AlgLin-Exer1-INTRO-a6

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Curso de Álgebra Linear
Fundamentos e Aplicações
Terceira Edição
25 de Outubro de 2012
Marco Cabral
PhD Indiana University, EUA
Paulo Goldfeld
PhD Courant Institute, EUA
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática – UFRJ
Rio de Janeiro – Brasil
Exercícios
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br/~mcabral/livros
1 Introdução à Álgebra Linear
1.1 Exercícios de Fixação
Fix 1.1: Determine quais dos vetores abaixo são múltiplos de
(ou paralelos a) (2, 6,−4) ∈ R3:
(a) (4, 12, 8);
(b) (3, 9,−6);
(c) (0, 0, 0);
(d) (−1,−3, 2).
1
1.1: Somente (b), (c) e (d).
2
Fix 1.2: Quando representamos vetores como setinhas:
(a) dois vetores iguais são necessariamente
(coincidentes, paralelos);
(b) fazendo produto por k > 1 obtemos vetor com
(mesmo, maior, menor) tamanho e com (mesmo
sentido, sentido oposto).
(c) fazendo produto por k = −1 obtemos vetor com
(mesmo, maior, menor) tamanho e com (mesmo
sentido, sentido oposto).
(d) fazendo produto por k < −1 obtemos vetor com
(mesmo, maior, menor) tamanho e com (mesmo
sentido, sentido oposto).
(e) fazendo produto por k, com −1 < k < 0, obtemos vetor com
(mesmo, maior, menor) tamanho e com
(mesmo sentido, sentido oposto).
3
1.2: (a) paralelos;
(b) maior tamanho e mesmo sentido;
(c) mesmo tamanho e sentido oposto;
(d) maior tamanho e sentido oposto;
(e) menor tamanho e sentido oposto;
4
Fix 1.3: Determine se é ponto, reta ou plano o conjunto
representado pela(s) equação(ões):
(a) x = 4 em R2;
(b) x = −1 em R;
(c) y = 3 em R3;
(d) x + y = 2 em R2;
(e) x− y = −1 em R3;
(f)
{
x = 5
y = −2 em R
2;
(g)
{
x = −5
y = 2
em R3;
(h)
{
x− y = −5
y = 2
em R3;
5
1.3: (a) reta;
(b) ponto;
(c) plano;
(d) reta;
(e) plano;
(f) ponto;
(g) reta;
(h) reta.
6
Fix 1.4: A a interseção da reta 3y − 2x = 5 com o
(a) eixo x é ;
(b) eixo y é ;
7
1.4: (a) (−5/2, 0).
(b) (0, 5/3).
8
Fix 1.5: A parametrização da reta
(a) x = 3 é ;
(b) y = −1 é .
9
1.5: (a) x = 3, y = t para t ∈ R.
(b) x = t, y = −1 para t ∈ R.
10
Fix 1.6: Determine se é combinação linear de (2, 0) e (0, 2):
(a) (0, 0);
(b) (1, 0);
(c) (4, 6).
11
1.6: Todos são CLs. (a) (0, 0) = 0(2, 0) + 0(0, 2).
(b) (1, 0) = 1
2
(2, 0) + 0(0, 2).
(c) (4, 6) = 2(2, 0) + 3(0, 2).
12
Fix 1.7: Complete lacunas. Resolver o sistema{
2x + 3y = 5
x− y = 2 equivale a determinar se:
(a) existem x, y ∈ R tais que
x( , ) + y( , ) = ( , ) (CL);
(b) ( , ) ∈ 〈( , ), ( , )〉 (espaço gerado).
13
1.7: (a) x(2, 1) + y(3,−1) = (5, 2).
(b) (5, 2) ∈ 〈(2, 1), (3,−1)〉.
14
Fix 1.8: Considere a correspondência existente entre resolver
um sistema linear e existência de combinação linear. Considere
as opções:
(1) existe pelo menos duas combinações lineares,
(2) existe somente uma combinação linear,
(3) não existe combinação linear. Corresponde a um sistema:
(a) sem solução: ;
(b) com infinitas soluções: ;
(c) com solução única: .
15
1.8: (a)–(3);
(b)–(1);
(c)–(2).
16
Fix 1.9: Associe a cada sistema abaixo (uma letra) o problema
correspondente (um número):
(a)
 x + y = 1x + 2y = 2
x + y = 3
;
(b)
{
x + 2y + 3z = 1
x + 2y − z = 2 ;
(c)
 x + 2y + 3z = 1x + y − z = 2
x− y − z = 3
;
(d)
{
x + 2y = 1
x + 3y = 2
.
