Primeira Lista de Exercícios

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PONTI´FICIA UNIVERSIDADE CATO´LICA DE GOIA´S - PUC-GO
Disciplina: Probabilidade e Estat´ıstica
Prof.: Daniel Antoˆnio
1a LISTA DE EXERCI´CIOS
Obs1: A lista deve ser entregue na primeira aula depois da avaliac¸a˜o P1. O exerc´ıcio n◦ 1 deve ser feito
por todos os alunos. O aluno escolhe nove exerc´ıcios para serem feitos e entregues para o professor.
Regra, entre os exerc´ıcios 1 ate´38 voceˆs escolhem quatro exerc´ıcios. E entre os exerc´ıcios 39 ate´ o 70
voceˆs escolhem cinco exerc´ıcios.
Obs2:Este exerc´ıcio e´ individual.
(1) Seja E o experimento lanc¸ar um dado e no final observar a face de cima do dado. Este experimento
deve ser realizado em duas etapas. Primeira etapa: realize 10 lanc¸amentos e anote a sequeˆncia
das faces. Calcule a frequeˆncia relativa de sair face 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Segunda etapa: realize mais 10
lanc¸amentos (num total de 20 repetic¸o˜es)e anote a sequeˆncia das faces. Calcule a frequeˆncia relativa de
sair face 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Terceira etapa: realize mais 10 lanc¸amentos (num total de 30 repetic¸o˜es)e
anote a sequeˆncia das faces. Calcule a frequeˆncia relativa de sair face 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
(2) Uma moeda e um dado sa˜o lanc¸ados. Deˆ o espac¸o amostral correspondente.
(3) Considere o espac¸o amostral Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B =
{4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {0, 2, 4, 6, 8} e D = {1, 3, 5, 7, 9}. Por enumerac¸a˜o, liste os elementos dos seguintes
conjuntos.
a) A ∩B = b) A ∪B = c) A =
d) C = e) C ∩D = f) A ∪ C =
g) B ∩D =
(4) Dois dados, um azul e um verde, sa˜o lanc¸ados e ao final observa os resultados. Definem-se os eventos:
A = soma dos pontos obtidos e´ igual a 9,
B = o ponto do dado azul e´ maior ou igual a 4.
Responda:
a) Determine o espac¸o amostral?
b) Determine os eventos A e B.
c) Determine os eventos A ∪B, A ∩B e A.
(5) Diodos de um lote sa˜o testado, um de cada vez, e marcados como defeituosos ou na˜o-defeituosos.
Isso e´ feito ate´ que dois itens defeituosos sejam encontrados ou cinco itens sejam testados. Descreva o
espac¸o amostral desse experimento.
(6) Por acidente, um qu´ımico combinou duas substaˆncias do laborato´rio, resultando em um produto
deseja´vel. Infelizmente, o assistente na˜o registrou os nomes das substaˆncias. Ha´ 40 substaˆncias dis-
pon´ıveis no laborato´rio. Se as duas em questa˜o devem ser localizadas por tentativa e erro, qual e´ o
nu´mero ma´ximo de testes a ser realizado?
(7) Um dispositivo eletroˆnico e´ ensaiado e o tempo total da vida u´til t e´ registrado. O espac¸o amostral
e´ dado por Ω = {t|t ≥ 0}. Sejam A,B e C treˆs eventos definidos da seguinte maneira:
A = {t|t < 100};B = {t|50 ≤ t ≤ 200} e C = {t|t > 150}. (1)
Responda:
a) A ∪B = b) A ∩B = c) B ∪ C =
d) B ∩ C = e) A ∩ C = f) A ∪ C =
g) A = h) C =
(8) Determine o espac¸o amostral de cada um dos seguintes experimentos aleato´rios:
a) Lanc¸amento de dois dados e anota-se a configurac¸a˜o obtida.
b) Numa linha de produc¸a˜o conta-se o nu´mero de pec¸as defeituosas num intervalo de uma hora.
