Aula 2 e 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ª ORDEM1

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ª ORDEM 
 As equações diferenciais lineares de 1ª ordem podem ser expressas na forma: 
)()(' xqyxpy 
 (1) 
 Se 
0)( xq
 a equação (1) é dita linear homogênea, por outro lado se 
0)( xq
 a equação (1) é dita 
linear não-homogênea. 
 Considere a equação diferencial linear de 1ª ordem homogênea na forma: 
0)('  yxpy
 (2) 
que é também uma equação de variáveis separáveis, portanto, para sua resolução podemos proceder da 
seguinte forma: 
0)(  yxp
dx
dy
 
yxp
dx
dy
)(
 
 
dxxp
y
dy
)(
 (3) 
Observe que o coeficiente da derivada na equação (2) é 1 
 Integrando ambos os lados da equação (3) obtemos 








dxxp
dxxpCy
Cexy
ee
Cdxxpy
dxxp
y
dy
)(
)(ln
)(
)(ln
)(
 
 
Solução geral da equação diferencial linear de 1ª ordem homogênea 
Exemplos: Apresente a solução das equações diferenciais lineares de 1ª ordem homogêneas: 
a) 
02  xy
dx
dy
 
 
 
 
 
 
(4) 
b) 
0)('  yxxseny
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
  








1)0(
0
32
1
'
y
y
xx
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considera-se a ED linear de 1ª ordem não-homogênea na forma da equação (1) 
)()(' xqyxpy 
 
Para resolvê-la usa-se um artifício de cálculo, ou seja, multiplica-se a mesma por uma função 
)"(" xu
 
)()()()()( xqxuyxpxu
dx
dy
xu 
 (5) 
de tal forma que seja possível comparar a equação (5) com a derivada de um produto com o objetivo 
de encontrar a função 
).(xu
 
 Considera-se a derivada do produto, que é dada por: 
  ''' )()().( yxuyxuyxu 
 (6) 
Compare o lado esquerdo da equação (5) com o lado direito da equação (6) 
'' )()()()()( yxuyxuyxpxu
dx
dy
xu 
 
Trocando as partes do lado direito de lugar 
yxuyxuyxpxu
dx
dy
xu )'(')()()()( 
 
Para que a igualdade se verifique temos que 
 
yxuyxpxu )'()()( 
 (7) 
Dividindo-se a equação (7) por 
y
obtém-se 
)()()'( xuxpxu 
 
0)()()'(  xuxpxu
 
Que é uma ED linear de 1ª ordem homogênea cuja solução é dada pela equação (4), ou seja, 
)(xu
é 
igual a 

dxxp
eCxu
)(
1)(
 (8) 
Para essa função 
)(xu
tem-se que o lado direito da equação (5) é igual ao lado esquerdo da equação 
(6) conforme desenvolvimento abaixo 
  )()(').( xqxuyxu 
 (9) 
Integrando ambos os lados da equação (9) 
    dxxqxudxyxu )()(').(
 
 
 dxxqxuCyxu )()().( 2
 (10) 
Substituindo 
)(xu
encontrado na equação (8) em (10) tem-se 

 dxxqeCCyeC
dxxpdxxp
)(..
)(
12
)(
1
 
Isolando 
y
 



 

  dxxqeCC
eC
xy
dxxp
dxxp
)(.
1
)(
)(
12
)(
1
 



  

dxxqeCexy
dxxpdxxp
)(.)(
)()(
 (11) 
 
Solução geral da equação diferencial linear de 1ª ordem não-homogênea 
 
Exemplos: Apresente a solução das equações diferenciais lineares de 1ª ordem não- homogêneas: 
a) 
xxyy 2'
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 






2/5)0(
12
y
y
dx
dy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: