Material de Cálculo PUC - Unidade 03

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Cálculo I 
Funções quadráticas 
 
Notas de aula 3 
 
Introdução 
 
Nesta unidade, estudaremos a função quadrática ou função do segundo grau. Seu 
gráfico é uma parábola, termo de origem grega que significa jogar longe (para – longe, 
balein – jogar). Ela aparece na descrição da queda de corpos, no movimento de projéteis, 
no estudo de ótica (lentes e espelhos) e de outros fenômenos. 
 
Você já conhece esta função! É dela que vêm as equações e inequações do segundo 
grau, que você estuda desde a oitava série do Ensino Fundamental. É importante que você 
saiba manipular bem esta função e, sobretudo, conheça bem o seu gráfico e suas 
propriedades. 
 
 
3.1 Construindo quadrados com varetas 
Título: Unidade 03 
Autor: Jonas Lachini 
 
Orientações 
 
• Estude atentamente as Notas de Aula 3. Analise com bastante cuidado os 
exemplos apresentados e os exercícios resolvidos. 
• Estude este assunto em um livro de Cálculo. O Questionário 3 pode ajudá-lo 
nessa tarefa. 
• Resolva os Exercícios 3. As questões neles propostas servem para você fixar 
conceitos e melhorar sua habilidade em lidar com conceitos do Cálculo. 
• Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio acadêmico, ao 
fórum de discussão, aos chats ou, melhor ainda, a seu grupo de estudos de 
Cálculo. 
Leia sempre o quadro de avisos! 
 
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Um artesão constrói quadrados com varetas cujos comprimentos, medidos em centímetros, 
são números inteiros que variam de um a dez centímetros. A medida da área A de cada 
quadrado é função do comprimento do seu lado l. Na Tabela 3.1 estão alguns valores do 
lado l e os valores correspondentes da medida da área A. 
 
l (em centímetros) 1 2 3 4 5 ... 9 10 
A (em centímetros quadrados) 1 4 9 16 25 ... 81 100 
Tabela 3.1 
 
Observando os valores dessa tabela, podemos concluir que não se trata de uma função 
linear porque a taxa de variação da medida da área em relação à variação do comprimento 
do lado não é constante. Podemos verificar, por exemplo, que, quando o comprimento do 
lado passa de 2 cm para 3 cm, a medida da área do quadrado passa de 24cm para 29cm , ou 
seja, 5
1
49
23
)2()3(
=
−
=
−
−
=
∆
∆ AA
l
A
; porém, quando o comprimento do lado vai de 4 cm 
para 5cm, a medida da área varia de 216cm para 225cm , ou seja, 
9
1
1625
45
)4()5(
=
−
=
−
−
=
∆
∆ AA
l
A
. Esses valores mostram duas variações distintas da 
função área: uma de 
cm
cm
1
5 2
 (centímetros quadrados por centímetro) e outra de 
cm
cm
1
9 2
. 
 
A variação da área é proporcional à variação do quadrado do comprimento do lado. Em 
matemática, escrevemos: 2lkA = (onde k é a constante de proporcionalidade). Como o 
ponto (3, 9) pertence ao gráfico dessa função, temos: 13.9 2 =⇒= kk . Assim, a função é 
dada pela fórmula: 2lA = . 
 
 
 
Figura 3.1 
 
 
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Na Figura 3.1, está o gráfico da função 2lA = , cujo domínio é { }10,,3,2,1 L=D e cujo 
conjunto-imagem é { }100,,16,9,4,1Im L= . Observe que esse gráfico é constituído de 
pontos separados porque no domínio da função aparecem apenas números inteiros. Ligando 
esses pontos por um traço contínuo, obtemos uma curva que é o segmento de uma parábola. 
 
3.2 Viajando com uma laranja 
 
Uma laranja é jogada verticalmente para o alto, com velocidade de 15 metros por segundo, 
no instante 0=t . Sua altura h (em metros) acima do solo, no instante t (em segundos), é 
dada pela equação tth 155 2 +−= . 
 