Onde nesta linha de produc¸a˜o fabrica-se 50 pec¸as por hora.
c) Em um lote de 1500 parafusos temos 270 parafusos defeituosos e 1230 parafusos perfeitos. Retira-
se treˆs parafusos e anota-se a configurac¸a˜o obtida.
d) Mede-se a durac¸a˜o de va´rias laˆmpadas, deixando-as acesas ate´ que se queimem.
e) Numa entrevista telefoˆnica com 250 assinantes, anota a quantidade de filhos que o assinante tem.
f) Numa entrevista telefoˆnica com 200 assinantes, anota a altura em metros do assinante.
g) Um relo´gio mecaˆnico pode parar a qualquer momento por falha te´cnica. Mede-se o aˆngulo (em
graus) que o ponteiro dos segundos forma com o eixo imagina´rio orientado do centro ao nu´mero
12.
h) De cada famı´lia entrevistada numa pesquisa, anota-se, se o(a) dono(a) da casa tem filhos e o
estado civil da pessoa(solteiro, casado, desquitado ou viu´vo).
(9) Determinado composto qu´ımico e obtido pela mistura de 5 l´ıquidos diferentes. Propo˜e-se despejar
um l´ıquido em um tanque e, em seguida, juntar os outros l´ıquidos sucessivamente. Todas as sequeˆncias
poss´ıveis devem ser, ensaiadas, para verificar-se qual delas dara´ o melhor resultado. Quantos ensaios
devera˜o ser efetuados?
(10) Ha´ 3 estradas ligando as cidades A e B, e ha´ 5 estradas ligando B e C. De quantas maneiras se
pode ir de A ate´ C, passando por B? Resp. 15
(11) Um inspetor visita 6 ma´quinas diferentes durante um dia. A fim de evitar que os opera´rios saibam
quando ele os ira´ inspecionar, o inspetor varia a ordenac¸a˜o de suas visitas. De quantas maneiras isto
podera´ ser feito? Resp. 720
(12) Uma construtora tem 10 engenheiros civis disponiveis para executar uma obra. A prefeitura de
uma cidade vai realizar uma obra no qual necessitara´ de 3 engenheiros civis. De quantos modos podemos
formar grupos de treˆs engenheiros para realizar a obras dessa prefeitura?
(13) Considere os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7, responda as questo˜es abaixo:
a) Quantos nu´meros de quatro algarismos distintos comec¸am pelo nu´mero 3?
b) Quantos nu´meros pares de quatro algarismos distintos podemos formar?
2
(14) Um menino lanc¸a treˆs vezes um dado de 6 faces. Quantos resultados sa˜o poss´ıveis?
(15) Considere os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos nu´meros ı´mpares de quatro algarismos podemos
formar?
(16) Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas ele podera´ vestir
um terno, uma camisa e um par de sapatos?
(17) Uma mulher possui 10 brincos, 8 cores de batom, 15 vestidos e 9 pares de saltos. De quantas
formas ela se arrumara´ com um brinco, uma cor de batom, um vestido e um par de saltos?
(18) Um automo´vel e´ ofericido pelo fabricante em 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre
os motores 2000cc e 4000cc. Sabendo-se que os automo´veis sa˜o fabricados nas verso˜es ”standard”,
”luxo”e ”superluxo”, quantas sa˜o as alternativas do comprador?
(19) Responda as questo˜es abaixo:
a) Calcule A7,4 =
b) Calcule C7,4 =
c) Calcule P6 =
d) Calcule o valor de n tal que
(n + 1)! + (n− 1)!
(n− 1)! = 21.
e) Calcule o valor de n tal que
(n + 1)! + n!
n!
= 8.
f) Calcule o valor de n tal que An+3,2 = 42.
g) Calcule o valor de n tal que An,4 = 12.An,2.
h) Calcule o valor de n tal que
(n!)2
(n + 1)!(n− 1)! =
4
5
.