(1) (1, 2) ∈ 〈(1, 1), (2, 3)〉?;
(2) (1, 2) ∈ 〈(1, 1), (2, 2), (3,−1)〉?;
(3) (1, 2, 3) ∈ 〈(1, 1, 1), (1, 2, 1)〉?;
(4) (1, 2, 3) ∈ 〈(1, 1, 1), (2, 1,−1), (3,−1,−1)〉?.
17
1.9: (a)–(3);
(b)–(2);
(c)–(4);
(d)–(1).
18
Fix 1.10: Determine se é ponto, reta ou plano:
(a) 〈(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 0)〉+ (2, 1, 2, 2);
(b) 〈(1, 2, 0, 0), (0, 1, 0, 0)〉+ (0, 0, 0, 0);
(c) 〈(1, 1, 1, 1)〉+ (0, 0, 0, 0);
(d) 〈(0, 0, 0, 0)〉+ (1, 1, 1, 1);
19
1.10: (a) reta;
(b) plano;
(c) reta;
(d) ponto;
20
Fix 1.11: Se u é combinação linear de v e w, então
necessariamente u pertence:
(a) à reta gerada por w?
(b) ao plano gerado por v e w?
21
1.11: (a) não;
(b) sim.
22
Fix 1.12: Seja S um conjunto com 5 vetores em Rn. Determine
se é verdadeiro ou falso:
(a) se n = 3, então S é sempre LD;
(b) se n = 4, então S sempre gera R4.
23
1.12: (a) V;
(b) F;
24
Fix 1.13: O número mínimo de equações cartesianas para
determinar um(a):
(a) reta em R3 é ;
(b) reta em R4 é ;
(c) plano em R3 é ;
(d) plano em R4 é .
25
1.13: (a) 2.
(b) 3.
(c) 1.
(d) 2.
26
1.2 Problemas
Prob 1.14: Determine, se for possível, k ∈ R tal que
w = (1, 0, 2) + k(−1, 2, 0) seja um múltiplo (isto é, seja paralelo) a
(a) u = (−1, 3, 1);
(b) v = (−1, 3, 2).
27
1.14: (a) Queremos que w = tu. Portanto, (1, 0, 2) + k(−1, 2, 0) = t(−1, 3, 1).
Assim queremos que (1− k, 2k, 2) = (−t, 3t, t). Logo precisamos resolver o
sistema
 1− k = −t2k = 3t
2 = t
. Logo t = 2 (última equação), k = 3 (2a equação), e
verificar que satisfazem 1a equação (1− 3 = −2!). Logo k = 3.
(b) De forma análoga precisamos resolver o sistema
 1− k = −t2k = 3t
2 = 2t
. Logo
t = 1 (última equação), k = 3/2 (2a equação), e verificar que não satisfazem 1a
equação (1− 3/2 6= −1!). Assim é impossível e não existe k.
28
Prob 1.15: Determine parametrização para as retas (em R2):
(a) y − 2x = 5;
(b) y = −1.
29
1.15: (a) (x, y) = (t, 2t + 5) = (0, 5) + t(1, 2) ou
(x, y) = ((s− 5)/2, s) = (−5/2, 0) + s(1/2, 1);
(b) (x, y) = (t,−1) = (0,−1) + t(1, 0);
30
Prob 1.16: Determine equações cartesianas para as retas (em
R2):
(a)
{
x = 2t− 1
y = −t ;
(b)
{
x = 5t− 1
y = 2t
;
(c)
{
x = t
y = −3 ;
(d)
{
x = 0
y = t
.
31
1.16: (a) {x + 2y + 1 = 0}
(b) {5y − 2x = 2}
(c) {y = −3}
(d) {x = 0}
32
Prob 1.17: Determine parametrização para as retas (em R3):
(a)
{
z − x = 1
x + y + z = 0
;
(b)
{
x + y = 1
x− y = 1 ;
(c)
{
x = y
z = 0
.
33
1.17: (a) x = t− 1, y = −2t + 1, z = t;
(b) x = 1, y = 0, z = t;
(c) x = t, y = t, z = 0;
34
Prob 1.18: Determine parametrização para a reta (em R3):
(a) que contém os pontos (2, −3, −1) e (1, 2, 1);
(b) que contém o ponto (−1, 2, −1) e é paralela ao vetor
(0, 0, 1);
(c) que pertence ao plano x− y = z− 1 e ao plano 3x− y+ 1 = z.