O gráfico dessa função h é uma parábola voltada para baixo. Observe, à esquerda na Figura 
3.2, a trajetória da laranja, que só se movimenta na vertical e cai no mesmo ponto do qual 
partiu. A parábola, à direita na mesma figura, não é o gráfico da trajetória, mas sim da 
altura h em função do tempo t; em outros termos, a parábola indica a variação da altura em 
relação à variação do tempo. 
 
 
Figura 3.2 
 
As interseções do gráfico com o eixo horizontal são obtidas fazendo-se 0=h na fórmula 
da função, ou seja, tt 1550 2 +−= . Resolvendo essa equação, temos 0=t ou 3=t . O 
movimento da laranja ocorre, pois, entre 0=t , instante em que a laranja é jogada, e 3=t , 
momento em que cai no chão. Na metade de sua viagem, no instante st 5,1= , a laranja 
atinge o ponto mais alto: mh 25,115,1.15)5,1(.5)5,1( 2 =+−= . 
 
A laranja se encontra a 10 metros do chão nos instantes st 1= e st 2= ; a altura é igual a 5 
metros para st 38,0= e também para st 62,2= . Podemos observar que a taxa de variação 
da altura h é positiva quando a laranja está subindo e negativa quando a laranja está 
descendo: 
 
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s
mhh
t
h 06,8
62,0
510
38,01
)38,0()1(
=
−
=
−
−
=
∆
∆
 (velocidade média com que a laranja sobe); 
s
mhh
t
h 06,8
62,0
105
262,2
)2()62,2(
−=
−
=
−
−
=
∆
∆
 (velocidade média com que a laranja desce). 
 
As funções 2lA = e tth 155 2 +−= são exemplos de funções quadráticas, também 
chamadas de funções do segundo grau porque o maior grau da variável independente é 
dois. 
 
3.3 A fórmula e o gráfico de uma função quadrática 
 
De modo geral, a função quadrática tem a forma cbxaxy ++= 2 , onde a, b e c são 
números reais, com 0≠a . O gráfico da função quadrática é sempre uma parábola, côncava 
para cima ou côncava para baixo. 
 
Na Figura 3.3 está o gráfico da função quadrática 2xy = . O valor da variável dependente y 
é proporcional ao valor do quadrado da variável independente x. 
 
 
Figura 3.3 
 
Na Tabela 3.2, estão alguns valores de x e os correspondentes valores de y ; na terceira 
linha, estão valores da variação y∆ para uma variação .1=∆x ∆ 
 
x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 
2xy = 9 4 1 0 1 4 9 
y∆ – 5 – 3 – 1 1 3 5 
Tabela 3.2 
 
 
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A taxa de variação 
x
y
∆
∆
 é negativa quando são tomados dois valores de y correspondentes a 
valores de x à esquerda da origem, fato que indica ser essa função decrescente no intervalo 
( ]0,∞− ; por outro lado, a taxa de variação
x
y
∆
∆
 é positiva quando são considerados valores 
de x à direita da origem, o que mostra ser essa função crescente no intervalo [ )∞+,0 . 
Lembre-se de que x∆ é sempre positivo. 
 
3.4 As raízes ou os zeros de uma função quadrática 
 
Uma raiz ou um zero de uma função )(xfy = é o valor de x para o qual 0)( =xf . 
Geometricamente, os zeros de uma função são os valores de x em que o seu gráfico cruza 
ou toca o eixo x. (O eixo x é a reta 0=y ). Nem toda função tem gráfico que toca ou cruza 
o eixo horizontal; portanto, nem toda função tem zeros ou raízes. A função 42 += xy , por 
exemplo, não tem zeros. 
 
