Material de Cálculo PUC - Unidade 1

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Para quem vai estudar Cálculo I 
 
Você está começando um programa de estudos de Cálculo I. É como um circuito que 
você deverá percorrer para ir incorporando algumas idéias que, embora antigas, estão na base 
da tecnologia atual. A tarefa de um profissional de qualquer área é transformar ciência em 
tecnologia, ou seja, transformar conhecimento em algo útil para o desenvolvimento humano e 
sustentado da sociedade. 
 
Cada vez que for cumprir uma etapa desse programa, lembre-se de que está fazendo um 
grande investimento em você mesmo, de longe seu maior capital! Lembre-se também de que 
é você que precisará estudar Cálculo I, ninguém poderá fazer isso por você. Pense em uma 
aula de ginástica: você é quem faz a aula; o professor orienta! Esse programa foi estruturado 
para ajudá-lo a estudar; não é um programa fácil porque não existem caminhos fáceis para se 
trabalhar com o conhecimento! 
 
As páginas do livro ou do caderno podem servir de lembrete: a palavra página vem de 
pagus, termo latino utilizado para indicar o pedaço de terra, cercado e cultivado por alguém 
ou por um grupo de pessoas, com vistas a garantir a própria subsistência. Uma página é o 
terreno que você precisará cultivar para garantir seu desenvolvimento como profissional capaz 
de intervir no mundo de maneira inteligente. 
 
 
 
 
 
 
Que você tenha pleno sucesso! 
 
 Belo Horizonte, fevereiro de 2010 
 
 
 
 
 
 
Título: Unidade 01 
Autor: Jonas Lachini 
 
 
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Cálculo I 
FUNÇÕES E MODELOS 
 
Introdução 
 
A Matemática estuda os aspectos quantitativos dos fenômenos. Um jeito de fazer isso 
é por meio das funções; elas servem para ler e descrever situações e acontecimentos. Durante 
todo o estudo de Cálculo I, você estará mexendo com funções. Vale a pena saber lidar com 
elas! 
Leia o texto com atenção. Procure perceber o que é uma função, seu domínio e sua 
imagem ou variação. Para conhecer algo é preciso saber nomear! Neste texto, procure 
aprender a reconhecer o ente que atende pelo nome de função. 
Estude com particular atenção os exemplos. Use lápis e papel, sublinhe partes do texto 
que julgar importantes, assim como alguém que está cavando um terreno ou examinando os 
detalhes de um objeto. Ler é sinônimo de investigar! 
As funções comparecem em praticamente todos os ramos da Matemática. Podemos 
mesmo dizer que o Cálculo Diferencial e Integral, uma das obras mais brilhantes da 
humanidade, está todo voltado para o estudo de funções. Durante esse curso de Cálculo I, 
lidaremos o tempo todo com funções: as maneiras de representar uma função, o limite e a 
continuidade de uma função, a derivada e a antiderivada de uma função. Nas primeiras 
unidades, estabeleceremos a base do curso por meio do estudo do comportamento de algumas 
funções; usaremos, para isso, tabelas, fórmulas, gráficos e textos descritivos, que são as 
maneiras mais comuns de representar funções. 
 
Notas de aula 1 
 
1.1 O que é uma função 
 
Na linguagem do dia-a-dia, dizemos que o preço de uma corrida de táxi está em 
função da distância percorrida. Nesse caso, a palavra função expressa a idéia de que o 
Orientações 
• Estude atentamente as Notas de Aula 1. Analise com bastante cuidado os exemplos 
apresentados e os exercícios resolvidos. 
• Estude este assunto, Funções, em um livro de Cálculo. O Questionário 1 pode 
ajudá-lo nessa tarefa. 
• Resolva os Exercícios 1. As questões neles propostas servem para você fixar 
conceitos e melhorar sua habilidade em lidar com funções. 
• Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio acadêmico, ao 
fórum de discussão, aos chats ou, melhor ainda, a seu grupo de estudos de Cálculo. 
Leia sempre o quadro de avisos! 
 