35
1.18: (a) x = 2− t, y = −3 + 5t, z = −1 + 2t;
(b) x = −1, y = 2, z = t;
(c) x = 0, y = 1− t, z = t;
36
Prob 1.19: Determine equações cartesianas para as retas (em
R3):
(a)
 x = 2t− 1y = −t
z = 3t + 2
;
(b)
 x = 2y = −3
z = t
;
(c)
 x = 5t− 1y = 6t + 2
z = −t− 1
;
(d)
 x = ty = t
z = 0
.
37
1.19: (a) {x + 2y + 1 = 0; z + 3y = 2}
(b) {x = 2; y = −3}
(c) {x = −5z − 6; y = −6z − 4}
(d) {x = y; z = 0}
38
Prob 1.20: Determine parametrização para os planos (em R3):
(a) x + y − z = 2;
(b) y − z = 0.
39
1.20: (a) Tome s = z, t = y, x = −y + z + 2 = −t + s + 2. Logo,
(x, y, z) = (2, 0, 0) + s(1, 0, 1) + t(−1, 1, 0);
(b) x = t, y = s, z = y = s. Logo, (x, y, z) = 0+ t(1, 0, 0) + s(0, 1, 1).
40
Prob 1.21: Determine equações cartesianas para os planos
(em R3):
(a)
 x = s + ty = s− t
z = 4s− 2t− 2
;
(b)
 x = ty = 1
z = s
;
(c)
 x = 2s + 2y = t− s
z = 4s− 2t + 1
;
(d)
 x = ty = t
z = s
.
41
1.21: (a) z = x + 3y − 2;
(b) y = 1;
(c) z = x− 1− 2y;
(d) x = t;
42
Prob 1.22: Considere a reta r = (1, 2, 1) + 〈(1, 0, 1)〉, o plano
Π1 = (2, 0, 0) + 〈(2, 0, 2), (1, 0, 0)〉, o plano
Π2 =
{
(x, y, z) ∈ R3| x + z = 0}. Determine:
(a) r ∩Π1;
(b) r ∩Π2;
(c) Π1 ∩Π2.
43
1.22: (a) Queremos determinar s, t, u ∈ R tais que
(1, 2, 1) + s(1, 0, 1) = (2, 0, 0) + t(2, 0,2) + u(1, 0, 0). Vamos obter o sistema 1 + s = 2 + 2t + u2 = 0
1 + s = 2t
, que não possui solução (2 = 0!). Logo a interseção é
vazia.
(b) Como r(t) = (1, 2, 1) + t(1, 0, 1) = (1 + t, 2, 1 + t), e x + z = 0,
1 + t + 1 + t = 0 = 2 + 2t. Logo t = −1 e o ponto de intereção é
r(−1) = (1, 2, 1) + (−1)(1, 0, 1) = (0, 2, 0).
(c) Como Π1(s, t) = (2, 0, 0) + s(2, 0, 2) + t(1, 0, 0) = (2 + 2s + t, 0, 2s) e
x + z = 0, 2 + 2s + t + 2s = 0 = 4s + t + 2, fixado s ∈ R, t = −2− 4s. Logo a
interseção é a reta (2, 0, 0) + s(2, 0, 2) + (−2− 4s)(1, 0, 0) =
(2 + 2s− 2− 4s, 0, 2s) = (−2s, 0, 2s) = s(−2, 0, 2). Pode escrever como
〈(−2, 0, 2)〉.
44
Prob 1.23: Determine parametrização para o plano (em R3)
que contém o(s) ponto(s):
(a) (1, 0, 1), (0, 1, 1) e (−1, 0, 0).
(b) (3, 0,−1) e é simultaneamente paralelo aos vetores (2,−1, 1)
e (0, 1,−1) .
(c) (1, 3, 2) e (−1, 2, 1) e é paralelo ao vetor (1,−1,−1).
(d) (−3, 1, 0) e a reta parametrizada por
 x = t + 1y = 1− t
z = t− 1
.
45
1.23: (a) (1, 0, 1) + t(−1, 1, 0) + s(−2, 0,−1);
(b) (1, 3, 2) + t(−2,−1,−1) + s(1,−1,−1);
(c) (−3, 1, 0) + t(4, 0,−1) + s(1,−1, 1);
46
Prob 1.24: Considere a reta
r = (1, 2, 0, 0) + t(0, 1/2, 1, −1) ⊂ R3. Determine:
(a) três pontos distintos de r;
(b) se (1, 4, 4, −4) ∈ r;
(c) se (1, 4, 3, 2) ∈ r;
(d) se r = (1, 4, 3, 2) + s(0, 1/2, 1, −1);
(e) se r = (1, 4, −4, 4) + s(0, −2, −4, 4).
