim: 
Exemplo: 
1. Seja a forma quadrática: 
DAPP =−1
DAPPt =
xzyz 423 22 −−1. Seja a forma quadrática: 
Substituir por uma forma quadrática sem termos mistos.
xzyz 423 22 −−
Cont.
2. E para a expressão
zwxywzyx 442222 +++++
Tente os autovalores -1 e 3.
zwxywzyx 44 +++++