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conhecimento de um fato ou de um valor (a distância percorrida) nos diz algo a respeito de 
outro fato ou de outro valor (o preço de uma corrida). 
Em Matemática, estudamos os aspectos quantitativos de um fenômeno; são aspectos 
que podem ser medidos e expressos por meio de números. Esse é um dos motivos pelos quais 
as funções mais importantes, em Matemática, são aquelas em que o conhecimento de um 
número nos fornece informações sobre outro número. Por exemplo, se conhecemos o 
comprimento do lado de um quadrado, podemos calcular a medida da área desse quadrado. 
Muitas funções são utilizadas para descrever fenômenos físicos ou situações que 
acontecem no dia-a-dia. Essas funções são chamadas de modelos matemáticos porque servem 
para representar com bastante precisão o comportamento das grandezas que interferem numa 
situação física. 
Talvez você esteja acostumado a pensar que função é uma fórmula e não veja 
nenhuma importância em saber ler tabelas ou gráficos e nem qual o domínio e a imagem de 
uma função. É comum que gostemos mais de manipular expressões, de fazer contas e 
resolver, de maneira mecânica, as questões que encontramos ou que nos são postas. Com a 
chegada das calculadoras e dos computadores, a habilidade de fazer muitos cálculos passou a 
ter menos importância; atualmente, mais vale conhecer bem os conceitos e saber quando e 
como aplicar esses conceitos. 
Por meio de um exemplo, vamos estudar o que é uma função. Descreveremos também 
o que é o domínio e o que vem a ser a variação ou a imagem de uma função. Tente estudar 
com detalhes as situações apresentadas neste texto; essa é uma oportunidade para você 
aprender a ler tabelas e gráficos, melhorar sua habilidade de descrever situações e, sobretudo, 
desenvolver sua capacidade de pensar, que aqui é vista como a habilidade de estabelecer 
relações. Observe o exemplo a seguir. 
 
Exemplo 1 
 
De 10 a 20 de janeiro de 2004, foram registradas em Poços de Caldas as seguintes 
temperaturas máximas: 
 
Data 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Temperatura ( 0 C ) 
23 25 25 26 28 25 22 24 26 28 28 
Tabela 1.1 
 
Na Tabela 1.1, existe uma relação entre as datas e as temperaturas máximas. A cada 
dia, de 10 a 20 de janeiro, está associada uma única temperatura máxima. Podemos observar 
que, em um mesmo dia, ocorre apenas uma temperatura máxima. 
Este é um exemplo de função. Embora não exista fórmula para a temperatura (senão 
não precisaríamos dos institutos de meteorologia), a temperatura satisfaz a definição de 
função: cada dia t tem uma única temperatura máxima M associada a ele. 
Uma grandeza M é uma função de outra grandeza t se, a cada valor de t, estiver 
associado um único valor de M. Quando isso acontece, dizemos que M é o valor da função ou 
a variável dependente, e que t é a variável independente ou argumento da função. Usando 
símbolos matemáticos, escrevemos: )(tfM = , onde f é o nome da função. 
O domínio de uma função é o conjunto dos possíveis valores da variável independente. 
Nesse exemplo, o domínio é o conjunto dos dias do período de 10 a 20 de janeiro de 2004. 
Em linguagem matemática, escrevemos: { }20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10)( =fD . 
A variação ou a imagem de uma função é o conjunto dos valores efetivamente 
assumidos pela variável dependente. Nesse exemplo, a imagem é o conjunto dos valores da 
 
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temperatura máxima registrados no período de 10 a 20 de janeiro de 2004. Em linguagem 
matemática, escrevemos: { }28,26,25,24,23,22)Im( =f . 
 