(20) Na Copa do Mundo temos 32 selec¸o˜es disputando pelo tac¸a de Campea˜o. Responda as questo˜es
abaixo:
a) Quantos resultados sa˜o poss´ıveis considerando somente os treˆs primeiros lugares?
b) Quantos resultados sa˜o poss´ıveis para os treˆs primeiros lugares, considerando o Brasil em primeiro
lugar.
(21) Com relac¸a˜o a` palavra TEORIA, responda:
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas comec¸am por T?
c) Quantos anagramas comec¸am por T e terminam com A?
d) Quantos anagramas comec¸am por vogal?
e) Quantos anagramas teˆm as vogais juntas?
3
(22) As placas de carros sa˜o formadas por treˆs letras e quatro nu´meros (Ex. NBX-7538). Conside-
rando todas as letras do nosso alfabeto incluindo K, W e Y e todos os nu´meros de zero a nove, responda
as questo˜es abaixo:
a) Considerando que as letras e nu´meros podem repetir, quantas placas existem?
b) Considerando letras e nu´meros distintos, quantas placas existem?
(23) A senha de um carta˜o eletroˆnico e´ formada por duas letras distintas seguidas por uma sequeˆncia
de treˆs algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser ”confeccionadas”?
(24) Os alunos Ma´rcio, Abel, Jose´, Lu´ıs, Pedro e Tiago participam de um concurso na faculdade em
que sera˜o sorteados treˆs notebook ideˆnticos. Quantos sa˜o os poss´ıveis resultados do concurso?
(25) Na universidade formaram um grupo de 18 alunos, sendo 10 homens e 8 mulheres.
a) Quantas comisso˜es de dois homens e duas mulheres podem ser formadas?
b) Quantas comisso˜es de quatro alunos tem pelomenos um homem?
(26) Marcam-se cinco pontos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a reta r, marcam-se mais
quatro pontos. Quantos triaˆngulos podem ser formados com ve´rtices em treˆs quaisquer desses pontos?
(27) Um baralho conte´m 52 cartas. De quantas maneiras podera˜o ser sorteadas simultaneamente quatro
cartas, de modo que o sorteio contenha:
a) dois reis e duas damas?
b) o rei de copas?
(28) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular com cinco cadeiras?
(29) Resolva a equac¸a˜o An,3 = Cn+1,2.
(30) Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode ser aberta?
(31) Uma construtora tem 20 profissionais disponiveis para executar uma obra. Sendo 7 engenheiros
civis, 5 engenheiros eletricistas, 4 engenheiros ambientais e 4 arquitetos. A prefeitura de uma cidade vai
realizar uma obra no qual necessitara´ de 3 engenheiros civis, 2 engenheiros eletricistas, 3 engenheiros
ambientais e 2 arquitetos. De quantos modos podemos formar grupos para realizar a obras dessa
prefeitura?
(32) Uma escola particular trabalha somente com aulas para alunos do ensino me´dio. Esta escola
tem dispon´ıvel 5 professores de Matema´tica, 4 professores de F´ısica e 4 professores de Qu´ımica. Ela
selecionara´ treˆs professores de cada disciplina para dar aulas no 1◦ ano, no 2◦ ano e no 3◦ ano. De
quantos modos podemos escolher os professores para trabalhar nestes escola?
(33) Um lote de 140 chips semicondutores e´ inspecionado, escolhendo-se uma amostra de cinco chips.
Suponha que dez dos chips na˜o obedec¸am aos requerimentos dos consumidores.
a) Quantas amostras diferentes sa˜o poss´ıveis?
b) Quantas amostras de cinco chips conteˆm exatamente um chip que na˜o obedec¸a aos requerimentos
do consumidor?
4
c) Quantas amostras de cinco chips conteˆm no mı´nimo um chip que na˜o obedec¸a aos requerimentos
do consumidor?
