2018328 192346 Class+3+MHSAF

Prévia do material em texto

Física: Ondulatória
Aula 3 – MHS Amortecido e Forçado.
Prof. Sandro: sandro.quirino@etep.edu.br
Objetivos:
Conhecer, compreender e aplicar os 
conceitos de ondas mecânica 
através de exercícios analise de 
aplicações.
3
Oscilações amortecidas
y
z
P

ael FF


0
0
0
2
0 





vzz
v
m
b
z
m
k
z
bvkzzm
bvkzzm
bvFkzF
maFFF
ael
aelRz




0z
z
4
Oscilações amortecidas
Solução Proposta:
2
0
2
2
0
2
22
42
0
)()(
)()(
)(








p
pp
tzpAeptz
tpzpAetz
Aetz
pt
pt
pt


Amortecimento subcrítico
 0
2


   
 

tAetz
t
cos2
4
2
2
0

 
Amortecimento crítico
 0
2

    tt etBAetz 00    02


Amortecimento supercrítico
    

tt
t
BeAeetz 

2
 20
2
4



Coeficiente de amortecimento
5
Oscilações Forçadas
)(tF

y
z
P

)(tFF extel


)cos(
)cos(
)cos(
)cos(
)cos(
02
0
0
0
0
0
t
m
F
zz
t
m
F
z
m
k
z
tFkzzm
tFkzzm
tFF
kzF
maFFF
ext
el
extelRz
















Solução da equação 
diferencial:
)()()( tytyty phg 
)(tyh
Solução homogênea, 
sem fonte externa. É 
chamada de solução de 
estado de transiente.
)(ty p
Solução não homogênea, 
com fonte externa. 
- Solução de estado 
estacionário. 
- Solução particular.
6
Oscilações Forçadas
       tBtAty p sincos
Solução particular proposta:

Frequência da fonte externa.

Constante de fase. )cos(0 tFFext 
   
 











