Flexão Seção Simétrica (3)

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1
Prof. André Luis Christoforo
2
INTRODUÇÃO
FLEXÃO PURA
FLEXÃO SIMPLES
FLEXÃO COMPOSTA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
COMPORTAMENTO GERAL
Nesse curso será apresentado o comportamento
de barras simétricas submetidas a esforços que
venham a gerar momentos fletores.
3
É o tipo de flexão em que o momento fletor M é 
o único esforço solicitante não-nulo. Na flexão 
de barras simétricas, os esforços ativos e 
reativos atuam no plano de simetria da barra. 
4
Na barra são considerados as reações de 
vínculos, apoio fixo e apoio móvel.
5
São três incognitas (Ha, Va e Vb) e três equações 
de equilibrio (∑Fx=0, ∑Fy=0 e ∑Mi=0). Portanto a 
estrutura e isostática.
6
EQUAÇÕES E EQUILÍBRIO
0 xF 0aH
0 yF
0 ba VV
0 AM 0.  ebe MlVM
0bV
0aV
Logo:
Um corte é suficiente para traçar o diagrama de esforços
solicitantes.
7
CORTE I (0  X  L)
0 xF
0N
0 yF
0V
0 AM 0 eMM
Logo:
eMM 
8
A força normal N e a força cortante são nulas. 
O momento fletor M é positivo e constante ao 
longo do comprimento da viga.
9
Em uma barra sob flexão, as fibras longitudinais 
da região tracionada se alongam e da região 
comprimida encurtam. Na superfície neutra, as 
fibras longitudinais não alongam nem encurtam, 
permanecendo com o comprimento inicial. Da 
interseção de superfície neutra com a seção 
transversal resulta a linha neutra (LN).
Predominando o efeitos de flexão, a barra é 
denominada viga.
10
11
TENSÃO NORMAL
Na mesma seção transversal existem pontos
com tensão nula (σ=0), e pontos tracionados
(σ>0). 
Os pontos de tensão nula definem a linha
neutra (LN) da seção transversal, que contém a 
origem do eixo y com a posição ainda
indefinida.
Por hipotese, a tensão normal σ varia
linearmente com y, que é a distância do ponto
considerado na fibra (j) até a linha neutra (LN) 
da seção transversal. 
12
Considerando a parte a esquerda da seção
transversal definida por um corte imaginário na
barra, passando pela seção S.
13
Representação no plano
14
As forças Frt e Frc, são resultantes das partes 
tracionadas e comprimidas do diagrama da 
tensão normal.
Na flexão pura não existe força normal, logo:
0.   rcrt FFdAN 
A força elementar 𝝈.dA, distante y da linha neutra 
(LN), gera um momento dM=σ.dA.y em relação ao
eixo z. Integrando em relação a área A da seção
transversal, resulta o momento fletor M.
11 .... yFyFydAM rcrt  
(1.1)
(1.2)
15
Na posição deformada da viga, são consideradas
duas seções transversais (S1 e S2).
16
Isolando o elemento de viga ente as seções S1 e
S2.
17
Supondo pequenas deformações, o comprimento
de arco dS é aproximadamente igual a dx. A fibra
longitudinal distante y da linha neutra (LN) tem
comprimento dx, antes das deformações.
Dividindo-se a variação de comprimento Δdx pelo
comprimento inicial dx, tem-se a deformação
longitudinal ε.
dx
dx

(1.3)
18
Os triângulos AOB e CBD são semelhantes.
R
y
dx
dx

 (1.4)
Da equação (2.3) e (2.4) resulta a equação (2.5).
R
y

(1.5)
No regime elástico-linear vale a lei de Hooke:
 .
(1.6)
Utilizando a deformação especifica longitudinal da equação
(1.5) na equação (1.6), tem-se :
R
y
.
ou
R
y

 .
(1.7)
19
0...   dAyR
E
dAN
AA

Substituindo a a tensão normal na equação (6.7) na
equação (6.1), tem-se:
ou
0.   dAyR
E
N
A
(1.8)
A integral da equação (2.8), envolvendo um momento de
area de primeira ordem, representa o momento estatico em
relação ao eixo z.
O modulo de deformação longitudinal E do material da viga
não é nulo, e a viga, na posição deformada, tem curvatura
(1/R) diferente de zero. Logo a integral da equação (2.8)
deve ser nula.
0.  dAy
A
(1.9)
20
Essa integral nula, equação (1.9), indica que a linha neutra
(LN), contendo a origem do eixo y, passa pelo centro de
gravidade (CG) da seção transversal.
Substituindo a tensão normal da equação (1.7) na equação
(1.2), tem-se:
0.....   dAyyR
E
dAyM
AA

ou
0².  
A
dAy
R
E
M
(1.10)
21
A integral da equação (1.10), envolvendo um momento de
área de segunda ordem, é denominado momento de
inércia em relação a o eixo z, equação (1.11). O eixo z
coincide com a linha neutra (LN).

A
z dAyI ².
(1.11)
Portanto, a equação (1.10) torna-se:
zI
R
M .

 (1.12)
ou
RI
M
z


Das equações (1.7) e (1.12), resulta a equação (6.13).
y
I
M
z
.
(1.13)
22
Por convenção, um momento fletor positivo (M>0) traciona a 
parte inferior da seção tranversal . Como o momento de 
inercia (Iz), equação (1.11), é sempre positivo, o eixo y deve
ser orientado com o sentido positivo para baixo, para se 
obter tração (σ>0) na parte inferior da seção.
dybdA .
MOMENTO DE INERCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Z
23
Na intersecção dos dois eixos de simetria esta posicionado 
o centro de gravidade (CG) da seção transversal, origem 
dos eixos (y,z), que são orientados com os sentidos 
indicados na figura anterior.

A
z dAyI ².
(1.11)
Substituindo a area do elemento infinitesimal dA na equação
(1.11) e integrando:
Da figura anterior sabe-se que dA=y.dy.
12
³
22
.
3
.².
332/
2/
bh
I
hhb
dybyI z
h
h
z 




















 

(1.14)
24
Seja uma seção S qualquer submetida a um momento 
fletor.
TENSÃO NORMAL EM UMA SEÇÃO GENÉRICA
EQUAÇÃO DE EQUILIBRIO
0 SM 0 MM MM 
25
Na seção tranversal S, são escolhidos os pontos das fibras 
(1), (2), (j) e (3).
26
A tensão normal é determinada por meio da equação (2.13),
e o momento de inercia, em relação ao eixo z da seção
retangular com equação (2.14)
y
I
M
z
.
(1.13)
12
³.hb
I z 
(1.14)
27
Pontos da borda superior, fibra (1):
2
)1(
h
y 
².
.6
2
.
12/³.
)1(
hb
Mh
hb
M ee 






Pontos da linha neutra, fibra (2):
0)2( y   00.
12/³.
)2( 
hb
M e
28
Pontos de um fibra qualquer, fibra (j):
yjy )(
  y
hb
M
y
hb
M
j ee .
³.
.12
.
12/³.
)( 
Pontos da borda inferior, fibra (3):
2
)3(
h
y 
².
.6
2
.
12/³.
)3(
hb
Mh
hb
M ee 






29
30
Tipo de flexão, onde a força cortante V e o 
momento fletor M são esforços solicitantes 
não nulos.
• Resulta da Tensão 
Normal 
Momento 
Fletor M
• Resulta da Tensão 
de Cisalhamento 
Força 
Cortante V
31
Na flexão de barras de seção simétrica, os 
esforços ativos e reativos atuam no plano de 
simetria da viga.
32
TENSÃO NORMAL E TENSÃO DE CISALHAMENTO
A tensão normal em decorrência do momento fletor M é 
determinada pela equação:
(2.1)
y
I
M
z
.
A tensão de cisalhamento é determinada considerando 
um elemento de comprimento dx.
33
Isolando o elemento entre as seções S1 e S2.
34
No elemento infinitesimal entre as seções S1 e S2, 
admite-se um corte longitudinal passando pela fibra (j) 
e considera-se a parte inferior.
35
Nas seções S1 e S2, a resultante das tensões normais  e 
( +d) que atuam na área Ainf=b.(yi – y) abaixo da fibra (j) 
são as forças F e F+dF, respectivamente.
No cálculo dessas forças, temos:
 