(34) Quantas diagonais tem um pentadeca´gono convexo?
(35) Os nu´meros dos telefones de uma cidade sa˜o constitu´ıdos de 6 d´ıgitos. Sabendo que o primeiro
d´ıgito nunca pode ser zero, se os nu´meros dos telefones passarem a ser de 7 d´ıgitos, o aumento poss´ıvel
na quantidade de telefones sera´:
a) 81.103 b) 90.103 c) 81.104 d) 81.105 e) 90.105
(36) Um banco de sangue catalogou 50 doadores, assim distribu´ıdos: 19 com sangue do tipo O, 23 com
fator Rh− e 11 com tipo diferente de O e com fator Rh+. De quantos modos pode-se selecionar treˆs
doadores desse grupo que tenham sangue de tipo diferente de O, mas que tenham fator Rh−?
a) 1140 b) 2280 c) 4495 d) 5984 e) 6840
(37) Uma urna conte´m duas bolas brancas (B) e treˆs bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso
da urna. Se for branca, lanc¸a-se uma moeda; se for vermelha, ela e´ devolvida a` urna e retira-se outra
bola. Deˆ um espac¸o amostra para o experimento.
(38) Tomam-se dez pontos sobre uma circunfereˆncia. Quantos triaˆngulos podemos construir com ve´rtices
nesses pontos?
(39) Considere o espac¸o amostral Ω = {a1, a2, a3, a4} e a distribuic¸a˜o de probabilidade, tal que: p1 =
p2 = p3 e p4 = 0, 1. Responda:
a) Calcule p1, p2 e p3.
b) Seja A o evento A = {a1, a3}.
c) Calcule P (A).
d) Seja B o evento B = {a1, a4}. Calcule P (A).
e) Calcule P (A ∪B) e P (A ∩B).
f) Calcule P (A ∪B). e P (A ∩B)
(40) Considere uma urna que conte´m vinte bolas ideˆnticas, no qual 2 bolas sa˜o amarelas, 6 bolas verdes
e 12 bolas brancas. Considere o experimento retirar uma bola de forma aleato´ria e observar a sua cor,
qual e´ a probabilidade:
a) escolher uma bola branca.
b) escolher uma bola verde.
c) escolher uma bola amarela.
(41) Na tabela abaixo temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma univer-
sidade em um dado ano.
Homens (H) Mulheres (M)
Direito (D) 70 40
Administrac¸a˜o (A) 15 15
Cieˆncias Contabeis (C) 10 20
Economia (E) 20 10
5
a) Calcule a probabilidade de um aluno ser da Cieˆncias Contabeis.
b) Calcule a probabilidade de um aluno ser homem.
c) Calcule a probabilidade de um aluno ser da Administrac¸a˜o e homem.
d) Calcule a probabilidade de um aluno ser da Administrac¸a˜o ou homem.
c) Calcule a probabilidade de um aluno ser do Direito ou da Economia.
(42) Consideremos um experimento aleato´rio e os eventos A e B associados, tais que P (A) = 1
3
,
P (B) = 1
6
e P (A ∩B) = 1
10
. Calcule:
a) P (A) = b) P (B) =
c) P (A ∪B) = d) P (A ∩B) =
e) P (A ∪B) = f) P (A ∩B) =
(43) Uma pec¸a moldada por injec¸a˜o e´ igualmente prova´vel de ser obtida, a partir de qualquer uma das
oito cavidades de um molde.
a) Qual e´ o espac¸o amostral?
b) Qual e´ a probabilidade de a pec¸a ser proveniente da cavidade 1 ou 2?
c) Qual e´ a probabilidade de a pec¸a na˜o ser proveniente nem da cavidade 3 e nem da 4?