22
0
22222
0
0
tan)(
)(
cos






arc
m
F
A
tAty p
Curva de ressonância
7
1) (ex. 57 – 9ª ed.) A amplitude de um oscilador amortecido decresce 3,0% durante
cada ciclo. Qual é a porcentagem de perda da energia mecânica do oscilador a cada
ciclo? Resp. 6,0%
8
2) (ex. 58 – 9ª ed.) Considere um oscilador amortecido com massa m = 250g, k = 85
N/m e b = 70 g/s. Sabendo que T=0,34s, qual é a razão entre a amplitude no
oscilador amortecido no inicio com relação a amplitude após 20 ciclos? Resp. 0,39
9
3) (ex. 59 – 9ª ed.) Na figura abaixo, o bloco de massa m = 1,5 kg e constante de
massa k = 8,0 N/m. A força de amortecimento é F = -b(dx/dt), onde b = 230 g/s. O
bloco é puxado para baixo, 12 cm, e então liberado para oscilar. A) Calcule o tempo
necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua 1/3 do valor
inicial? B) Quantas oscilações são realizadas pelo bloco durante este tempo?
27,5);3,14).  NBstAR
10
4) (ex. 60 – 9ª ed.) O sistema de suspenção de massa m = 2,0 kkg, desce 10 cm,
quando o chassi é colocado sobre ele. A oscilação decresce 50% em cada ciclo.
Estime o valor de A) a constante da mola k; B) o coeficiente de amortecimento b do
sistema, assumindo que cada pneu suporta até 500 kg.
skgbBcmNkAR /101,1);/109,4). 32 
11
5) (ex. 61 – 9ª ed.) A figura ao lado representa um sistema cuja amplitude é dada
por
2/1222222 ])([ dd
m
m
bm
F
x  
Onde Fm representa a amplitude da força externa. Na Ressonância, A) calcule a
amplitude; B) a amplitude da velocidade de oscilação do objeto.
bFvBbFxAR mmmm /);/).  
12
6) (ex. 62 – 9ª ed.) Nove pêndulos são suspensos formando um “feixe” horizontal
com os seguintes comprimentos: A) 0,10; B) 0,30; C) 0,40; D) 0,80; E)1,2; F)2,8;
G)3,5; H) 5,0; I) 6,2 m. Suponha que o suporte comece a oscilar na direção
horizontal, com frequência angular entre 2,0 e 4,0 rad/s. Qual dos pêndulos realizará
deslocamento máximo?
)()( eedR
13
7) (ex. 63 – 9ª ed.) Um carro de 1000 kg com 4 ocupantes de 82 kg cada um, viaja
em uma estrada de terra com costeletas separadas por uma distância de 4,0 m. O
carro trepida com amplitude máxima quando está a 16 km/h. Quando o carro pára,
e os ocupantes saltam, qual é a variação da altura do carro. Considere que as
costeletas funcionam como uma força externa oscilante cuja frequência depende da
sua separação (4,0 m) e da velocidade do carro.
mzR 050,0
14
8) (ex. 67 – 9ª ed.) Três carros de transportar minério, de 10.000 kg cada, estão em
repouso num trilho ferroviário de mina, inclinado de 30,0 0, sustentados por um cabo
paralelo à inclinação. Observa-se que o cabo tem a distensão de 15,0 cm
exatamente antes de quebrar-se o engate entre os carros, liberando um deles. A)
Determine a freqüência de oscilação resultante dos dois carros remanescentes, e B)
a amplitude das oscilações dos dois carros restantes.
mxBHzfAR 050,0);1,1) 
15
9) (ex. 69 – 9ª ed.) O pistão na cabeça do cilindro de uma locomotiva possui um
curso (duas vezes a amplitude) de 0,76 m. Se o pistão se mover em um movimento
harmônico simples com frequência angular de 180 rpm, qual será a sua velocidade
máxima?
smvAR /2,7) 
16
10) (ex. 70 – 9ª ed.) Uma roda é livre para girar no entorno de seu eixo. Uma mola é
inserida em um dos raios e ligada a parede, como mostra a figura abaixo. A mola é
fixada a uma distância r do eixo da roda. Considere que a roda tem massa m e raio
R. A) Obtenha a frequência angular das pequenas oscilações deste sistema em
termos de m, R, r e a constante da mola. Qual é a frequência angular se B) r = R?;
C) r = 0?
0););)   C
m
k
B
m
k
R
r
AR
17
11) (ex. 81 – 9ª ed.) A OHS consiste de um bloco de massa m = 0,5 kg preso a uma
mola. O bloco oscila ao longo de uma superfície sem atrito com ponto de equilíbrio
em x = 0. Em t = 0 s, o bloco move-se na direção positivo do eixo x. Um gráfico da
magnitude da força no bloco como função da posição é mostrado na figura abaixo.
A escala vertical do eixo é Fs = 75,0 N. Quais são A) a amplitude do deslocamento
máximo; B) o período de movimento; C) a magnitude da aceleração máxima; D)
energia cinética máxima?
JKDsmaC
sTBmxAR
m
m
11);/105,1)
;28,0);3.0)
25 

