Cálculo de Vetores

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Cálculo de Vetores - Cálculo Vetorial
1 - O VETOR
Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.
Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos:
• comprimento (denominado módulo)
• direção
• sentido (de A para B)
Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB.
Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:
Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe. Guarde esta idéia, pois ela é importante!
Sendo u um vetor genérico, o representamos pelo símbolo:
	Para facilitar o texto, representaremos o vetor acima na forma em negrito u . Todas as representações de letras em negrito neste arquivo, representarão vetores. O módulo do vetor u, será indicado simplesmente por u, ou seja, a mesma letra indicativa do vetor, sem o negrito.
Classificação dos vetores:
1.1 - O VETOR OPOSTO
Dado o vetor u , existe o vetor - u , que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor u , porém , de sentido oposto.
1.2 - O VETOR UNITÁRIO (VERSOR)
Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO , ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja: 
| u | = u = 1.
1.3 - O VETOR NULO
Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados.
Notação: 0
2 - A PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO
Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo q com o eixo r.
Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de medida algébrica igual a 
ux = u . cosq . Observe que se q = 90º , teremos cosq = 0 e, portanto, a projeção do vetor segundo o eixo r, será nula.
3 - A NOTAÇÃO DE GRASSMANN PARA OS VETORES
Considere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a extremidade final do vetor.
Grassmann (matemático alemão - 1809/1877) interpretou a situação, como o ponto B obtido do ponto A, através de uma translação de vetoru.
Assim, pode-se escrever:
B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B - A
Esta interpretação, um vetor enxergado como uma diferença de dois pontos, permitirá a simplificação na resolução de questões, conforme veremos na seqüência deste trabalho.
4 - UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO
Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura abaixo:
Pela notação de Grassmann, poderemos escrever:
P = O + u 
u = P - O
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e, por conseguinte, 
O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o ponto P(x, y).
Substituindo acima, vem:
u = P - O = (x, y) - (0, 0) = (x - 0 , y - 0 ) = (x, y).
Portanto,
u = (x, y)
Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u , conforme convenção adotada acima), sendo a distância do ponto P à origem O, será dado por:
5 - UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS
Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y , conforme figura abaixo:
O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou seja, base do plano cartesiano Oxy.
Verifica-se que um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como:
u = x.i + y.j
Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, poderíamos considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz , conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço seria:
u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 .
O módulo do vetor u = x.i + y.j + z.k será dado por:
A demonstração desta fórmula é fácil, quando soubermos determinar o produto interno de vetores, conforme você mesmo confirmará na seqüência deste trabalho.
6 - OPERAÇÕES COM VETORES
6.1 - ADIÇÃO
Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas figuras abaixo.
	Regra do triângulo
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	Regra do paralelogramo
6. 2 - SUBTRAÇÃO
Considerando-se a existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u - v , como sendo igual 
à soma u + ( -v ) .
Veja a figura abaixo:
6.3 - MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
Dado um vetor u e um escalar l Î R, define-se o vetor l .u , que possui a mesma direção de u e sentido coincidente para l > 0 e sentido oposto para l < 0. O módulo do vetor l .u será igual a
 |l |.u .
6.4 - PRODUTO INTERNO DE VETORES
Dados dois vetores u e v , define-se o produto interno desses vetores como segue:
u . v = u . v . cos b onde u e v são os módulos dos vetores e b o ângulo formado entre eles.
Da definição acima, infere-se imediatamente que:
a) se dois vetores são paralelos, (b = 0º e cos 0º = 1) então o produto interno deles, coincidirá com o produto dos seus módulos.
b) o produto interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu módulo, pois neste caso, 
b = 0º e cos 0º = 1 \ u.u = u.u.1 = u2
c) se dois vetores são perpendiculares, (b = 90º e cos 90º = 0) então o produto interno deles será nulo.
d) o produto interno de dois vetores será sempre um número real.
e) o produto interno de vetores é também conhecido como produto escalar.
6.4.1 - CÁLCULO DO PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS DO VETOR
Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j
Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v.
u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j
Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima, teremos: 
i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0
Daí, fazendo as substituições, vem:
u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd
Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes ou homônimas.
Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos a uma importante fórmula, a saber:
Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)
Já sabemos que: u.v = u.v.cosb = ac + bd
Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:
Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas.
Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o coseno, o ângulo estará determinado.
Veremos um exercício de aplicação, no final deste arquivo.
Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto interno de vetores.
Seja o triângulo retângulo da figura abaixo:
É óbvio que: w = u + v
Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:
w2 = u2 + 2.u.v + v2
Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w2 = w2 , u2 = u2 , v2 = v2 e u.v = 0 (lembre-se que os vetores u e v são perpendiculares).
Assim, substituindo, vem:
w2 = u2 + 2.0 + v2 , ou, finalmente: w2 = u2 + v2 (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos).
Agora, convidamos ao visitante, a deduzir o  o teorema dos cossenos, ou seja : em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.
Exercícios resolvidos de vetores
Para concluir, vamos resolver algumas questões envolvendo vetores.
1 - Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i - 5 j e v = i + j , pede-se determinar:
a) o vetor soma u + v
b) o módulo do vetor u + v
c) o vetor diferença u - v
d) o vetor 3 u - 2 v
e) o produto interno u.v
SOLUÇÃO:
Temos: u = (2, -5) e v = (1, 1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i - 4 j
b) | u + v| = Ö 32 + 42 = Ö 25 = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento). 
c)u - v = (2, -5) - (1, 1) = (1, -6) = i - 6 j
d) 3u - 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j
e) u.v = 2.1 + (-5).1 = - 3
Questões abertas:
01. Um projétil é lançado com uma velocidade de módulo 20 m/s e formando com o plano horizontal um ângulo de 60°. Calcule os componentes horizontal e vertical da velocidade.
 
