Unidade I - Aula 4

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Engenharia Econômica 
Prof. Bruno Abreu 
 
 
 
 
Material de Apoio 
(Parte – 04) 
 
 
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1. ALGUNS CONCEITOS ELEMENTARES PARA O ENTENDIMENTO 
DE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
 
1.1 JUROS (J) 
 
Pode-se dizer que “Juro” é tido como sendo a remuneração dada a qualquer 
título, ou seja, a remuneração dada pelo uso do capital emprestado, ou pela aplicação do 
capital em determinadas atividades durante um certo período de tempo à uma 
determinada taxa. 
Esse intervalo de tempo usado na aplicação do capital à uma determinada taxa é 
denominado de período financeiro ou período de capitalização. 
A remuneração do capital pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: 
1- De quem paga: nesse caso o juro pode ser chamado de despesa financeira, 
custo, prejuízo, etc.; 
2- De quem recebe: nesse caso podemos entender como rendimento, receita 
financeira, ganho, etc.. 
Na realidade, o juro existe por que os recursos financeiros são escassos, ou seja, 
as pessoas nem sempre possuem recursos financeiros disponíveis para quitar suas 
dívidas à vista o consumir de imediato. 
Ainda, o juro caracteriza-se pela reposição financeira de perdas sofridas com a 
desvalorização da moeda durante o período em que esses recursos estão emprestados. 
 
1.2. UNIDADE DE MEDIDA 
 
Os juros são pré-determinados através de uma taxa percentual, que sempre se 
refere a uma unidade de tempo, podendo este estar delimitado em anos, semestres, 
trimestres, mês, dias, etc.. 
 
1.3. VALOR PRESENTE (VP) OU CAPITAL (C) OU PRESENT VALUE (PV) 
OU PRINCIPAL (P) 
 
 É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada 
operação financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da 
operação financeira. Simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base 
para cálculo dos juros. 
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1.4. TAXA (i) 
 
 É tida como sendo o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital(C), 
que pode ser representado em forma percentual ou unitária. A terminologia “i” vem do 
inglês interest que significa juros. 
Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como por exemplo: 
- taxa de inflação; 
- taxa real de juros; 
- taxa acumulada; 
- taxa unitária; 
- taxa percentual; 
- taxa over; 
- taxa equivalente; 
- taxa nominal, entre outras. 
 
1.5. TAXA DE JUROS (i) 
 
A taxa de juros mede o custo da unidade de capital, no período de tempo a que 
esta se refere. Essa taxa é fixada no mercado de capitais pela variação entre as forças 
que regem a oferta de fundos e a procura de créditos. 
É simplesmente a razão entre os juros pagos ou recebidos e o capital aplicado, num 
determinado período de tempo. 
1.6. PERÍODOS (n) ou PRAZO OU TEMPO 
 É o tempo necessário que um certo capital (PV), aplicado a uma taxa(i), 
necessita para produzir um montante (FV). Neste caso, o período pode ser inteiro ou 
fracionário (não inteiro). 
Vejamos: 
 período inteiro:1 dia, 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial(360 dias), etc. 
 período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. 
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Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um 
período de 15 dias, um período de 4 meses, etc., ou seja, a forma de entendimento dos 
períodos vai depender de como estes estão sendo tratados nos problemas. 
 
1.7 Valor futuro (VF) ou future value (FV) ou montante (M) ou soma (S) no regime 
de capitalização simples 
 
 É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou 
financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) ou 
valor presente (PV) com os juros (J). 
 
2. REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
A palavra de capitalização provém do termo Capital, também chamado de valor 
Principal (PV) e que representa todo o conjunto de meios líquidos (moeda), cedidos 
durante um determinado período (n) e produzindo uma certa remuneração (J) para o seu 
proprietário. Assim, de forma simplista, podemos dizer que uma Capitalização nada 
mais é que o ato de incorporação dos juros ao capital inicial, ou seja, é o incremento do 
valor do capital a medida que o tempo decorre, podendo estes serem subdivididos de 
acordo com os métodos pelos quais os capitais são remunerados. 
Existem duas formas básicas para considerar a evolução da remuneração do 
dinheiro no tempo: 
 Regime de Capitalização Simples – RCS 
Ocorre quando os rendimentos são devidos única e exclusivamente sobre o 
principal, ao longo dos períodos financeiros a que se refere a taxa de juros. 
O regime de capitalização simples comporta-se como uma progressão 
aritmética (PA), com os juros crescendo linearmente ao longo do tempo. 
 Regime de Capitalização Composto – RCC. 
Ocorre quando ao fim de cada período de tempo, a que se refere a taxa de 
juros, os rendimentos são incorporados ao capital anterior e passam, por sua vez, a 
render juros no período seguinte. 
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O comportamento equivale ao de uma progressão geométrica (PG), incidindo 
os juros sempre sobre o saldo apurado no inicio do período imediatamente anterior. 
 
2.1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
2.1.1 Juros Simples 
Juros simples são aqueles calculados somente sobre o capital inicial. Neste 
método de capitalização, os juros de um período não se somam ao capital para o cálculo 
de novos juros nos períodos seguintes. Como os juros não são capitalizados, 
consequentemente, não rendem juros sendo assim constantes em cada período. 
Observe que um capital de R$ 300,00 aplicado a 5% ao período, sempre renderá 
R$ 15,00 por período. Em três períodos, este mesmo capital totalizará como juros a 
quantia de R$ 45,00 conforme demonstrado na figura abaixo: 
 
 Para um melhor entendimento, podemos observar o deslocamento do capital no 
decorrer do tempo a partir da tabela a seguir: 
 
Período (n) Saldo Inicial Juros Saldo Final 
0 300 - 300 
1 300 15 315 
2 315 15 330 
3 330 15 345 
 
Assim, quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial 
é diretamente proporcional ao seu valor (capital) e ao tempo de aplicação. 
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O fator de proporcionalidade é a taxa de juros, sendo que esta varia de forma 
linear ao longo do tempo, ou seja, 1% ao dia é igual a 30% ao mês, que por sua vez é 
igual a 360% ao ano, etc.). 
 
2.1.2 FÓRMULAS DOS JUROS SIMPLES 
 
Tomemos: 
PV - capital inicial ou principal ou valor presente; 
J - juro ou valor monetário da remuneração; 
i - taxa unitária de juros (forma decimal); 
n - tempo de aplicação, ou seja, o número de períodos em que esteve aplicado o 
capital ou valor presente (como o juro simples é dito comercial, usa-se o tempo 
comercial para os cálculos, ou seja, 30 dias no mês e 360 dias no ano). 
 
Logo, como nos juros simples a remuneração pelo capital inicial é diretamente 
proporcional ao seu valor (capital) e ao tempo de aplicação, a fórmula geral para o 
cálculo dos juros simples é dada por: 
 
 
Colocando o PV em evidência, teremos: 
 
Colocando o n em evidência, teremos: 
 
Colocando o i em evidência, teremos: 
 
 
 
Obs. O prazo ou período (n) deve sempre ser expresso na mesma 
unidade de tempo da taxa (i) considerada. 
Sugestão: Sempre altere (n) ao invés de (i) 
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EXEMPLO – 01 
 Um estabelecimento comercial tomou emprestado R$ 5500,00, para pagar dentro 
de 6 meses a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. Determine o valor dos juros a 
serem pagos nessa negociação? 
PV= 5500 i = 0,06 a.m n = 6 J = ? 
J = PV . i . n J = 5500 x 0,06 x 6 = 1980 
 
 
 
 
EXEMPLO – 2 
 Seja um capital de R$ 5000,00 aplicadoa uma taxa de 2% a.m por um prazo de 
2 anos. Determine o juro a ser recebido e o valor futuro. 
PV= 5000 i = 0,02 a.m n = 24 meses J = ? 
J = PV . i . n J = 5000 x 0,02 x 24 = 2400 
FV = PV + J = 5000 + 2400 = 7400 
 
Para o juro: 720 n 24 i 5000 CHS PV f INT 
Para o valor futuro: 720 n 24 i 5000 CHS PV f INT + 
 
 
2.1.2 Fórmula do Valor futuro (VF) ou future value (FV) ou montante (M) ou 
soma (S) no regime de capitalização simples 
 
 Como visto, valor futuro ou montante é a quantidade monetária acumulada 
resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de 
tempo, ou seja, é soma do capital (C) ou valor presente (PV) com os juros (J). 
Assim temos: FV = PV + J 
Como, FV = PV + J e J = PV . i . n, 
Podemos dizer que: 
FV = PV + PV.i.n 
SOLUÇÃO NA HP 
12C 
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 Logo, a fórmula original de capitalização do valor futuro é: 
FV = PV (1+i.n) 
EXEMPLO 03: 
Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 227,25 durante um 
determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada 
foi de R$ 1.426,75? 
Solução algébrica: 
J = 227,25 PV = 1.426,75 FV = ? 
FV = PV + J 
FV = 1426,75 + 227,25 
FV = R$ 1.654,00 
EXEMPLO 04: 
Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um 
capital de R$ 1.525,00 e que gerou um montante de R$ 1.880,75? 
Solução algébrica: 
PV = 1525,00 FV= 1880,75 J= ? 
FV = PV + J 
Logo, 
J = FV - PV 
J = 1880,75 - 1525 
J = R$ 355,75 
 