1.2 A função é uma fábrica de pares ordenados 
 
Podemos considerar uma função como uma máquina que fabrica pares ordenados de 
números ou de elementos. No exemplo da Tabela 1.1, quando colocamos nessa máquina 
10=t , obtemos 23)10( == fM ; formamos, assim, o par ordenado (10, 23). Com base nessa 
idéia, a funçãoé um conjunto de pares ordenados e, nesse exemplo da tabela, temos: 
{ })28,20(),28,19(),26,18(),24,17(),22,16(),25,15(),28,14(),26,13(),25,12(),25,11(),23,10(=F
 A tecla ou x de uma calculadora é um exemplo de função como máquina de 
fazer pares ordenados: quando pressionamos a tecla ou x e damos o input 16, 
aparecerá no visor o output 4. Assim, a calculadora forma o par ordenado (16, 4), ou seja, 
(16, 16 ). 
De modo geral, a máquina x fabrica pares ordenados ( xx, ). Na notação 
funcional, escrevemos: xxf =)( . 
O processo de formar pares ordenados pode ser representado também por meio de um 
diagrama de flechas, como na Figura 1.1. 
 
 
Figura 1.1 
 
Nesse diagrama, o conjunto A é o domínio da função: { }7,5,1)( =fD . De cada 
elemento de A sai uma única flecha; isso significa que um elemento de A está associado a um 
único elemento de B. Assim, por exemplo, 8)5( =f . Observe também que nenhum elemento 
de A é desprovido de flecha. 
 
O conjunto B é o contradomínio da função: { }16,8,2)( =fCD . A um mesmo 
elemento de B pode chegar mais de uma flecha; isso significa que um elemento de B pode ser 
imagem de mais de um elemento de A. O conjunto B pode ter elementos aos quais não chega 
nenhuma seta, ou seja, pode existir elemento de B que não seja imagem de nenhum elemento 
de A. O conjunto dos elementos de B aos quais chega pelo menos uma flecha é a imagem da 
função. No exemplo, temos: { }8,2)Im( =f . Observe que sempre o conjunto-imagem é um 
subconjunto de B. 
De modo geral, o número de elementos ou de pares ordenados de uma função é muito 
grande, o que torna inviável escrever todos eles; devido a isso, utilizam-se duas outras formas 
de representação: os gráficos e as fórmulas; as fórmulas usadas para representar funções são 
também chamadas de equações, de leis de associação ou de leis de formação. 
 
 
 
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1.3 Várias maneiras de representar uma função 
 
As funções podem ser representadas de maneiras diferentes. Assim, a função que 
fornece as temperaturas máximas em Poços de Caldas em função do tempo, que foi 
representada por meio da Tabela 1.1, também pode ser representada pelo gráfico da Figura 
1.2. 
 
Figura 1.2 
 
Nesse gráfico, estão representados os pares ordenados que constituem a função. O 
gráfico é formado por pontos separados e cada um deles representa um elemento da função 
{ })28,20(),28,19(),26,18(),24,17(),22,16(),25,15(),28,14(),26,13(),25,12(),25,11(),23,10(=F 
O primeiro termo de cada um desses pares é medido sobre o eixo horizontal onde 
normalmente são colocados os valores do domínio da função; o segundo termo de cada um 
desses pares é medido sobre o eixo vertical, onde normalmente são colocados os valores do 
contradomínio da função. 
Nos exemplos seguintes, vamos representar funções por meio de uma tabela, de um 
gráfico, de uma fórmula e da descrição verbal. São essas as quatro maneiras mais usuais de 
se representar uma função. Em geral, existe a maneira mais adequada para se representar uma 
função, dependendo do uso que se precisa fazer dela. Assim, o padrão dos batimentos 
cardíacos de uma pessoa é mais facilmente observado em um eletrocardiograma, que é o 
gráfico de uma função. 
 
Exemplo 2 
 
Quando uma bola é chutada para cima, a altura da bola depende do tempo decorrido desde 
o momento do chute. 
a) Esse fato pode ser representado por meio da seguinte tabela de valores. 
 
