Unidade III - Aula 2

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Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 3o Estágio
Cálculo Numérico - Soluções Numéricas
Sistemas de EDO
Aula 9
1 Sistema de E.D.O
1.1 Introdução
O Sistema que vamos discutir são os da forma :

dx
dt
= f (t ,x, y)
onde x = x(t ) e y = y(t )
dy
dt
= g (t ,x, y)
um par de funções que são soluções em (a,b) para as equações. Este sistema aparece coom
frequência em problemas de engenharia.
Se procurarmos soluções de

dx
dt
= f (t ,x, y)
onde x = x(t ) e y = y(t )
dy
dt
= g (t ,x, y)
tal que x(t0) = x0 e y(t0) = y0. Temos um Problema de Valor Inicial para o sistema, que são
mais comum em problemas de tecnologia. Note que os P.V.I’s para sistema consiste de dois P.V.I.
para E.D.O. de primeira ordem com variável independente t e funções x(t ) e y(t ). Assim,
podemos aplicar os métodos numéricos em cada equação do sistema para encontrar soluções
aproximadas do P.V.I.
dx
dt
= f (t ,x, y), dy
dt
= g (t ,x, y); t ∈ [a,b]
Com x(t0) = x0 e y(t0) = y0. são valores conhecidos. Para o caso, vamos exibir dois
métodos, o de Euler( pouca precisão na aproximação) mas rápido em sua execução e o de Runge-
Kutta de quarta ordem que alia rapidez com precisão.
Iniciamos dividindo o intervalo [a,b em n subintervalos iguais de tamanho
b−a
n
. Te-
mos então : a = t0, t1, t2,· · · , tn−1, tn = b e ti+1 = ti +h, para n = 0,1,2, · · · ,n−1.
Curso de Engenharia
©2014
1 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
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Cálculo Numérico - Soluções Numéricas
Sistemas de EDO
2 Método Euler
Fórmulas recursivas :
xi+1 = xi +h · f (ti , xi yi )
yi+1 = yi +h · g (ti , xi yi )
para i = 0, 1, 2, · · · , n−1
3 Método de Runge-Kutta de 4a. Ordem
Fórmulas recursivas
xi+1 = xi + h
6
· (k1+2k2+k3+k4)
yi+1 = yi + h
6
· (l1+2l2+ l3+ l4)
onde :
K1 = f (ti ,xi , yi )
l1 = g (ti ,xi , yi )
K2 = f (ti + h
2
,xi + h
2
k1, yi + h
2
l1)
l2 = g (ti + h
2
,xi + h
2
k1, yi + h
2
l1)
K3 = f (ti + h
2
,xi + h
2
k2, yi + h
2
l2)
l3 = g (ti + h
2
,xi + h
2
k2, yi + h
2
l2)
K4 = f (ti +h,xi +h ·k3, yi +h · l3)
l4 = g (ti +h,xi +h ·k3, yi +h · l3)
para i = 0, 1, 2, · · · , n−1
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2 Prof. Roberto Capistrano
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4 Exemplos Resolvidos
ER 1 Vamos encontrar uma solução aproximada em [0,1] para o sistema :
dx
dt
= t +x2+ y ; x(0)= 1
dy
dt
= t · y2+x ; y(0)= 2
usando os métodos de Euler e Runge-Kutta de quarta ordem, para h = 0,25 e h = 0,1
1 Metodo Euler :
h = 0,25 . Como h = b−a
n
e h = 0,25; a = 0 e b = 1, então n = 4.
Fórmulas Recursivas para o caso
xn+1 = xn +0,25 · (tn +x2n + yn)
yn+1 = yn +0,25 · (tn ∗ y2n +xn)
para n = 0, 1, 2 e x0 = 1 y0 = 2.
Tabela a seguir, foi gerada através do Excel, usando o código VBA(ver código logo abaixo da tabela)
i tn xn yn
0 0 1 2
1 0,25 1,75 2,25
2 0,5 3,140625 3,00390625
3 0,75 6,482483 4,916994095
4 1 18,40488 11,07077062
A solução do sistema via o método é caracterizada pelos tabelas :
t 0 0,25 0,50 0,75 1
x(t) 1 0,75 3,14 6,48 18,40
t 0 0,25 0,50 0,75 1
y(t) 2 2,25 3,004 4,917 11,07
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3 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
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Macro construida pelo Prof. Roberto Capistrano/Prof. José Vicente
Utilizado nas aulas de Cálculo Numérico do UNIPE
Sub Runge_Kutta()
Range("A10:D200").Clear
t = Cells(1, 2).Value
x = Cells(2, 2).Value
y = Cells(3, 2).Value
h = Cells(4, 2).Value
imax = Cells(5, 2).Value
Cells(10, 1).Value = 0
Cells(10, 2).Value = t
Cells(10, 3).Value = x
Cells(10, 4).Value = y
For n = 1 To imax Step 1
F1 = F(t, x, y)
G1 = G(t, x, y)
x = x + h * F1 ’(t, x, y)
y = y + h * G1 ’(t, x, y)
t = t + h
Cells(10 + n, 1).Value = n
Cells(10 + n, 2).Value = t
Cells(10 + n, 3).Value = x
Cells(10 + n, 4).Value = y ’ função em estudo Next n
End Sub
Function F(t, x, y) ’ primeira função
F= t +x2+ y ’ inserir a equação
End Function
Function G(t, x, y) ’segunda função
G= t ∗ (y2)+x ’ inserir a equação exata
End Function
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4 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente