2018320 133537 Sequências

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SEQUÊNCIAS 
 
Uma sequência numérica 
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎𝑛, ⋯ 
é uma função 𝑓, definida sobre o conjunto dos números naturais. São exemplos de sequências: 
 Os números ímpares positivos 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1; 
 As aproximações decimais por falta de √2 (𝑎𝑛 = 𝑘1 +
𝑘2
10
+
𝑘3
100
+
𝑘4
1000
+ ⋯ ): 
𝑎1 = 1,4; 𝑎2 = 1,41; 𝑎3 = 1,414; 𝑎4 = 1,4142; 𝑎5 = 1,41421; 𝑎6 = 1,414213; ⋯ 
 Os números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, ... 
 Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 35, 56, 91, ... 
 
 
Sequência Convergente 
 
Diz-se que uma sequência 𝑎𝑛 converge para o número 𝐿, ou tem limite 𝐿 se, dado qualquer 𝜀 > 0, 
é sempre possível encontrar um número 𝑁 tal que 
𝑛 > 𝑁 ⟹ |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀 
Uma sequência que não converge é dita divergente. Chama-se sequência nula toda sequência que 
converge para zero. 
 
Exemplos: 
1) Prove que a sequência 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛+1
 converge para o número 1. 
2) Prove que a sequência 𝑎𝑛 =
3𝑛
𝑛+𝑠𝑒𝑛(2𝑛)
 converge para o número 3. 
 
 
Sequências Monótonas 
 
 Denomina-se de monótona a sequência que apenas cresce ou apenas decresce. 
Exemplo: Verifique se são monótonas as sequências 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛+1
, 𝑏𝑛 =
2𝑛
𝑛!
 e 𝑐𝑛 =
𝑛𝑛
𝑛!
 . 
 
 
Teoremas 
 Toda sequência convergente é limitada. 
 Toda sequência monótona e limitada é convergente. 
 Se uma sequência 𝑎𝑛 converge para um limite 𝐿, então toda sua subsequência 𝑎𝑛𝑗 também converge 
para 𝐿; 
 
 
Limites Infinitos 
 
Diz-se que uma sequência 𝑎𝑛 diverge (ou tende) para +∞ se, dado qualquer número positivo 𝑘, 
existe 𝑁 tal que 𝑛 > 𝑁 ⟹ 𝑎𝑛 > 𝑘. Analogamente, 𝑎𝑛 diverge (ou tende) para −∞ se, dado qualquer 
número negativo 𝑘, existe 𝑁 tal que 𝑛 > 𝑁 ⟹ 𝑎𝑛 < 𝑘. 
Exemplo: Prove que a sequência 𝑎𝑛 = 2
𝑛 diverge. 
 
Sequências Recorrentes 
 
Chama-se de sequência recorrente toda sequência em que o termo geral é definido por uma 
função de um ou mais de seus termos precedentes. 
Exemplo: Determine o limite da sequência 
𝑎𝑛 =
1
2
(𝑎𝑛−1 +
𝑁
𝑎𝑛−1
). 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Encontre o termo geral de cada uma das sequências e, em seguida, calcule o seu limite. 
a) 
1
2
,
2
5
,
3
10
,
4
17
,
5
26
,
6
37
, … 
b) 1, −
1
2
,
1
3
, −
1
4
,
1
5
, … 
c) 2, (
3
2
)
2
, (
4
3
)
3
, (
5
4
)
4
, (
6
5
)
5
, … 
 
2) Prove que: 
a) Prove que a sequência 𝑎𝑛 =
cos 𝑛
𝑛
 converge para o número 0. 
b) Prove que a sequência 𝑎𝑛 =
𝑛+1
𝑛
 converge para o número 1. 
c) Prove que a sequência 𝑎𝑛 =
2𝑛2
𝑛2+&
 converge para o número 2. 
d) Prove que a sequência 𝑎𝑛 =
3𝑛√𝑛
𝑛√𝑛+5
 converge para o número 3. 
 
3) Construa uma sequência que tenha uma subsequência convergindo para -3 e outra convergindo para 
8. 
 
4) A sequência 𝑎𝑛 = 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) converge? 
 
5) Mostre que existe 𝑛0 ∈ ℕ, tal que 
|
𝑛 + 3
𝑛
− 1| < 10−10 
para todo 𝑛 > 𝑛0. 
 
6) A partir de qual termo a sequência 𝑎𝑛 =
10𝑛
(𝑛+1)!
 é decrescente? 
 
7) Prove que a sequência 𝑎𝑛 =
5𝑛2
𝑛+1
 diverge. 
 
8) Mostre que 𝑙𝑜𝑔 (
2
𝑛
) → −∞. Em seguida, determine o menor valor para 𝑛 de modo que 𝑎𝑛 < −1000. 
 