Tempo t (em segundos) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 
Altura )(tf (em metros) 0 6,25 10,00 11,25 10,00 6,25 0 
Tabela 1.2 
 
Na Tabela 1.2, estão indicados sete dentre os infinitos pares ordenados que constituem 
a função: (0, 0), (0,5; 6,25), (1,0; 10,00), (1,5; 11,25), (2,0; 10,00), (2,5; 6,25) e (3,0; 0). Os 
elementos da primeira linha da tabela são do domínio da função; os elementos da segunda 
linha são do contradomínio da função. 
A representação de uma função por meio de uma tabela é muito utilizada para indicar 
as medidas obtidas em experiências científicas. 
b) Podemos, também, usar um gráfico para representar essa função. 
 
 
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Figura 1.3 
 
Para construir esse gráfico da Figura 1.3, foram plotados em um sistema de 
coordenadas cartesianas três dos pares ordenados da tabela: (0, 0), (1,5; 10,25) e (3,0; 0). A 
seguir, esses pontos foram ligados por meio de uma curva contínua, traçada sem tirar o lápis 
do papel (ou mantendo o mouse pressionado). Fazer um traço contínuo sugere que, para 
qualquer instante considerado entre 0 e 3 segundos, existe uma altura correspondente para a 
bola chutada. O traço contínuo é uma invenção engenhosa da matemática para representar 
fenômenos que ocorrem, aparentemente, sem dar saltos. 
 
c) Para efeito de manipulação algébrica e de análise matemática, essa função pode ser 
representada por uma fórmula. 
tttf 155)( 2 +−= 
A descrição de uma função por meio de uma fórmula é a mais resumida delas; na 
fórmula, utilizamos uma linguagem codificada. Quando escrevemos tttf 155)( 2 +−= , 
estamos escrevendo uma frase completa por meio de símbolos matemáticos: o primeiro 
membro da equação, )(tf , é o sujeito da frase; o sinal de igualdade, = (é igual a), é o verbo e 
o segundo membro da equação, tt 155 2 +− , é o predicativo. Em geral, a fórmula de uma 
função é conseguida por meio de muitas experimentações feitas com o fenômeno físico que se 
pretende descrever ou modelar. 
 
d) Além disso, uma função pode ser representada por meio de descrição verbal. 
 O fenômeno apreciado nesse exemplo pode ser descrito verbalmente, como se mostra 
a seguir: 
 Quando uma bola é chutada para o alto, a sua altura em relação ao solo é função do 
tempo decorrido desde o momento do chute, ou o instante inicial, até o momento em que toca 
o solo, ou o instante final. No caso em estudo, a altura da bola no instante 0=t é zero, no 
instante 5,1=t é 11,25 e no instante 3=t volta a ser zero. 
Das quatro representações propostas para o exemplo, as de mais fácil leitura são a 
tabela e o gráfico. A de mais fácil manipulação computacional é a fórmula. A descrição verbal 
de uma função nem sempre consegue explicitar todos os detalhes de um fenômeno; existem 
situações que só conseguimos descrever por meio de gráficos ou de tabelas ou de fórmulas; 
isso significa que existem situações que só podem ser descritas por meio da linguagem 
matemática. Você pode entender melhor essa afirmativa se pensar que o computador é um 
artefato matemático! Nos programas para computadores, substituem-se cores, sons e palavras 
por seqüências de números formados pelos algarismos 0 e 1; o computador compara e ordena 
essas seqüências numéricas de acordo com o programado. Se é verdade que um gesto vale 
mais que mil palavras, também é verdade que uma equação matemática vale por milhares de 
palavras. 
 
Exemplo 3 
 
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Considere um tanque com l1200 de capacidade e uma torneira que despeja nele 
l40 de água por minuto. O volume de água despejada é função do tempo em que a torneira 
ficar aberta. 
a) O fenômeno de enchimento do tanque em função do tempo pode ser descrito por meio 
da tabela a seguir: 
 
Tempo t (em minutos) 0 1 2 3 ... 29 30 
Volume V (em litros) 0 40 80 120 ... 1160 1200 
Tabela 1.3 
 
b) Por meio de um gráfico, a função fica assim descrita: 
 
 
Figura 1.4 
 
c) Por meio de uma fórmula, podemos escrever: 
ttf 40)( = , 300 ≤≤ t 
As variáveis V e t se relacionam pela igualdade tV 40= , com 300 ≤≤ t . Para cada 
valor atribuído à variável t corresponde um único valor para a variável V. A relação 
tV 40= é a lei de associação ou a lei de formação da função. 
 
d) Uma possível descrição verbal dessa função é a seguinte: 
O volume de água despejado no tanque é função do tempo decorrido desde o instante 
em que a torneira foiaberta. A torneira é aberta quando o tanque está vazio e despeja 
no tanque 40 litros a cada minuto. Como a capacidade do tanque é de 1200 litros, 
serão necessários 30 minutos para que essa torneira encha o tanque. 
 
1.4 Exercícios resolvidos 
 
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1) Um radar eletrônico flagra um automóvel andando a 108 km/h em uma avenida de 
Belo Horizonte a 1:00 da manhã. Considerando que o carro se mantenha nessa mesma 
velocidade por 1 minuto: a) Construa uma tabela que relacione a distância percorrida por ele 
em função do tempo no intervalo entre 01:00 e 1:01 da manhã. b) Consiga uma fórmula 
(função) que expresse a relação entre distância (em metros) e o tempo (em segundos) para o 
carro no mesmo intervalo de tempo. c) Expresse graficamente a função obtida no item 
anterior. 
 
Solução 
 
a) Expressar o tempo em horas, neste caso, não seria muito apropriado tendo em vista 
que o intervalo a ser representado é de apenas 1 minuto, como isso faremos: 
 
sm
s
m
h
km /30
3600
108000
1
108
== 
 
Agora podemos construir a tabela 
 
Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 60 
Distância (m) 0 300 600 900 1200 1600 1800 
 
b) Como a cada segundo o carro percorrerá 30m temos a seguinte função que relaciona a 
distância D com cada instante t do tempo: 
 
60030)( ≤≤= tttD 
 
c) Construiremos o gráfico utilizando o programa winplot: 
 
Orientações: 
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados 
na Unidade 1 e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a 
resolução das questões das atividades. 
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, você deverá 
procurar esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação pelo 
correio acadêmico. 
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode 
fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos 
detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema 
 
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Figura 1.6 
 
2) Certo estacionamento cobra R$7,00 por dia, mas possui uma promoção em que o 
cliente pode comprar um selo no valor de R$60,00 com o qual ele passa a pagar 
apenas R1,00 por dia. Com base nestas informações: a) escreva uma equação para 
cada situação de pagamento. b) faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema 
de coordenadas. c) através do gráfico determine a partir de quantos dias passa a ser 
vantajoso comprar o selo promocional. 
 
Solução 
 
a) Considerando f a função para situação normal, g a função do preço com o selo e t o 
tempo em dias teremos: 
ttg
ttf
+=
=
60)(
7)(
 
 
b) 
 
Figura 1.7 
 
c) Com base no gráfico fica claro que a partir do décimo dia de uso do estacionamento 
comprar o selo promocional se torna mais vantajoso. 
 
 
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3) Uma caixa aberta em cima tem um volume de 312 m . O comprimento da base é o dobro da 
largura. O material da base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material 
das laterais custa R$8,00 por metro quadrado. Expresse o custo total do material em 
função da largura da base. 
 
Solução 
 
Consideremos a caixa representada no 
diagrama ao lado, na qual a é a medida da 
largura da base, 2a o comprimento e h a altura. 
 
Assim, o custo total da caixa, em reais, é dado por: 
2C (2a a) 10 2a h 8 2 2a h 8 C 20a 48ah= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + 
 
Por outro lado, o volume da caixa, em metros quadrados, é V 2a a h= ⋅ ⋅ . Fazendo V 12= , 
obtemos 2 2
612 2a h h
a
= ⇒ = . 
Substituindo este valor de h na equação do custo total, 2C 20a 48ah= + , temos: 
 
2 2
2
6 288C 20a 48a C(a) 20a
a a
= + ⋅ ⇒ = + 
Portanto, a equação 2 288C(a) 20a
a
= + expressa o custo C da caixa em função da largura a de 
sua base. 
O gráfico dessa função, feito no winplot, a seguir. 
 