inf inf
..
A A z
ydA
I
M
dAF 
 
inf inf
..
A A z
ydA
I
dM
dAddF 
(2.2)
(2.3)
36
Admite-se a tensãode cisalhamento 0 na direção 
longitudinal distribuída uniformemente na área b.dx, 
cuja resultante é a força longitudinal F0.
(2.4)
dxbF ..00 
Equilibrando o elemento infinitesimal na direção 
longitudinal, tem-se:
  0xF 0)(0  dFFFF dFF 0
37
Substituindo as equações (2.2), (2.3) e (2.4) na expressão 
anterior, tem-se:
 
infinf
.....0
AzA z
dAy
I
dM
ydA
I
dM
dxb
(2.5)
Ou

inf
...
.
1
0
Az
dAy
dx
dM
Ib

(2.6)
Área da seção transversal abaixo da fibra (j).
Ainf
38
Das relações diferenciais (p, V, M), tem-se que dM/dx é 
igual a força cortante V.
A integral da equação (2.6), envolvendo um momento de 
área de primeira ordem, é denominada momento estático 
em relação ao eixo z da área da seção transversal abaixo 
da fibra (j).

inf
.
A
z dAyS
(2.7)
39
Com isso, a equação (2.6) pode ser escrita da seguinte 
forma:
z
z
Ib
SV
.
.
0 
(2.8)
Pelo teorema de Cauchy, em planos perpendiculares, as 
tensões de cisalhamento são iguais entre si convergindo 
ou divergindo de uma mesma aresta.
40
Dessa forma, a tensão de cisalhamento  dos pontos da 
fibra (j) na direção transversal ao eixo da viga tem o 
mesmo valor da tensão de cisalhamento 0 da direção 
longitudinal.
z
z
Ib
SV
.
.

(2.9)
41
Observação
• Fazendo dx tender a zero, d também 
tende a zero e a tensão de cisalhamento 
(+d), nos pontos da fibra (j) da seção S2
tende a .
42
MOMENTO ESTÁTICO COM RELAÇÃO AO EIXO Z
43
Na interseção dos dois eixos de simetria está 
posicionado o centro de gravidade (CG) da seção 
transversal, origem dos eixos y e z.
O momento estático Sz dos pontos da fibra (j) pode ser 
determinado pela equação:
(2.10)

inf
.
A
z dAyS
44
Área do elemento infinitesimal:
bdydA 
 












2/
2
22/
2
,
422
..
h
y
h
y
abaixoz y
hb
y
b
dybyS
(2.11)
45
Observa-se que o momento estático tem o mesmo valor 
com sinais contrários, porém, o sinal negativo não é 
considerado.
A área acima da fibra (j) é considerada alternando os 
limites de integração:



























 
 
2
2
2/
2
2
2
2/
2
,
42222
.. y
hbh
y
b
y
b
dybyS
y
h
y
h
acimaz
(2.12)
46
TENSÃO EM UMA SEÇÃO GENÉRICA
Seja uma seção S qualquer submetida à força cortante V e 
ao momento fletor M.
  0yF
  0SM
AA VVVV  0
xVMxVM AA .0. 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
(2.13)
(2.14)
47
Na seção transversal genérica S, são escolhidos os 
pontos das fibras (1), (2), (3) e (4).
Orienta-se o eixo y positivo pra baixo, de modo que, 
para um momento fletor positivo, as fibras inferiores da 
viga sejam tracionadas.
48
TENSÃO DE CISALHAMENTO
É determinada por meio da equação:
z
z
Ib
SV
.
.