(44) Uma urna conte´m 500 bolinhas numeradas, de 1 a 500. Uma bolinha e´ escolhida e observado o seu
nu´mero. Responda:
a) Qual e´ a probabilidade de observarmos um mu´ltiplo de 3 e de 6?
b) Qual e´ a probabilidade de observarmos um mu´ltiplo de 3 ou de 6?
c) Qual e´ a probabilidade de observarmos um nu´mero que na˜o e´ mu´ltiplo de 7?
(45) Um dado e´ viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um nu´mero na face de cima e´
proporcional a esse nu´mero. Responda:
a) Qual e´ a probabilidade de ocorrer nu´mero par?
b) Qual e´ a probabilidade de ocorrer nu´mero maior ou igual a 5?
(46) Suponha que num lote com 20 pec¸as existam cinco defeituosas. Escolhemos quatro pec¸as do lote
ao acaso, qual e´ a probabilidade de sair duas pec¸as com defeito?
(47) O jogo da Megasena consiste em escolher 6 dezenas dentre as 60 dezenas (1, 2, 3, . . . , 59, 60). O
jogador pode marcar num carta˜o de 6 a 15 dezenas. Considerando que numa cartela com 6 dezena o
jogador ira´ pagar R$ 2, 50, se o jogador marcar 9 dezenas o custo do jogo sera´ de R$ 210, 00 reais, por
queˆ e´ esse valor?
(48) De um baralho de 52 cartas, uma e´ extra´ıda ao acaso. Sejam os eventos:
A e´ o evento a carta e´ de copas,
B e´ o evento a carta e´ um rei,
C e´ o evento a carta e´ um rei ou uma dama.
Responda:
6
a) A e B sa˜o independentes?
b) A e C sa˜o independentes?
c) B e C sa˜o independentes?
(49) Em uma bateria de NiCd, uma ce´lula completamente carregada e´ composta de Hidro´xido de
Nı´quel. Nı´quel e´ um elemento que tem mu´ltiplos estados de oxidac¸a˜o, sendo geralmente encontrado nos
seguintes estados:
Carga do n´ıquel Proporc¸o˜es encontradas
0 0, 17
+2 0, 35
+3 0, 33
+4 0, 15
a) Qual e´ a probabilidade de uma ce´lula ter no mı´nimo uma das opc¸o˜es de n´ıquel carregado positi-
vamente?
b) Qual e´ a probabilidade de uma ce´lula na˜o ser composta de uma carga positiva de n´ıquel maior do
que +3?
(50) Disco de pla´stico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, sa˜o analisados com relac¸a˜o a`
resisteˆncia a arranho˜es e a choque. Os resultados de 100 discos esta˜o resumidos a seguir:
Resisteˆncia a choque
Alta Baixa
Resisteˆncia a Alta 70 9
arranho˜es Baixa 16 5
Seja A o evento em que um disco tenha alta
resisteˆncia a choque e seja B o evento em que um disco tenha alta resisteˆncia a arranho˜es. Determine
as seguintes probabilidades:
a) P (A) b) P (B)
c) P (A|B) d) P (B|A)
(51) Uma cidade tem 50000 habitantes e 3 jornais A,B e C. Sabe-se que:
15000 leˆem o jornal A,
10000 leˆem o jornal B,
8000 leˆem o jornal C,
6000 leˆem os jornais A e B,
4000 leˆem os jornais A e C,
3000 leˆem os jornais B e C,
1000 leˆem os treˆs jornais.
Uma pessoa e´ selecionada ao acaso. Responda:
a) Qual e´ a probabilidade de que a pessoa leia pelo menos um jornal?
b) Qual e´ a probabilidade de que a pessoa leia so´ um jornal?
c) Qual e´ a probabilidade de que a pessoa leia pelo menos dois jornais?
d) Qual e´ a probabilidade de que a pessoa leia exatamente dois jornais?
e) Qual e´ a probabilidade da pessoa na˜o ler o jornal?7
(52) De um grupo de 200 pessoas, 160 teˆm fator Rh positivo, 100 teˆm sangue tipo O e 80 teˆm fator
Rh positivo e sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, responda:
a) Qual e´ a probabilidade do sangue de uma pessoa ter fator Rh positivo?
b) Qual e´ a probabilidade do sangue de uma pessoa na˜o ser do tipo O?
c) Qual e´ a probabilidade do sangue de uma pessoa ter fator Rh positivo ou ser do tipo O?
