Prova Deivson Sales 2017.2 UPE 2EE + gabarito

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ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1 Avaliação: 2ª Data: 11/12/2017 
Professor: Deivson Sales Semestre: 2017.2 Turma: HT 
Nome: 
 
Instruções: 
1. A pontuação de cada resposta se encontra apresentada na questão. 
2. O aluno que chegar após alguém ter entregado a avaliação, não poderá mais respondê-la. 
3. A avaliação deve ser respondida com o uso de caneta azul ou preta. 
4. Não permitida consulta a nenhum material didático. 
5. Não é permitido o uso de calculadora ou aparelho celular durante a avaliação. 
6. O aluno pego trocando respostas, terá sua avaliação recolhida e zerada. 
 
1) A temperatura em um equipamento durante o tempo 𝑡 (ℎ), em graus Celsius, é representada pela função: 
 
𝑇(𝑡) = 𝑡3 − 10,5𝑡2 + 30𝑡, 1 ≤ 𝑡 ≤ 6 h 
 
a) (0,5 pts.) Quais as temperaturas, máxima e mínima, alcançadas pelo equipamento? 
b) (0,5 pts.) Em quais períodos a temperatura é crescente? E decrescente? 
 
2) (1,5 pts.) Determine os pontos críticos, pontos extremos, estude a concavidade e esboce o gráfico da função. 
 
𝑓(𝑥) = { 𝑥
2 + 4𝑥 se 𝑥 ≤ 0
𝑥3 − 9𝑥2 + 24𝑥 se 𝑥 > 0
 
 
3) Determine os limites das funções: 
 
a) (0,5 pts. ) lim
𝑥→0
4𝑥 − sen (4𝑥)
𝑥3
 
 
b) (1,0 pt. ) lim
𝑥→0
sen(𝑥) − tg(𝑥)
𝑥3
 
 
4) (2,0 pts.) Encontre as dimensões do retângulo de área máxima inscrito em um triângulo de lados 9 cm e 12 cm. 
 
 
5) Calcule as integrais indefinidas: 
 
a) (1,0 pt. ) ∫ [−
6𝑥
√1 − 𝑥2
−
12
1 + 𝑥2
+
4𝑥 cos(𝑥2 + 1)
1 + sen(𝑥2 + 1)
+
3
2
𝑒4𝑥+1] 𝑑𝑥 
 
b) (1,0 pt. ) ∫[−𝑥 ln(𝑥2) + 5𝑥3 + cotg3(𝑥) cossec4(𝑥)]𝑑𝑥 
 
c) (1,0 pt. ) ∫ [𝑥2𝑒−𝑥 + 8𝑥3 −
5
1 + 𝑥2
] 𝑑𝑥 
 
d) (1,0 pt. ) ∫[3 cos(2𝑥) cos(3𝑥) − 4sen(2𝑥) sen(4𝑥)]𝑑𝑥 
GABARITO – CÁLCULO 1 – 2ª AVALIAÇÃO – 2017.2 
1) 
a) 
Pontos extremos: 
𝑇′(𝑡) = 3𝑡2 − 21𝑡 + 30 = 0 ⇒ {
𝑡 = 2
𝑡 = 5
 
Assim, 
𝑡 (ℎ) 1 2 5 6 
𝑇 (°𝐶) 20,5 26 12,5 18 
 Máxima Mínima 
 
b) 
𝑡(ℎ) 1 < 𝑡 < 2 2 < 𝑡 < 5 5 < 𝑡 < 6 
𝑇′ + (crescente) − (decrescente) + (crescente) 
 
2) 
Pontos críticos: 
𝑓′(𝑥) = 0 ⇒ {
2𝑥 + 4 = 0 ⇒ 𝑥 = −2 ⇒ 𝑓(𝑥) = −4
3𝑥2 − 18𝑥 + 24 = 0 ⇒ {
𝑥 = 2 ⇒ 𝑓(𝑥) = 20
𝑥 = 4 ⇒ 𝑓(𝑥) = 16
 
Pontos de inflexão: 
𝑓′′(𝑥) = 0 ⇒ {
2 ≠ 0 ⇒ não há ponto de inflexão
6𝑥 − 18 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 ⇒ 𝑓(𝑥) = 18
 
Concavidade: 
𝑓′′(𝑥) = {
𝑥 = −2 ⇒ 𝑓′′(𝑥) = 2 < 0 (ponto de mínimo)
𝑥 = 2 ⇒ 𝑓′′(𝑥) = −6 < 0 (ponto de máximo)
𝑥 = 4 ⇒ 𝑓′′(𝑥) = 6 > 0 (ponto de mínimo)
 
Esboçando o gráfico: 
 
       






x
y
3) 
a) 
lim
𝑥→0
4𝑥 − sen (4𝑥)
𝑥3
=
32
3
 
b) 
lim
𝑥→0
sen(𝑥) − tg(𝑥)
𝑥3
= −
1
2
 
4) 
 
A área do retângulo é 𝐴 = 𝑥𝑦. Por semelhança de triângulos, temos: 
9 − 𝑥
𝑥
=
𝑦
12 − 𝑦
⇒ 𝑦 = 12 −
4𝑥
3
⇒ 𝐴 = 12𝑥 −
4𝑥2
3
 
Para a área máxima: 
𝐴′(𝑥) = −
4
3
(2𝑥 − 9) = 0 ⇒ 𝑥 =
9
2
⇒ 𝑦 = 6 ⇒ 𝑨𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟕 𝒄𝒎
𝟐 
5) 
a) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6√1 − 𝑥2 − 12 arctg(𝑥) + 2 ln|1 + sen(𝑥2 + 1)| +
3
8
𝑒4𝑥+1 + 𝐶 
b) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −
1
2
𝑥2[ln(𝑥2) − 1] +
5
4
𝑥4 −
cosec6(𝑥)
6
+
cosec4(𝑥)
4
+ 𝐶 
c) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2(𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥) + 2𝑥4 − 5 arctg(𝑥) + 𝐶 
d) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
3
2
[
1
5
sen(5𝑥) + sen(𝑥)] − sen(2𝑥) +
1
3
sen(6𝑥) + 𝐶