Momento de Inércia em relação ao eixo z da seção 
retangular:
12
. 3hb
I z 
(2.15)
(2.16)
49
Substituindo as equações (2.16), (2.11) e (2.13) na 
equação (2.15), obtém-se:












 2
2
3
2
2
3
4.
6
42
.
12
.
.
y
h
hb
V
y
hb
hb
b
V AA
(2.17)
A tensão de cisalhamento é uma função do 
segundo grau em y e seu diagrama é uma 
parábola.
50
Pontos da Fibra (1):
2
h
y  0
24.
6
)1(
22
3
















hh
hb
VA
Pontos da Fibra (2):
0y
 
hb
Vh
hb
V AA
.
.
2
3
0
4.
6
)2(
2
2
3







Pontos da Fibra (3):
2
h
y  0
24.
6
)3(
22
3
















hh
hb
VA
51
Utiliza-se a fibra (4) para definir a forma da parábola no 
diagrama da tensão de cisalhamento.
Pontos da Fibra (4):
4
h
y 
hb
Vhh
hb
V AA
.4
3
2
3
44.
6
)4(
22
3
















Considerando uma reta:
hb
V
hb
V AA
ta
.4
3
.2
3
2
1
)2(
2
1
)4( Re  
Logo:
hb
V
hb
V A
ta
A
.4
3
)4(
.4
3
2
3
)4( Re  
52
TENSÃO NORMAL
É determinada por meio da equação:
y
I
M
z
.
O momento fletor é:
xVM A.
Momento de Inércia em relação ao eixo z da seção 
retangular:
12
. 3hb
I z 
53
23 .
.6
2
12
.
.
)1(
hb
xVh
hb
xV AA 






23 .
.6
2
12
.
.
)3(
hb
xVh
hb
xV AA 






0)2( 
Pois y(2)=0
54
DIAGRAMA DAS TENSÕES
55
Representações no Plano
56
É o tipo de flexão em que a força normal N, a força cortate
V e o momento fletor M são os esforços solicitantes não 
nulos.
Na flexão de barras de seção simétrica, os esforços 
ativos e reativos atuam no plano de simetria da viga. A 
força longitudinal é axial.
57
TENSÃO EM UMA SEÇÃO GENÉRICA
Seja uma seção S qualquer submetida à força normal N, à 
força cortante V e ao momento fletor M.
  0yF
  0SM
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
  0xF AA HNHN  0
AA VVVV  0
xVMxVM AA .0. 
(3.1)
(3.2)
(3.3)
58
Da seção transversal genérica S são escolhidos os 
pontos das fibras (1), (2) e (3).
Orienta-se o eixo y positivo para baixo de modo que, para 
um momento fletor positivo, a parte inferior da seção 
transversal seja tracionada.
59
TENSÃO DE CISALHAMENTO
É determinada por meio da equação:
z
z
Ib
SV
.
.

O diagrama da tensão de cisalhamento é o mesmo 
da flexão simples, com a força cortante:
AVV 
60
Utilizando a Equação:












 2
2
3
2
2
3
4.
6
42
.
12
.
.
y
h
hb
V
y
hb
hb
b
V AA
Pontos da Fibra (1):
2
h
y  0
24.
6
)1(
22
3
















hh
hb
VA
61
Pontos da Fibra (2):
0y
 
hb
Vh
hb
V AA
.
.
2
3
0
4.
6
)2(
2
2
3







Pontos da Fibra (3):
2
h
y  0
24.
6
)3(
22
3
















hh
hb
VA
62
TENSÃO NORMAL
São consideradas as parcelas da força normal e do 
momento fletor.
MN  
63
Parcela da Força Normal
É determinada pela equação:
A
N

A força Normal é:
AHN 
Área da seção transversal:
hbA .
hb
H A
NNN
.
)3()2()1(  
64
Parcela do Momento Fletor
É determinado por meio da equação:
y
I
M
z
.
O momento fletor é:
xVM A.
Momento de Inércia em relação ao eixo z da seção 
retangular:
12
. 3hb
I z 
65
23 .
.6
2
12
.
.
)1(
hb
xVh
hb
xV AA
M 