 
 
 
Questionário 1 
 
Para responder às perguntas deste questionário, utilize um livro de Cálculo. Tente redigir suas 
respostas, com clareza, como se estivesse explicando a matéria para alguém. 
 
1) O que é uma função? 
2) O que é domínio de uma função? 
3) O que é a variação ou a imagem de uma função? 
4) O que é o gráfico de uma função? 
5) Como, a partir do gráfico de uma determinada curva, sabemos tratar-se do 
gráfico de uma função? 
6) Escolha uma função e represente-a de quatro maneiras. 
a 
2a 
h 
 
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7) O que é uma função par? Como saber, a partir do gráfico, se uma função é par ou 
não? 
8) O que é uma função ímpar? Como saber, a partir do gráfico, se uma função é 
ímpar ou não? 
9) Quando dizemos que uma função é crescente em um intervalo [ ]a,b ? 
10) Quando dizemos que uma função é decrescente em um intervalo [ ]a,b ? 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 1 
 
1) O preço da conta de água a ser pago mensalmente é função da quantidade de água 
consumida. 
 
2) O tempo gasto por um carro para percorrer determinada distância é função de sua 
velocidade. 
 
3) O comprimento C de uma circunferência é função de seu raio r, definida pela lei 
rC pi2= . 
 
4) A área S de um quadrado é função da medida de seu lado l, definida pela lei 2lS = . 
 
5) A quantidade de dinheiro em uma conta bancária que rende juros e na qual foram 
depositados, inicialmente, R$100,00. 
 
6) Esboce um possível gráfico para descrever a velocidade de um carro que desacelera 
constantemente como função do tempo. Explique o significado desse gráfico. 
 
7) Esboce um gráfico que descreva a variação da temperatura de um pedaço de aço 
aquecido em uma fornalha e deixado do lado de fora desta para esfriar, em função do 
tempo. Explique o significado desse gráfico. 
 
8) Esboce um possível gráfico para descrever a variação da temperatura de um copo de 
água com gelo colocado sobre a mesa da cozinha. Escreva um texto comparando esse 
gráfico com o do exercício 7. 
 
9) Uma caixa retangular fechada de base quadrada tem volume de 3m2 . Expresse a área 
superficial dessa caixa como uma função do comprimento de um lado da base. 
 
10) A lei de Hooke fornece um excelente exemplo de proporção direta. Segue a partir 
desta lei que se um peso de x unidades for pendurado em uma mola, esta se alonga por 
um valor de y o qual é diretamente proporcional a x, isto é, y = kx. A constante k 
depende da rigidez da mola. Considerando que 1 kg alonga certa mola em 0,5 cm 
encontre: a) o valor da constante k para esta mola. b) A função que relaciona o peso 
com o comprimento alongado da mola. c) Construa uma tabela de valores para pesos 
variando de 1 a 10 kg e seus respectivos alongamentos. d) Construa um gráfico para 
esta função. 
 
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11) Suponha que um carro se mova a uma velocidade constante de 88 km/h e passe pelo 
quilômetro 100 de uma rodovia. Escreva uma função que relacione a posição x do 
carro (em relação ao quilômetro zero) com o tempo t (a partir do momento em que ele 
passa pelo quilômetro 100) sabendo que o carro se afasta do início da rodovia. 
 
12) Uma bola é atirada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 192 cm/s. 
De acordo com estas informações a velocidade da bola em função do tempo é: 
ttv 96192)( −= , agora responda: 
 
a) Qual a velocidade da bola, passados 3 segundos do lançamento? 
b) Neste instante a bola estará subindo ou descendo? 
c) Em que instante a bola atinge altura máxima? 
d) O que se pode dizer a respeito da aceleração da bola?