18
12) (ex. 95 – 9ª ed.) Um engenheiro tem um objeto de forma estranha com massa
= 10 kg. Ele precisa encontrar o momento de inércia no entrono do eixo que passa
através do seu centro de massa. Objeto é suportado por uma arame esticado ao
longo do eixo desejado. O arame tem um coeficiente de torção k = 0,5 N m. Se este
pêndulo de torção oscila através de 20 ciclos em 50 segundos, qual é o momento de
inércia rotacional do objeto?
2079.0 mkgIR CM 
19
13) (ex. 104 – 9ª ed.) Um OHAM consiste de um bloco de massa m = 2,00 kg, uma
mola constante k = 10,0 N/m, e uma força de amortecimento F = -bv. Inicialmente,
ele oscila com uma amplitude de 25 cm. Devido ao amortecimento, a amplitude cai
3/4 do valor inicial quando completa a quarta oscilação. A) qual é o valor de b?; B)
Quanto de energia é perdida neste processo?
JEBskgbAR 137,0);/102.0) 
20
14) (ex. 107 – 9ª ed.) A frequência de vibração em sólidos a temperatura normal são
da ordem de 1013 Hz. Considere que os átomos são conectados por molas.
Suponha que um átomo de prata em um sólido vibra com esta frequência e que
todos os outros átomos estão em repouso. Calcule a constante efetiva da mola. Um
mol de prata tem 6,02 x 1023 átomos e massa m = 108 g.
mNkAR /100.7) 2
15) Um oscilador harmônico não amortecido, trabalhando em fase nula, possui
massa m = 15 kg e rigidez k = 600 kN/m. Determinar a amplitude da resposta a
uma força harmônica de amplitude F0= 30 N e freqüência:
sradbsrada/190)/50)  
 )( mola tFFMa  )( tFkxxM 
 )( tFx
M
k
x  mtFxx /)( 
2
0
 )cos()( 0 tFtF   mtFxx /)cos( 020 
 )cos()( 0 tXtx 
Solução:
16) Um oscilador harmônico possui massa m = 15 kg, constante de amortecimento
b = 1200 N.s/m, e rigidez 600000 N/m. Determinar a amplitude da resposta a uma
força harmônica de magnitude F0 = 30 N e freqüência:
sradbsrada /190)/50)  
17) Um oscilador harmônico amortecido, possui massa de 250 g, k = 85 N/m e b =
70 g/s. A) Determinar o período do movimento. B) Quanto tempo é necessário
para que a amplitude de oscilação se reduza pela metade. c) Determinar quanto
tempo é necessário para que a energia mecânica se reduza pela metade.

4
2
2
0


a)

2
2
)25,0(4
)07,0(
25,0
85
sT 34,0
2



s
rad
4,18
18) Considere um pêndulo de comprimento L com uma bola de massa M. A bola
está presa a uma mola de constante k. Admita que o pêndulo e a mola estão
simultaneamente em equilíbrio. Determine  para pequenas oscilações deste
sistema.
19) Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 0,3 kg e rigidez k =
1 kN/m. Determinar a magnitude da força atuante que produz uma vibração com
amplitude 0,5 mm e freqüência 377 rad/s.
20) O núcleo móvel do relé eletromagnético mostrado na abaixo possui massa m =
12 gr. Ele está apoiado na extremidade inferior na mola de rigidez k = 3000 N/m e
na extremidade superior, na posição de contato fechado, lâminas elásticas que
proporcionam o contato elétrico possuem rigidez total de 1200 N/m, na direção do
movimento do núcleo. Uma força harmônica causada pelo campo elétrico, de
magnitude 1,3 N atua ao longo do eixo do núcleo na freqüência síncrona de 60 Hz.
Determinar a amplitude de vibração do núcleo, desprezando o amortecimento.



)( 220
0
0 m
F
X
5211,0 mm
21) Podemos considerar que um automóvel esteja montado sobre quatro molas
idênticas, no que concerne às suas oscilações verticais. As molas de um certo
carro estão ajustadas de forma que as vibrações tenham uma frequência de
3,0Hz. A) Qual a constante de elasticidade de cada mola, se a massa do carro é
de 1450 kg e o peso está homogeneamente distribuído entre elas? B) Qual será a
frequência de vibração se cinco passageiros, com média de 73 kg cada um,
estiverem no carro? (Novamente, considere uma distribuição homogênea d
massa.)
22) A figura abaixo mostra a energia cinética de um oscilador harmônico simples em
função da posição, dada em cm. A escala vertical é definida por Ks = 4,0 J. A) Qual é
a constante elástica da mola? B) Sabendo que o período de oscilação vale 2 s,
determine o valor da velocidade máxima.
Para medir uma força harmônica causada por um desbalanceamento em um
compressor de ar de pistão de massa 80 kg, como ilustra a figura abaixo, um
engenheiro montou o mesmo sobre uma plataforma de massa 50 kg que pode
oscilar horizontalmente sem atrito, por meio de um suporte elástico com rigidez na
direção horizontal 3500 N/m.
A amplitude de vibração medida na freqüência de operação foi de 0,0005 m.
Considere situação de estado estacionário.
a) Encontre a equação de movimento da sistema.
b) Calcule a amplitude da força de desbalanceamento horizontal,
desconsiderando o amortecimento.
c) Graficamente, qual é a frequência de ressonância do sistema?
Exercício: entregar na U1
30