9) Considere a sequência assim definida: 𝑎1 = √2, 𝑎𝑛 = √2 + 𝑎𝑛−1 para 𝑛 > 1. Escreva 
explicitamente os primeiros quatro ou cinco termos desta sequência. Prove que ela é uma sequência 
convergente e calcule o seu limite. 
 
10) (Divisão áurea). Diz-se que um ponto 𝐴1 de um segmento 𝑂𝐴 efetua uma divisão áurea desse 
segmento se 𝜎 =
𝑂𝐴1
𝑂𝐴
=
𝐴1𝐴
𝑂𝐴1
. O número 𝜎, raiz positiva de 𝜎2 + 𝜎 − 1 = 0 (=
√5−1
2
≅ 0,618), é 
chamado de razão áurea. Considere um eixo de coordenadas com origem em 𝑂, 𝑎0 = 1 a abscissa de 
𝐴 (= 𝐴0) e 𝑎1 = 𝜎 a abscissa de 𝐴1. Construa a sequência de pontos 𝐴𝑛 com abscissa 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 −
𝑎𝑛−1. Prove que 𝐴𝑛 efetua a divisão áurea do segmento 𝑂𝐴𝑛−1 e que 𝑎𝑛 → 0. 
 
11) (Sequência de Fibonacci). Defina 𝑓𝑛 indutivamente assim: 𝑓0 = 𝑓1 = 1 e 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−2 + 𝑓𝑛−1. Prove 
que essa sequência está relacionada com a do exercício anterior mediante a fórmula 
𝑎𝑛 = (−1)
𝑛+1(𝑓𝑛−2 − 𝜎𝑓𝑛−1), 𝑛 ≥ 3. 
Prove que a sequência 𝑥𝑛 =
𝑓𝑛
𝑓𝑛+1
 é convergente e seu limite é o número 𝜎. 
 
11- Seja 𝑀 = ℝ2, com a métrica usual (isto é, a métrica Euclidiana). A sequência cujo termo geral é o 
para ordenado (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = (1 +
1
𝑛
,
(−1)𝑛
𝑛
) converge para o par ordenado (1,0). 
 
 
 
SÉRIES 
 
Uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma 
∑ 𝑢𝑘 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑘 + ⋯
∞
𝑘=1
 
Em que os números 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, … são chamados de termos da série. 
 
Exemplo: 0,3333... 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Seja {𝑠𝑛} a sequência das somas parciais da série 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑘 + ⋯ . Se a 
sequência {𝑠𝑛} convergir para um limite 𝑆, dizemos, então, que a série converge para 𝑆, e 𝑆 é a soma da 
série. Se a sequência das somas parciais divergir, dizemos que a série diverge. Uma série divergente não 
tem soma. 
 
Prove que a série geométrica 
∑ 𝑎𝑟𝑘
∞
𝑘=0
 
converge se, e somente se, |𝑟| < 1. Determine a soma neste caso. 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Em cada parte, ache os valores exatos das quatro primeiras somas parciais, ache a forma fechada para 
n-ésima soma parcial, e determine se a série converge calculando o limite da n-ésima soma parcial. Se 
ela converge, então estabeleça a sua soma. 
a) 2 +
2
5
+
2
52
+ ⋯ +
2
5𝑘−1
+ ⋯ 
b) 
1
4
+
2
4
+
22
4
+ ⋯ +
2𝑘−1
4
+ ⋯ 
c) 
1
2∙3
+
1
3∙4
+
1
4∙5
+ ⋯ +
1
(𝑘+1)∙(𝑘+2)
+ ⋯ 
 
2) Determine se a série converge e determine a sua soma. 
𝑎) ∑ (−
3
4
)
𝑘−1∞
𝑘=1
 
𝑏) ∑(−1)𝑘−1
7
6𝑘−1
∞
𝑘=1
 
 
3) Use uma série para expressar a dízima periódica como uma fração. 
a) 0,4444 … 
b) 0,159159159 … 
c) 5,373737 … 
 
4) Mostre que 
∑
1
𝑘(𝑘 + 1)
= 1
∞
𝑘=1
. 
 
 
5) Mostre que 
∑ (
1
𝑘
−
1
𝑘 + 2
) =
3
2
∞
𝑘=1
. 
 