O gráfico da função cbxaxy ++= 2 , com 0≠a , é uma parábola, quaisquer que sejam os 
valores dos coeficientes a , b e c. Quando 0>a , a parábola se abre para cima e existem 
três possibilidades para os zeros dessa função e essas são mostradas na Figura 3.4. 
 
 
Figura 3.4 
 
Como já sabemos, as raízes da equação quadrática 02 =++ cbxax são dadas pela fórmula. 
a
acbb
x
2
42 −±−
= . As três possibilidades mostradas na Figura 3.4 correspondem, 
respectivamente, às condições algébricas: 
042 >− acb (duas raízes reais distintas) 
042 =− acb (uma raiz real dupla) 
042 <− acb (sem raízes reais) 
O ponto mais baixo do gráfico da função quadrática é o vértice da parábola e suas 
coordenadas são 
a
b
xV 2
−= e 
a
yV 4
∆−
= (onde acb 42 −=∆ ). 
Observe que )
2
(
a
bfyV −= . 
 
 
PUC Minas Virtual • 6 
3.5 O gráfico da função quadrática 
 
O problema de construir o gráfico de uma função quadrática dada por meio de sua fórmula 
ébem simples (mesmo sem utilizar uma calculadora), conforme podemos verificar nos 
dois exemplos a seguir. 
 
Exemplo 1 
 
Esboce o gráfico da função 123)( 2 −−= xxxf . 
a) Determinamos as coordenadas do vértice: 
 
3
1
3.2
2
2
=
−
−=−=
a
b
xV ; 3
4
12
16
3.4
)1(.3.4)2(
4
2
−=−=
−−−
−=
∆
−=
a
yV 
b) Determinamos dois pontos da parábola, um à esquerda do vértice e outro à direita 
do vértice: 
 41)1(.2)1(.3)1( 2 =−−−−=−f . O ponto (-1, 4) pertence ao gráfico de f. 
 712.22.3)2( 2 =−−=f . O ponto (2, 7) pertence ao gráfico de f. 
c) Plotamos os pontos (-1, 4), (2, 7) e )
3
4
,
3
1( − , ligando-os por meio de uma curva que 
tenha a forma de uma parábola. A reta vertical que passa pelo vértice é o eixo de 
simetria da parábola; ela funciona como um espelho que reflete à direita o traço 
desenhado a sua esquerda e vice-versa. Veja a Figura 3.5. 
 
 
Figura 3.5 
 
Exemplo 2 
 
Uma bola é atirada para cima do topo de um edifício com 96 pés de altura, com velocidade 
inicial de 16 pés por segundo. Sua altura h (em pés) acima do solo, t segundos após ser 
atirada, é dada pela função 2161696 tth −+= . Esboce o gráfico da altura versus tempo. 
a) Determinamos as raízes da função: 
 
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 32
32
80160961616 2 =−=⇒±=⇒=−− toutttt 
b) Determinamos o vértice da parábola: 
 
2
1
2
32
=
+−
=Vt (a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes) 
 1004896)
2
1( =−+== hhV (a ordenada do vértice é )( Vth ) 
c) Plotando os três pontos determinados, (-2, 0), (3, 0) e (
2
1
, 100), e considerando que 
o domínio dessa função é o intervalo [ 0, 3 ], podemos esboçar o gráfico de h. 
 
Figura 3.6 
 
Também é bem simples o problema de achar uma possível fórmula para a função 
quadrática dada por meio de seu gráfico ou de uma tabela de valores. Consideremos dois 
exemplos. 
Exemplo 3 
 
Determine uma possível fórmula para a função quadrática cujo gráfico é dado na Figura 
3.7. 
 