02. (INATEL) Dois corpos A e B se deslocam segundo trajetória perpendiculares, com velocidades constantes, conforme está ilustrado na figura adiante.
As velocidades dos corpos medidas por um observador fixo têm intensidades iguais a: VA = 5,0 (m/s) e VB = 12 (m/s). Quanto mede a velocidade do corpo A em relação ao corpo B?  
  
Testes:
03. (UnB) São grandezas escalares todas as quantidades físicas a seguir, EXCETO:  
      a) massa do átomo de hidrogênio;
      b) intervalo de tempo entre dois eclipses solares;
      c) peso de um corpo;
      d) densidade de uma liga de ferro;
      e) n.d.a.   
  
04. (UEPG - PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza: 
      a) escalar
      b) algébrica
      c) linear
      d) vetorial
      e) n.d.a.    
  
05. (UFAL) Considere as grandezas físicas:  
      I.   Velocidade
      II.  Temperatura
      III. Quantidade de movimento
      IV. Deslocamento
      V.  Força  
      Destas, a grandeza escalar é: 
      a) I
      b) II
      c) III
      d) IV
      e) V   
  
06. (CESGRANRIO) Das grandezas citadas nas opções a seguir assinale aquela que é de natureza vetorial:  
      a) pressão
      b) força eletromotriz
      c) corrente elétrica
      d) campo elétrico
      e) trabalho   
  
07. (FESP) Num corpo estão aplicadas apenas duas forças de intensidades 12N e 8,0N. Uma possível intensidade da resultante será:  
      a) 22N
      b) 3,0N
      c) 10N
      d) zero
      e) 21N   
  
08. (FUND. CARLOS CHAGAS) O módulo da resultante de duas forças de módulos F1 = 6kgf e F2 = 8kgf que formam entre si um ângulo de 90 graus vale:  
      a) 2kgf
      b) 10kgf
      c) 14kgf
      d) 28kgf
      e) 100kgf   
 
09. (UFAL) Uma partícula está sob ação das forças coplanares conforme o esquema abaixo. A resultante delas é uma força, de intensidade, em N, igual a: 
      a) 110
      b) 70
      c) 60
      d) 50
      e) 30   
 
10. (ACAFE) Os módulos das forças representadas na figura são F1 = 30N, F2 = 20 N e F3 = 10N. Determine o módulo da força resultante:
      a) 14,2 N
      b) 18,6 N
      c) 25,0 N
      d) 21,3 N
      e) 28,1 N
 
 
Resolução:
 
01 - Vx = 10m/s
 
02 - 13 m/s
 
	03 - C
	04 - D
	05 - B
	06 - D
	07 - C
	08 - B
	09 - D
	10 - D
Vetores
Vetor Unitário
   Um vetor  é unitário se || = 1.
 