6) Mostre que 
∑
1
1 ∙ 3
+
1
2 ∙ 4
+
1
3 ∙ 5
+ ⋯
∞
𝑘=1
=
3
4
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOÇÕES TOPOLÓGICAS NA RETA 
 
a) Vizinhança 
 O conjunto de todos os pontos 
x
 tais que 
 ax
, com 
0
, chama-se uma vizinhança 

 
de 
a
 
 )(aV
. O conjunto de todos os pontos 
x
 tais que 
 ax0
, onde se exclui o ponto 
ax 
, 
é uma vizinhança 

 restrita de 
a
: 
   axxaaVaV 0:}{)()('
. 
 
b) Pontos de Acumulação 
 Diz-se que 
a
 é um ponto de acumulação de um conjunto 
C
 se toda a vizinhança de 
a
 contém 
infinitos elementos de 
C
. Isso equivale a dizer que toda vizinhança de 
a
 contém algum elemento de 
C
diferente de 
a
; ou ainda, dado 
0
, 
)(' aV
 contém algum elemento de 
C
. 
 O conjunto dos pontos de acumulação de 
C
 é denotado com o símbolo 
'.C
 E, um elemento de 
'C
 pode ou não pertencer ao conjunto 
C
; como exemplo, o conjunto dos números racionais possui 
pontos de acumulação irracionais, tais como 
2
. 
 
c) Ponto Isolado e Conjunto Discreto 
 Um ponto 
x
 de um conjunto 
C
 diz-se isolado se não for ponto de acumulação de 
C
. Isso é 
equivalente a dizer que existe 
0
 tal que 
)(' xV
 não contém qualquer elemento deC
. 
 Chama-se discreto todo conjunto cujos elementos são todos isolados. 
 d) Pontos de Aderência 
 Diz-se que um número 
x
 é ponto de aderência de um conjunto 
C
, ou ponto aderente a 
C
, se 
qualquer vizinhança de 
x
 contém algum elemento de 
C
. Isso significa que 
x
 pode ser um elemento de 
C
 ou não, mas se não for certamente será ponto de acumulação de 
C
. 
 O conjunto dos pontos aderentes a 
C
 é chamado o fecho ou aderência de 
C
, denotado como 
símbolo 
C
. Como se vê, 
C
 é a união de 
C
 como o conjunto 
'C
 de seus pontos de acumulação. 
 
e) Conjunto Fechado 
 Diz-se que um conjunto é fechado quando ele coincide com sua aderência 
 'CCCC 
, ou 
seja, quando ele contém todos os seus pontos de acumulação: 
CC '
. 
 
 
Teorema de Wierstrass-Bolzano.“Todo conjunto infinito, limitado, possui, pelo menos, um ponto de 
acumulação.” 
 
Teorema (critério de convergência de Cauchy). “uma condição necessária e suficiente pra que uma 
sequência 𝒂𝒏 seja convergente é que, qualquer que seja 𝜺 > 𝟎, exista 𝑵 tal que 
𝒏, 𝒎 > 𝑵 ⟹ |𝒂𝒏 − 𝒂𝒎| < 𝜺.” 
 
Teorema dos Intervalos Encaixados. “Seja 𝑰𝒏 = [𝒂𝒏, 𝒃𝒏], 𝒏 = 𝟏, 𝟐, …, uma família de intervalos 
fechados e encaixados, isto é, 𝑰𝟏 ⊃ 𝑰𝟐 ⊃ 𝑰𝟑 ⊃ ⋯ ⊃ 𝑰𝒏 ⊃ ⋯. Então existe pelo menos um número 𝒄 
pertencendo a todos os intervalos 𝑰𝒏 (ou, o que é o mesmo, 𝒄 ∈ 𝑰𝟏 ∩ 𝑰𝟐 ∩ 𝑰𝟑 ∩ … ∩ 𝑰𝒏 ∩ …). Se, além 
das hipóteses feitas, o comprimento |𝑰𝒏| = 𝒃𝒏 − 𝒂𝒏 do n-ésimo intervalo tender a zero, então 𝒄 será 
o único, isto é, 𝑰𝟏 ∩ 𝑰𝟐 ∩ 𝑰𝟑 ∩ … ∩ 𝑰𝒏 ∩ … = {𝒄}. 
 
 
Exercícios 
1) Considere o conjunto 






 ,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1C
. 
a) Prove que 
C
 é limitado. 
b) 
C
 possui máximo e mínimo? 
c) 
C
possui supremo e ínfimo? 
d) 
C
possui pontos de acumulação? 
e) 
C
 é um conjunto discreto? 
f) C é um conjunto fechado? 
g) Mostre que tal conjunto ilustra o teorema de Wierstrass-Bolzano. 
 
2) Entre os conjuntos: 
 10/  xINxA
 
 22/  xZxB
 
 20/  xQxC
 
 10/  xIRxD
 
a) Quais possuem pontos de acumulação? 
b) Quais são fechados? 
 
3) Considere o conjunto 
 ...2222.1;222.122,1;2,1 C
. Comente sobre a existência de 
pontos de acumulação, se o conjunto é limitado e se é ou não fechado. 
 
4) Todo ponto do intervalo 
]1,0[
 é um ponto de acumulação?