47
1.24: (a) tome t = 0, 1 e −1 por exemplo e obtenha (1, 2, 0, 0), (1, 5/2, 1,−1),
(1, 3/2,−1, 1);
(b) sim (t = 4);
(c) não;
(d) não pois (1, 4, 3, 2) 6∈ r;
(e) sim pois (1, 4,−4, 4) ∈ r (t = −4) e (0,−2,−4, 4) é paralelo a (0, 1/2, 1,−1).
48
Prob 1.25: Considere plano
Π = (1, 1, 2, 0) + t(−1, 2,−1, 2) + s(1, 1, 1, 1) ⊂ R4. Determine:
(a) quatro pontos distintos de Π;
(b) se (2, 5, 3, 4) ∈ Π;
(c) se (1, 1, 3, 3) ∈ Π;
(d) se Π = (1, 1, 3, 3) + 〈(−1, 2,−1, 2), (1, 1, 1, 1)〉;
(e) interseção com eixo y;
(f) interseção com plano 〈(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)〉.
49
1.25: (a) Coloque s = 0, 1 e t = 0, 1 alternadamente, obtendo 4 pontos:
(1, 1, 2, 0),
(0, 3, 1, 2), (2, 2, 3, 1) e (1, 4, 2, 3);
(b) sim com t = 1, s = 2;
(c) não;
(d) não pois (1, 1, 3, 3) 6∈ Π.
(e) Queremos x = z = w = 0. Assim (porque?)
1− t + s = 2− t + s = 2t + s = 0. Como o sistema não possui solução, a
interseção com o eixo y é vazia.
(f) Agora usando parâmetros u, v, x = u, y = 0, z = 0, w = v. Assim devemos
resolver o sistema (4 variáveis e 4 equações):

1− t + s = u
1 + 2t + s = 0
2− t + s = 0
2t + s = v
. A solução
única é: s = −5/3, t = 1/3, u = −1, v = −1. Assim a interseção é o ponto
(u, 0, 0, v) = (−1, 0, 0,−1). A interseção de dois planos em R4 pode ser um
ponto.
50
Prob 1.26: Determine uma parametrização para:
(a)
{
(x, y, z, w) ∈ R4| x− y + 3z − 2w = 4};
(b)
{
(x, y, z, w, u) ∈ R5| z − 3u = 5}.
(c)
{
(x, y, z, w) ∈ R4| x + 2z = 0, y − w = 0};
51
1.26: (a) (x, y, z, w) = (s− 3t + 2u + 4, s, t, u) =
(4, 0, 0, 0) + s(1, 1, 0, 0) + t(−3, 0, 1, 0) + u(2, 0, 0, 1);
(b) note que x, y, w podem assumir qualquer valor. Logo colocando
x = t, y = s, w = k e u = m, temos que z = 3u + 5 = 3m + 5. Portanto
(x, y, z, w, u) = (t, s, 3m + 5, k,m). Na forma fatorada,
(x, y, z, w, u) = (0, 0, 5, 0, 0) + t(1, 0, 0, 0, 0) + s(0, 1, 0, 0, 0)+
m(0, 0, 3, 0, 1) + k(0, 0, 0, 1, 0).
(c) (x, y, z, w) = t(−2, 0, 1, 0) + s(0, 1, 0, 1).
52
Prob 1.27: Determine por inspeção se é LI:
(a) {(1, 2, 2, 3), (2, 4, 4, 5)};
(b) {(−1, 2, 1,−3), (3,−6,−3, 9};
(c) {(1, 2), (2, 1), (3, 3)};
(d) {(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (5, 4, 3, 2, 1)}.
53
1.27: (a) sim pois um não é múltiplo do outro;
(b) não pois −3(−1, 2, 1,−3) = (3,−6,−3, 9);
(c) não pois, embora nenhum seja múltiplo de outro, (1, 2) + (2, 1) = (3, 3);
(d) não pois (0, 0, 0, 0, 0) = 0(1, 2, 3, 4, 5).
54
Prob 1.28: Determine se:
(a) (1, 2, 3, 5) ∈ 〈(1, 2, 3, 4)〉;
(b) (−1, 0, 0) ∈ 〈(2, 1, 1), (3, 1, 1)〉;
(c) (−1, 0, 2) ∈ 〈(2, 1, 1), (3, 1, 1)〉;
(d) R3 = 〈(0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 1)〉;
(e) 〈(2, 1, 2)〉 = 〈(2,−1, 2)〉.