(53) Uma urna I tem 2 bolas vermelhas (V) e 3 brancas (B), outra urna II tem 3 bolas vermelhas e
uma branca e a urna III tem 4 bola vermelhas e 2 brancas. Uma urna e´ selecionada ao acaso e dela e´
extra´ıda uma bola. Qual e´ a probabilidade de a bola ser vermelha?
(54) Sejam A e B dois eventos tais que P (A ∩B) = 0, 8 e P (A ∩B) = 0, 1. Calcule P (A).
(55) Em um lote da fa´brica A existem 18 pec¸as boas e 2 defeituosas. Em outro lote da fa´brica B, existem
24 pec¸as boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fa´brica C existem 38 pec¸as boas e 2 defeituosas. Um
dos 3 lotes e´ sorteado ao acaso e dele e´ extra´ıdo uma pec¸a ao acaso. Responda:
a) Qual e´ a probabilidade de a pec¸a ser boa?
b) Qual e´ a probabilidade de a pec¸a ser defeituosa?
(56) Em um jogo de cara ou coroa, em cada tentativa a moeda e´ lanc¸ada 3 vezes consecutivas. Uma
tentativa e´ considerada um sucesso se o nu´mero de vezes que se obte´m cara supera estritamente o
nu´mero de vezes que se obte´m coroa. Qual e´ a probabilidade de serem obtidos 2 sucessos nas 2 primeiras
tentativas.
(57) Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outra urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 pretas.
Uma urna e´ escolhida ao acaso e dela e´ escolhida uma bola tambe´m ao acaso. Responda:
a) Qual e´ a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?
b) Qual e´ a probabilidade de observarmos urna II e bola preta?
(58) Uma caixa conte´m 3 moedas MI ,MII e MIII . A MI e´ honesta, a MII tem duas caras e a MIII
e´ viciada de tal modo que caras sa˜o duas vezes mais prova´veis que coroas. Um moeda e´ escolhida ao
acaso e lanc¸ada, responda:
a) Qual e´ a probabilidade de observarmos moeda MI e cara?
b) Qual e´ a probabilidade de observarmos cara?
c) Se o resultado final foi cara, qual a probabilidade de que a moeda lanc¸ada tenha sido MI .
(59) Se o u´ltimo d´ıgito de uma medida de peso for igualmente prova´vel de ser qualquer um dos d´ıgitos
de 0 a 9,
a) Qual e´ a probabilidade de que o u´ltimo d´ıgito seja 0?
b) Qual e´ a probabilidade de que o u´ltimo d´ıgito seja maior que ou igual a 5?
8
(60) Numa bolsa temos 6 moedas de R$1, 00 e 5 moedas de R$0, 50. Qual e´ a probabilidade de, ao
retirarmos duas moedas, obtermos R$1, 50?
(61) Um grupo e´ constitu´ıdo de 6 homens e 4 mulheres. Treˆs pessoas sa˜o escolhidas ao acaso, sem
reposic¸a˜o. Qual e´ a probabilidade de que ao menos duas sejam homens?
(62) Suponha que num lote com 30 pec¸as existam cinco defeituosas. Escolhemos quatro pec¸as do lote
ao acaso, qual e´ a probabilidade de sair duas pec¸as com
(63) A urna nu´mero 1 conte´m: 2 bola vermelha e 2 brancas. A urna nu´mero 2 conte´m: 1 bolas vermelhas
e 2 branca. Tiramos aleatoriamente uma bola da urna nu´mero 1, colocamos na urna 2 e misturamos.