2.1.3 Fórmula do Valor Presente (PV) no regime de capitalização simples 
 
 Podemos deduzir a fórmula do capital ou valor presente no regime de 
capitalização simples a partir da fórmula do montante ou valor futuro do referido 
regime. 
Solução pela HP-12C 
 
1426,75 
227,25 
 R$ 1654,00 
ENTER 
+ 
Solução pela HP-12C 
 
1880,75 
1525 
 
R$ 355,75 
ENTER 
- 
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Assim, como FV = PV (1+i.n) 
PV= FV / (1+i . n) 
EXEMPLO 05 
 Determinar o valor da aplicação cujo resgate bruto foi de R$95.000,00 por um 
período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação é de 1.77% ao mês. 
PV = ? FV = 95.000 i = 1,77 = 0,0177 n = 3 meses 
 
 PV= FV / (1+i . n) PV = 95000 / (1 + 0,0177 x 3) 
 PV = 95000 / 1,0531 = 90.290,86 
 
95000 ENTER 1 ENTER 0,0177 ENTER 3 X + ÷ 
2.1.4 Juro Comercial e Juro Exato 
 Nos cálculos dos Juros Exatos e dos Juros Comerciais, embora as taxas sejam 
expressas em termos anuais, os prazos são fixados em dias, implicando no cálculo da 
taxa de juros por dia, se apresentando na forma de juros exatos e juros comerciais. 
 
2.1.4.1 Juro Comercial (ou ordinário) 
É aquele que é calculado ao se adotar como premissa o ano comercial que 
compreende 360 dias. 
Nesse caso, devemos considerar sempre um mês de 30 dias, e, sendo assim, um 
ano comercial vai ter sempre 360 dias. 
O mesmo é dado pela seguinte fórmula: 
 
 
EXEMPLO 06 
Um capital de R$ 2000,00 foi emprestado por 2 meses, à taxa de juros comercial 
de 3% ao mês. Qual o valor dos juros recebidos? Qual o montante ou valor futuro? 
 
SOLUÇÃO NA HP 
12C 
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EXEMPLO 07 
 Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/01/2013 e foi paga em 
15/02/2013, totalizando 45 dias com taxa de juro comercial de 48% ao ano. Determine o 
valor do juro pago nesta operação. 
PV = 14.500 i = 48% = 0,48 n = 45 dias 
Je = (PV. n . i)/360 
Je = (14.500 x 0,48 x 45)/ 360 
Je = 870 
 
2.1.3.2 Juro Exato 
 
 Podemos denominar de juro exato aquele juro que é obtido quando o período 
(n) está expresso em dias e quando é adotada a convenção de ano civil, ou seja o ano 
contendo 365 dia ou 366 caso este seja bissexto. 
O mesmo é dado pela seguinte fórmula: 
 
EXEMPLO 08 
Determine o juro exato de um capital de R$50.000,00 que é aplicado por 60 dias, 
à taxa de 36% ao ano. 
PV = 50.000 n = 60 dias i = 36%a.a = 0,36 
Je = (50.000 . 0.36 . 60) / 365 = 2958,90 
 
 
 
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2.1.4 PERIODOS NÃO INTEIROS 
 
 É o simplesmente o cálculo de juros para períodos fracionários. 
 A solução para este tipo de operação pode ser obtida de duas formas: 
1- Cálculo da parte inteira somado ao cálculo da fração de período com uma taxa 
proporcional 
2- Cálculo empregando o número fracionário. 
 
EXEMPLO 09 
 Determinar o juro e o montante de um capital de R$1000,00 que é aplicado à 
taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses. 
 
SOLUÇÃO 01 
J = ? i = 12% a.s = 24% a.a. n= 5anos e 9 meses. 
J1 = PV . i . n1 
J1= 1000 x 0.24 x 5 = 1200 
J2 = 1000 x 0,24 x 0,75 = 180 
Jtotal = J1 + J2 = 1200 + 180 = 1380 
 
FV = PV + J = 1000 + 1380 = 2380 
 
SOLUÇÃO 02 
 
J = ? i = 12% a.s = 24% a.a. n= 5anos e 9 meses = 5,75 anos 
J = PV . i . n 
J1= 1000 x 0.24 x 5,75 = 1380 
 
FV = PV + J = 1000 + 1380 = 2380