Versor
   Versor de um vetor não nulo  é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de .
   Por exemplo, tomemos um vetor  de módulo 3.
   Os vetores  e  da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas tem a mesma direção e o mesmo sentido de . Portanto, este é o versor de .
 
Vetores Colineares
   Dois vetores  e  são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: e  são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
 
 
Vetores Coplanares
    Se os vetores não nulos ,  e  (não importa o número de vetores) possuem representantes AB,CD e EF pertencentes a um mesmo plano , diz-se que eles são coplanares.
    Dois vetores  e    quaisquer são  são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de  e  pertencendo a um plano p que passa por este ponto.
   Três vetores poderão ou não ser coplanares.
 
,  e  são coplanares
 
,  e  não são coplanares
Soma de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:
v + w = (a+c,b+d)
 
Propriedades da soma de vetores
   
	I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R2:
   v + w = w + v
 II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R2:
   u + (v + w) = (u + v) + w
 III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2 tal que para todo vetor u de R2, se tem:
   O + u = u
 IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R2 tal que:
   v + (-v) = O
 
Diferença de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:
v - w = (a-c,b-d)
 
Produto de um escalar por um vetor
Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como:
c.v = (ca,cb)
 
Propriedades do produto de escalar por vetor
Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:
   
	1 v = v
(k c) v = k (c v) = c (k v)
k v = c v    implica   k = c, se v for não nulo
k (v+w) = k v + k w
(k + c)v = k v + c v
 
Módulo de um vetor
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
 
Vetor unitário
Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.
Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R2, que são dados por:
i = (1,0)    j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
 
Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos.
Se c = 0 então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v
Produto escalar
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:
u.v = a.c + b.d
Exemplos: 
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19
   
Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:
   
	v.w = w.v
v.v = |v| |v| = |v|2
u.(v+w) = u.v + u.w
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
|kv| = |k| |v|
|u.v| <= |u| |v|    (desigualdade de Schwarz)
|u+v| <= |u| + |v|   (desigualdade triangular)
Obs: <= significa menor ou igual
 
Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:
u.v = |u| |v| cos(x)
onde x é o ângulo formado entre u e v.
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:
desde que nenhum deles seja nulo.
   
Vetores ortogonais
Dois vetores u e v são ortogonais se:
u.v = 0
Exercícios Resolvidos
Vetores
         Estes Exercícios estão separados por modelos e cada exemplo refere-se a uma série de exercícios contidos na página EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO, se possível imprima esta página que certamente te auxiliara na resolução dos exercícios
 
Dados os modelos dos vetores e .
|| = a = 3 cm
|| = b = 4 cm
 
MODELO 1
SOMA DE VETORES
Represente graficamente o vetor e calcule o seu módulo.
 
Exemplo I:     Vetores na mesma direção e mesmo sentido
RESOLUÇÃO
A regra dos vetores consecutivos, consiste em traçar os vetores na seqüência (Método Poligonal)
        A resultante tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor .
módulo: 7 cm 
Direção: horizontal 
Sentido: para a direita
OBS.: Vetores na mesma direção e mesmo sentido basta somar os valores numéricos para calcular o módulo, a direção e o sentido conserva-se .
Exemplo II: Vetores na mesma direção e sentido contrário.
RESOLUÇÃO
        Regra dos vetores consecutivos (Método Poligonal)
A resultante é o vetor com origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor .
Módulo: 1 cm
Direção: horizontal
Sentido: para a esquerda
OBS.: Vetores na mesma direção e sentido contrário: basta subtrair os valores numéricos para calcular o módulo, a direção conserva-se,porém o sentido será o do vetor de valor numérico maior.
Exemplo III: Direções ortogonais
RESOLUÇÃO
     Regra do Paralelogramo
1.      adotar um ponto O (origem);a partir do ponto O traçar os vetores;
2.      tracejar retas paralelas aos vetores e a partir da extremidade dos vetores  e ;
3.      a resultante será a diagonal do paralelogramo partindo do ponto O;
4.      Use o teorema de Pitágoras para calcular o módulo da resultante.
S² = a² + b² 
S² = 3² + 4²  
  
