Matematica discreta

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Disciplina: Matemática Discreta
Curso: Engenharia da Computação
Universidade Positivo
Aluno: Mauricio Berges da Luz
Atividade para composição da nota Bimestral (1º bimestre).
Peso: 2,0.
Condição: Individual.
A presente atividade deverá ser realizada e entregue para a professora em sala de aula até a data de 17/04/2018. 
OBS.:
1º) Trabalhos entregues após esta data serão corrigidos, porém será atribuído nota 0,0 (zero).
2º) Aos trabalhos identificados como plágio serão atribuídos nota zero.
Por tabela verdade demonstre relações de equivalência:
p ( p q ) p 
	P
	Q
	( P  Q ) 
	P  ( P  Q ) 
	P
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	F
Verdadeira
p ( p q ) p 
	P
	Q
	( P  Q ) 
	P  ( P  Q )
	P
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	F
Verdadeira
( p q ) ( p r ) p p r 
	P
	Q
	R
	P  Q
	P  R 
	(P  Q)  (P  R )
	P  P  R 
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V 
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
Falsa
p q ( p q ) ~( p q ) 
	P
	Q
	P  Q 
	~(P  Q) 
	( P  Q )  ~( P  Q )
	P  Q 
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
Verdadeira
Apresente a negação, em linguagem corrente das seguintes proposições:
Atlético é alvi-verde e Coritiba é rubro-negro.
R: Atlético não é alvi-verde ou Coritiba é rubro-negro..
As vendas diminuem e os preços aumentam.
R: As vendas não diminuem ou os preços não aumentam.
É falso que está frio ou que está chovendo.
R: Está frio ou está chovendo.
Se João passar em Física então se formará.
R: João passa em Física e não se forma.
Não tenho carro e não tenho moto.
R: Tenho carro ou tenho moto
Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis:
p q r ( p q ) ( p r )
R:
	Pela Lei das Distributivas “p (q r)” é equivalente a “(p q) ( p r )”,
	Portanto “p q r ( p q ) ( p r )” é equivalente a 
“(p q ) ( p r ) ( p q ) ( p r )”.
p q r ( p q ) ( p r )
R:
	Pela Lei das Distributivas “p q r” é equivalente a “( p q ) ( p r )”,
	Portanto “p q r ( p q ) ( p r )” é equivalente a 
“( p q ) ( p r ) ( p q ) ( p r )”.
p ( r s t ) ( p r ) ( p s ) ( p t )
R:
	Pela Lei das Distributivas “p ( r s t )” é equivalente a “( p r ) ( p s ) ( p t )”,
Portanto “p ( r s t ) ( p r ) ( p s ) ( p t )” é equivalente a 
“( p r ) ( p s ) ( p t ) ( p r ) ( p s ) ( p t )”
p q r p ( q r )
R:
		Pela Lei da exportação e importação: “p q r p ( q r )”
		
Demonstre as leis de Morgan para as proposições:
~( p q r ) ~p ~q ~r
R:
	Distribuindo a negação em “( p q r )” temos: ~p (~ ) ~q(~ ) ~r
	Já que “(~ )” é equivalente a “”, obtemos: ~p ~q ~r 
Portanto: ~p ~q ~r ~p ~q ~r
	