 
Figura 3.7 
 
PUC Minas Virtual • 8 
 
a) No gráfico, aparecem as raízes da função 1−=x e 3=x . Então, a função é da 
forma )3()1( −+= xxay . Como a parábola é côncava para baixo, a é negativo. 
b) Não há como calcular o valor de a porque não foram dadas as coordenadas de 
nenhum ponto fora do eixo x. Assim o problema tem muitas respostas. 
c) Estimando que o gráfico corte o eixo y no ponto (0, 4), podemos determinar o valor 
de a, fazendo 4)0( =y . Então, temos: 
3
4)30()10(4 −=⇒−+= aa . 
d) Assim, a função tem como fórmula )3()1(
3
4
−+−= xxy ou, efetuando o produto, 
4
3
8
3
4 2 ++−= xxy . 
 
Exemplo 4 
 
Uma espaçonave subiu até uma altitude de 192 km, e depois caiu no mar, totalizando um 
vôo de 16 minutos. Determine a fórmula da função que dá a altitude y (em quilômetros) em 
função do tempo, t minutos após a decolagem. 
a) Com os dados do problema, podemos fazer a seguinte tabela de valores: 
 
t (em minutos) 0 8 16 
y (em quilômetros) 0 192 0 
Tabela 3.3 
 
b) Com os valores da tabela, podemos escrever: )16()0( −−= ttay e, considerando 
que o ponto (8, 192) pertence à curva, 3)168()08(192 −=⇒−−= aa . 
 
c) Assim, a função tem como fórmula )16()0(3 −−−= tty ou, efetuando o produto, 
tty 483 2 +−= , com 160 ≤≤ t . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.6 Exercícios resolvidos e comentados 
 
 
1) Na figura, estão os gráficos da reta r e da parábola 2y x 3x= − . Determine a 
equação da reta r e o valor da ordenada b, sabendo que os pontos de interseção 
dessas curvas ( a reta e a parábola) são 1 2B( 1, y ) e A (2, y )− . 
 
 
 
Solução 
 
Os pontos 1 2B( 1, y ) e A (2, y )− pertencem à parábola 2y x 3x= − . Portanto, 
2
1y ( 1) 3 ( 1) 4= − − ⋅ − = e 22y 2 3 2 2= − ⋅ = − . 
Assim, os pontos comuns à parábola e à reta r são ( 1,4) e (2, 2)− − . Então, r é a reta que 
passa por esses dois pontos e, em conseqüência, seu coeficiente angular é 
2 4 6
m 2
2 ( 1) 3
− − −
= = =
− −
 e sua equação é y 4 2(x 1)− = − + ou y 2x 2= − + . 
Como o ponto (0,b) está sobre a reta r, temos: b 2 0 2 b 2= − × + ⇒ = . 
 
Orientações: 
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos 
estudados na Capítulo 3 e ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como 
sugestões para a resolução das questões das atividades. 
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, você deverá 
procurar esclarecimento, revendo os textos estudados ou solicitando orientação pelo 
correio acadêmico. 
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode 
fazer esse estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos 
detalhes e, ao final, compor uma visão bem completa do problema 
 
PUC Minas Virtual • 10 
2) O gráfico da função cbxxaxf ++= 2)( passa pelo ponto (5,8) , tem vértice em 
(2, 1)− e corta o eixo das ordenadas no ponto (0,3) . Com base nessas informações: (a) 
estabeleça a equação dessa função; (b) determine as suas raízes e (c) esboce seu gráfico. 
 
Solução 
 
a) Se o ponto (5,8) pertence ao gráfico da função cxbxa)x(f 2 ++= , podemos 
escrever: 2a .5 5b c 8 25a 5b c 8+ + = ⇒ + + = . 
 Como (2, 1)− é o vértice da parábola cxbxa)x(f 2 ++= , b2 b 4a
2a
= − ⇒ = − . 
 Já que o ponto (0,3) pertence à parábola cxbxa)x(f 2 ++= , temos: 
 
2a 0 b 0 c 3 c 3× + × + = ⇒ = . 
Usando as igualdades encontradas até aqui, podemos achar o valor dos parâmetros 
da equação da parábola, conforme indicado a seguir: 
25a 5b c 8
b 4a a 1, b 4 e c 3
c 3
+ + = 