S = 5 cm       
Direção e sentido: conforme a figura 
Exemplo IV: Quaisquer direções
Dados: cos 60º = 0,5
 
RESOLUÇÃO
        Regra do Paralelogramo
Módulo:     S² = a² + b² + 2 · a · b · cos 60º 
                 S² = 3² + 4² + 2 · 3 · 4 · 0,5 
                 S² = 9 + 16 + 12
                 S = 6,1 cm
Direção e Sentido: de acordo com a figura
 
MODELO 2
Representação Gráfica
Dados os vetores , e , represente graficamente os vetores:
a) + 
b) + 
c) + + 
RESOLUÇÃO
 
        Regra dos Vetores Consecutivos (Método Poligonal)
a) A Resultante +  tem origem na origem do vetor  e extremidade na extremidade do vetor .
 
b) A Resultante  +  tem origem na origem do vetor  e extremidade na extremidade do vetor .
           
c) A Resultante + + tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor . 
           
Modelo 3
Produto de um Número Real Por um vetor
 
Módulo: 
Direção: a mesma de (com n 0)
Sentido: mesmo de , para n > 0
                 contrário de , para n < 0.
Obs.:  quando n = 0 temos p = 0
 
EXEMPLO I:
        Dados os vetores: ,  e  .
Represente graficamente : 2, -3 e 2.
RESOLUÇÃO
 
Modelo 4
Subtração Vetorial
 
Dados os vetores e conforme a figura, determine graficamente o vetor diferença = - e calcule o seu módulo.
Dados: || = 4 cm 
              || = 3 cm
                   cos 60º = 0,5
RESOLUÇÃO
1.      = -      = + (-)
2.      Trocar o sentido do vetor 
3.      Utilizar a regra do paralelogramo
4.      Calcular o Módulo
d ² = a ² + b ² - 2·a·b·cos 60º
d ² = 4 ² + 3 ² - 2·4·3·0,5
d ² = 16 + 9 -12
d ² = 13
d = 3,7 cm
 
Modelo 5
Projeção de Vetores
 
        Para cada vetor, teremos duas projeções, uma no eixo x (horizontal) e outra no eixo y (vertical).
        Projetar um vetor é determinar as componentes cartesianas desse vetor. (comprimento da "sombra" no eixo x e y)
 
EXEMPLO I: Determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x. Dado: || = a = 2 cm
RESOLUÇÃO
 
    a)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x.
Módulo: || = 2 cm
    b)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y, devemos "olhar" o vetor de frente, da direita para a esquerda até o eixo y.
Módulo: || = 0 cm
Portanto: = 2 cm 
                = 0 cm
 
EXEMPLO II: Determinar as projeções do vetor nos eixos x e y. Considere: || = a = 2 cm.
RESOLUÇÃO
 
    a)     Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x.
Módulo:  || = 0 cm
    b)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y, devemos "olhar" o vetor de frente, da direita para a esquerda até o eixo y.
Módulo: || = 2 cm
Portanto: = 0 cm 
               = 2 cm
Obs.: Vetor paralelo ao eixo medida real do vetor
         Vetor ortogonal ao eixo zero
 
EXEMPLO III: Determine as projeções do vetor nos eixos x e y. 
                                      Dados: || = a =  2 cm, cos 60º = 0,5 e sen 60 = 0,87.
RESOLUÇÃO
    a)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos traçar uma reta paralela ao eixo y, da extremidade do vetor até o eixo x.
Módulo: || = a · cos 60º
              || = 2 · 0,5 = 1 cm
              || = 1 cm
    b)    Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y, devemos traçar uma reta paralela ao eixo x, da extremidade do vetor até o eixo y.
Módulo:  || = a · sen 60º
               || = 2 · 0,87 1,74 cm
               || = 1,74 cm
Portanto: = 1 cm       
               = 1,74 cm