Em seguida tiramos aleatoriamente uma bola da urna nu´mero 2. Qual a probabilidade de tirarmos uma
bola branca da urna 2?
(64) Dois dados, um verde e um vermelho, sa˜o lanc¸ados e observamos a sequeˆncia ( G, R ) formada
pelos nu´meros da face de cima. (Por exemplo, o par (2, 6), significa que saiu face 2 no dado verde e
face 6 no dado vermelho.)
a) Qual e´ a probabilidade de ocorrerem nu´meros iguais?
b) Qual e´ a probabilidade de ocorrerem nu´meros diferentes?
c) Qual e´ a probabilidade de a soma dos nu´meros ser 7.
d) Qual e´ a probabilidade de a soma dos nu´meros ser 12.
e) Qual e´ a probabilidade do primeiro nu´mero (G) ser maior do que o segundo nu´mero (R).
f) Qual e´ a probabilidade de sair nu´mero 3 em ao menos um dos dados?
(65) Determine a probabilidade de cada um dos eventos:
a) A e´ o evento sair exatamente duas caras no lanc¸amento de treˆs moedas.
b) B e´ o evento pelo menos uma cara aparece no lanc¸amento de treˆs moedas.
c) C e´ o evento sair exatamente duas caras no lanc¸amento de quatro moedas.
d) D e´ o evento pelo menos uma cara aparece no lanc¸amento de quatro moedas.
e) E e´ o evento sair exatemente treˆs caras no lanc¸amento de cinco moedas.
f) F e´ o evento pelo menos duas cara aparece no lanc¸amento de cinco moedas.
(66) Um dado e´ viciado de modo que a probabilidade de observarmos qualquer nu´mero par e´ a mesma,
e a de observarmos qualquer nu´mero ı´mpar e´ tambe´m a mesma. Pore´m um nu´mero par e´ treˆs vezes
mais prova´vel de ocorrer do que um nu´mero ı´mpar. Lanc¸ando-se esse dado, qual a probabilidade de:
a) ocorrer um nu´mero primo?
b) ocorrer um mu´ltiplo de 3?
a) ocorrer um nu´mero menor ou igual a 4?
(67) Uma urna conte´m 5 bolas brancas e 6 bolas pretas. Treˆs bolas sa˜o retiradas. Calcule a probabilidade
de:
9
a) todas pretas;
b) exatamente uma branca;
c) ao menos uma preta.
(68) Dois dados sa˜o lanc¸ados. Consideremos os eventos:
A = {(x, y)| x + y = 10}
B = {(x, y)| x > y},
onde x e´ o resultado do dado 1 e y e´ o resultado do dado 2. Calcule:
a) P (A) =
b) P (B) =
c) P (A|B) =
d) P (B|A) =
(69) Considere o experimento E lanc¸ar um dado e uma moeda, responda:
a) Construa o espac¸o amostral.
b) Liste os elementos dos seguintes eventos,
A = {coroa, marcado por nu´mero par },
B = {cara, marcado por nu´mero ı´mpar } ,
C = {mu´ltiplos de 3}.
c) Expresse os eventos
I) B,
II B ou C ocorrem,
III B e C ocorrem,
IV) A ∪B
d) Verifique dois a dois os eventos A,B e C e diga quais sa˜o mutuamente exclusivos.
(70) Seja o espac¸o amostral: Ω = {0, 1, 2, . . . , 9, 10} e considere a distribuic¸a˜o de probabilidade:
pi = P ({i}) =
(
10
i
)
(0, 6)i(0, 4)10−i, para todo i = 0, 1, 2, . . . , 9, 10.
a) Mostre que
10∑
i=0
pi = 1.
b) Calcule p3.
c) Seja o evento A = {0, 1, 2}. Calcule P (A) e P (A).
10