= − ⇒ = = − =

= 
 
 Então, a equação da parábola é 2f (x) x 4 x 3= − + 
b) Para determinar as raízes, resolvemos a equação: 
2 4 2
x 4 x 3 0 x x 1 ou x 3
2
±
− + = ⇒ = ⇒ = = 
 
c) O gráfico da função 2f (x) x 4 x 3= − + está a seguir: 
 
 
 
 
3) Escreva uma possível fórmula para a função quadrática cujo gráfico aparece a seguir: 
 
 
PUC Minas Virtual • 11 
 
 
Solução 
 
Supondo que a função tenha como raízes x 2= − e x 3= , podemos afirmar que sua 
equação é da forma f (x) k (x 2)(x 3)= + − , uma vez que a função é quadrática. Além disso, 
estimando que o gráfico corte o eixo das ordenadas no ponto (0,12) , temos: 
f (0) 12 k(0 2)(0 3) 12 k 2= ⇒ + − = ⇒ = − 
Portanto, uma possível fórmula para a função representada nesse gráfico é 
2f (x) 2x 2x 12= − + + 
 
Questionário 3 
 
Estude, em um livro de Cálculo, a parábola como gráfico da função quadrática. Depois 
disso, considerando 0<a , na equação cxbxay ++= 2 , responda às seguintes perguntas: 
 
1) Quais são as três possibilidades para os zeros dessa função? Dê um exemplo e 
esboce o gráfico para cada uma dessas possibilidades. 
2) Quais são as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico dessa função? 
3) O que vem a ser o eixo de simetria da parábola? Escreva a equação desse eixo de 
simetria. 
4) Como é a variação de sinal dessa função? 
5) Em que intervalo essa função é crescente? Em que intervalo é decrescente? 
 
Exercícios 3 
 
1) Se cbxxaxf ++= 2)( , que afirmativas você pode fazer a respeito dos parâmetros 
a, b e c em cada uma das situações abaixo: 
 
a) O ponto (1, 1) está no gráfico de f. 
b) O vértice do gráfico de f é o ponto (1,1). (Talvez você queira usar o fato de 
que a equação para o eixo de simetria da parábola é 
a
b
x
2
−= ). 
 
PUC Minas Virtual • 12 
c) A interseção com o eixo y é (0,6). 
d) Encontre uma função quadrática que satisfaça todas as três condições 
anteriores. 
 
2) Escreva uma possível fórmula para a função quadráticacujo gráfico vem a seguir: 
 
 
3) Uma bola é jogada do chão verticalmente para cima, com velocidade de 20 metros 
por segundo, no instante 0=t . Sua altura no instante t é dada pela função 
tttf 205)( 2 +−= . Encontre o instante em que ela bate no chão e o instante em que 
atinge o ponto mais alto. Qual é a altura máxima atingida pela bola? 
4) A altura de um objeto acima do solo, num instante t, é dada por 20 2 t
g
tvs −= , onde 
0v representa a velocidade inicial e g é uma constante chamada aceleração da 
gravidade. 
a) Qual é a altura inicial do objeto? 
b) Quanto tempo o objeto permanece no ar? 
c) Em que instante o objeto atinge sua altura máxima? 
d) Qual é a altura máxima? 
 
5) Determine o domínio e a imagem ou a variação de cada uma das funções: 
a) 542 −−= xxy 
b) 22 −−= xxy 
c) )2(cos 2 xxy −= 
d) 
32
4
2
−+
=
xx
y 
6) Se b
x
x =+
1
, calcule 2
2 1
x
x + . 
7) Use o resultado do exercício 6 para resolver a equação: 01585 22 =+−+−
xx
xx . 
8) Um atleta treina diariamente correndo 30 km. Se corresse 2 km a mais por hora, seu 
treino duraria meia hora a menos. Quanto tempo dura o treino?