~( p q r ) ~p ~q ~r
R:
	Distribuindo a negação em “( p q r )” temos: ~p (~ ) ~q(~ ) ~r
	Já que “(~ )” é equivalente a “”, obtemos: ~p ~q ~r 
Portanto: ~p ~q ~r ~p ~q ~r
Utilizando tabelas-verdade, verifique se existem as relações de implicação lógica seguintes:
p q q p 
	P
	Q
	P  Q 
	Q  P 
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	Verdadeiro
~( p q ) ~p ~q 
	P
	Q
	~(P  Q) 
	~P  ~Q 
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	Verdadeiro
p q r ~q r ~p 
	P
	Q
	R
	P  Q 
	~P
	R  ~Q
	P  Q  R  ~Q 
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
Falso
~p ( ~q p ) ~(p ~q) 
	P
	Q
	~P
	~Q
	~Q  P
	~P  ( ~Q  P ) 
	~(P  ~Q) 
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
Falso
Use a regra Modus Ponens para deduzir a conclusão de cada um dos argumentos abaixo:
x = y y = z, ( x = y y = z) x = z |— 
x=z
x + 1 = 2, x + 1 = 2 x = 1 |— 
x=1
Use a regra Modus Tolens para deduzir a conclusão de cada um dos argumentos abaixo:
x 0 x + y y, x + y = y|— 
x=0;
( p q ) ~( r s), ~~( r s ) |— 
~( p q )
Use a regra Dilema Construtivo para deduzir a conclusão q de cada um dos argumentos abaixo:
( p r), (~q ~s ), p ~q |— 
	r ~s
y = 0 x.y = 0, y >1 x.y > 3, y = 0 y > 1 |— 
x.y = 0 x.y>3
Reescreva os testes abaixo reduzindo as condições através das relações de equivalência:
Observe o exemplo (a) e resolva os demais itens.
SE fluxo_ext > fluxo_int ~( fluxo_ext > fluxo_int pressão < 1000 ) ENTÃO
 faça bloco de comandos A
SENÃO
 	faça bloco de comandos B
Considere:
 p: fluxo_ext > fluxo_int e 
q: pressão < 1000 
tem-se: 
p ~(p q) 
p (~p ~q) 	(De Morgan)
(p ~p) (p ~q) 	(Distrib.)
F (p ~q) 	(Complem.)
p ~q
Se fluxo_ext > fluxo_int pressão 1000
 faça bloco A
Senão
 faça bloco B
SE ~(idade > 21 sexo="F") ( ~(idade > 21) sexo="F") ENTÃO
 faça bloco de comandos A
SENÃO
 	faça bloco de comandos B
R:
P = idade > 21 
Q = sexo="F"
Tem-se:
~(P Q) (~P Q) 
(~P ~Q) (~P Q) (De Morgan)
~P (~Q Q) (Distri.)
~P V (Comple.)
~P (Identi.)
Portanto:
SE ~(idade > 21) ENTÃO
 faça bloco de comandos A
SENÃO
 	faça bloco de comandos B
SE (cab="loiro" pele="morena") (cab="loiro" pele="branca") ENTÃO
 	faça bloco de comandos A
SENÃO
 	faça bloco de comandos B
R:
P= “cab="loiro"”
Q = “pele="morena""
R = ““pele="branca""
Tem-se:
(P Q) (P R)
P (Q R) (Distri.)
Portanto:
SE (cab="loiro" (pele="morena” pele="branca")) ENTÃO
 	faça bloco de comandos A
SENÃO
 	faça bloco de comandos B
Indique a regra de inferência que justifica a validade dos argumentos seguintes:
p q |--- ( p q ) ~r						Adição
p q, q ~r |--- p ~r					Silogismo Hipotético
( q r ) ~p, ~~p |--- ~( q r )					Modus Tollens
( p q ) ( ~p r ), ~(~p r ) |--- p q				Silogismo disjuntivo
( p q r ) (~~~p) |--- ( p q r )				Simplificação
( p q) (r s), p q |--- r s				Modus Ponens
( r s ~q ) q, ( r s ~q) |--- q				Modus Ponens
( q r ) r, r ~( p s) |--- ( q r ) ~( p s)		Silogismo Hipotético
3 < 5 |--- 3 < 5 3 < 2	 					Adição
 > 4 > 8 |--- > 4 						Simplificação
Verifique a validade dos argumentos utilizando regras de inferência:
Observe o exemplo (a) e resolva os demais itens.
r p q, r, ~p |— q
r p q
r
~p
----------------------
4.	p q	MP em 1 e 2
5.	q	SD em 3 e 4
	
p q, ~q, p r |— r 
p q
~q
p r
~P 		MT em 1 e 2
R		SD em 3 e 4
p q, p r, ~r |— q s
p q
p r
~r
~P		MT em 2 e 3
Q		SD em 1 e 4
Q S		AD em 5
t, t ~q, ~q ~s |— ~s
t
t ~q
~q ~s
T ~S		SH em 2 e 3
 ~S		MP em 1 e 4
~a b, b c, ~c |— a
~a b
b c
~c
~b		MT em 2 e 3
~~a		MP em 1 e 4
a		Dupla negação em 5