55
1.28: (a) não pois não é múltiplo;
(b) sim pois (−1, 0, 0) = (2, 1, 1)− (3, 1, 1);
(c) não pois vai aparecer um sistema sem solução;
(d) sim pois (a, b, c) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 0) + (c− a)(0, 0, 1);
(e) não pois (2, 1, 2) não é múltiplo de (2,−1, 2).
56
1.3 Extras
Ext 1.29: Seja S um conjunto com 5 vetores em Rn. Determine
se é verdadeiro ou falso:
(a) se n = 7, então S é sempre LI;
(b) se n = 3, então S pode gerar o R3;
57
1.29: (a) F;
(b) V;
58
Ext 1.30: Determine parametrização para os conjuntos:
(a) x = 3 em R2;
(b)
{
2x− 3y + 5z = 1
x + y = 1
em R3;
(c) x− 2y = 1 em R3;
(d) 3x− 2z − 5 = 0 em R3;
59
1.30: (a) (x, y) = (3, t) = (3, 0) + t(0, 1) ou (x, y) = (3, 2s) = (3, 0) + s(0, 2).
(b) x = −t + 1, y = t, z = t− 1/5;
(c) y = t, z = s, x = 1 + 2y = 1 + 2t. Logo
(x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 2, 0) + s(0, 0, 1);
(d) x = t, y = s, z = (3t− 5)/2;
60
Ext 1.31: Determine se é ponto, reta ou plano:
(a) (1, 2, 1, 2, 1) + 〈(0, 0, 0, 0, 0), (−1, 2, 1, 2, 1))〉;
(b) (1, 2, 1, 1) + 〈(1, 2, 1, 3), (1, 2, 1, 4))〉;
(c) (1, 2, 1, 1) + 〈(1, 1, 1, 1), (0, 2, 0, 2), (1, 3, 1, 3))〉;
(d) (2, 0, 2, 0) + 〈(1, 2, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 0)〉;
(e) (0, 0, 0, 0) + 〈(0, 0, 0, 0))〉;
(f) v + 〈u,−u, 3u〉 com u 6= 0.
61
1.31: (a) reta;
(b) plano;
(c) plano;
(d) plano;
(e) ponto;
(f) reta.
62
Ext 1.32: Escreve o sistema linear (não resolva o sistema) que
deve ser resolvido para determinar se (1, 2, 1, 0) é combinação
linear de (−1, 2,−3, 1) e (2, 2,−1, 3).
63
1.32:

−x + 2y = 1
2x + 2y = 2
−3x− y = 1
x + 3y = 0
.
64
1.4 Desafios
Des 1.33: Um truque de mágica bem conhecido é a fuga de
uma caixa completamente fechada. Vamos ver como isto é
possível em R4.
No plano é impossível fugir de dentro de um quadrado sem
atravessar uma das arestas. No entanto, em R3, podemos fugir
do quadrado subindo (na direção perpendicular ao quadrado);
andando paralelamente ao quadrado para fora dele; e
descendo(na direção perpendicular ao quadrado) retornando ao
plano que contém o quadrado mas no lado de fora dele. Desta
forma saímos de dentro do quadrado sem atravessar nenhuma
das arestas.
Utilizando esta ideia, considere o cubo C ⊂ R4 definido por
C = {(x, y, z, 0) ∈ R4; |x|≤ 1, |y|≤ 1, |z|≤ 1}.
(a) Faça definição análoga em R3 do quadrado e esboce o
conjunto.
(b) Descreva a parametrização de uma curva que comece em
(0, 0, 0, 0) ∈ C e termine fora de C.
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1.33: Estas ideias estão descritas num romance clássico da era vitoriana da
Inglaterra do século XIX: “Flatland”; Edwin A. Abbott; Dover Pub.
(a) C ⊂ R3 definido por C = {(x, y, 0) ∈ R3; |x|≤ 1, |y|≤ 1}, um quadrado no
plano xy em R3.
(b) Defina c(t) = t(0, 0, 0, 1) para t ∈ [0, 1] que sairemos do cubo numa direção
perpendicular. Depois c(t) = (0, 0, 0, 1) + (t− 1)(2, 0, 0, 0) para t ∈ [1, 2] e
c(t) = (2, 0, 0, 1) + (t− 2)(0, 0, 0,−1) para t ∈ [2, 3] que terminaremos em
(2, 0, 0, 0, 0), fora do cubo.
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