23 .
.6
2
12
.
.
)3(
hb
xVh
hb
xV AA
M 






0)2( M
Pois y(2)=0
66
Considerando as duas parcelas:
2.
.6
.
)1()1()1(
hb
xV
hb
H AA
MN  
0
.
)2()2()2( 
hb
H A
MN 
2.
.6
.
)3()3()3(
hb
xV
hb
H AA
MN  
67
DIAGRAMA DAS TENSÕES
68
69
Existindo a força normal N, a linha nêutra (LN), cujos 
pontos tem  = 0, é deslocada do centro de gravidade 
(CG) daseção transversal.
70
EXEMPLO 01
Desenhar, com os devidos valores numericos, os
diagramas de tensão de cisalhamento e da tensão normal
para as seções transversais dos esforços solicitantes
maximos.
Classificação da estrutura
São três incognitas (Ha, Va e Ma) e três equações de equilibrio
(∑Fx=0,∑Fy=0 e ∑Mi=0). Portanto a estrutura é isostatica.
Esforços solicitantes
Em estruturas engastadas e isostaticas, é possivel dispensar o
calculo das reações adotando o eixo X da extremidade livre para
o engastamento.
Dois cortes são necessario para traçar os diagramas dos esforços
solicitantes. A força normal N nõ é considerada, pois não existem
forças aplicadas na direção horizontal.
Corte I (0 ≤ X ≤ 1)
0 yF 060 V KNV 60
0 sM 0.60  xM )(.60 linearxM 
Dois valores são suficientes para definir a reta:
0x 00.60 M
1x 601.60 M
Corte II (1 ≤ X ≤ 4)
0 yF 0)1.(6060  xV )(12060 linearxV 
0 sM 0602/)1).(1.(60  xxxM 30120²30  xxM
São necessarios dois valores de x para definir a reta e três
valores para definir a parabola.
KNV 601201.60 
mKNM .60301.120²1.30 
1x
KNV 1201204.60 
mKNM .30304.120²4.30 
4x
Procura-se, inicialmente, o terceiro valor de x, anulando a força
cortante V.
0120.60  xV 2x
Esse valor de x pertence ao domonio do corte II e pode ser 
utilizado para definira parabola.
KNM 90302.120²2.30 2x
Diagrama de esforços solicitantes
Caracteristicas geométricas
Coordenadas do CG.




n
i
i
i
n
i
i
CG
A
zA
z
1
1
.




n
i
i
i
n
i
i
CG
A
yA
y
1
1
.
A origem O’ dos eixos auxiliares (X’,Y’)é posicionado no
eixo de simetria da seção transversal. Assim zCG=0 (por
simetria).
cmy
AAA
yAyAyA
y
CG
CG
5,17
4.2022.44.10
28.4.2015.22.42.4.10
...
321
332211







Momento estático em relação ao eixo Z.



n
i
z yAS
1
11.
São escolhidos as fibras (j=1 a 5), indicadas na figura.
Pontos das fibras (1) ou (5).
Abaixo da fibra (1) ou acima da fibra (5), tem-se o elemento
1 coincindo com a seção transversal.
11
1
11 ..)5()1( yAyASS
n
i
zz  

Y1=0 (CG1 do elemento 1 coincide com o CG da seção
transversal. 
00).4.2022.44.10()5()1(  zz SS
Pontos das fibras (2).
³620)5,15).(4.10()2( cmSz 
O sinal negativo não é considerado.
Pontos das fibras (3).
2211
2
1
11 ...)3( yAyAyAS
n
i
z 


³5,984)75,6).(4.5,13()5,15).(4.10()3( cmSz 
O sinal negativo não é considerado.
Pontos das fibras (4).
³8405,10).4.20(.)4(
2
1
11 cmyAS
n
i
z 


Momento de inércia em relação ao eixo Z.
A seção transversal composta de retangulos é particionada
em três elementos. Deve ser feita a translação de eixos do
momento de inercia Izi, em relação ao eixo zi de cada
elemento I, para o eixo z da seção transversal. A origem do
eixo zi é no Cgi do elemento considerado e do eixo z, no CG
da seção transversal.
Utiliza-se a equação a seguir:
).(
1
2
1


n
i
iziz dAII
).().().().( 2333
2
222
2
111
3
1
2
1 dAIdAIdAIdAII zzz
n
i
iziz 






















)²5,10).(4.20(
12
³4.20
)²5,2).(4.22(
12
³22.4
)²5,15).(4.10(
12
³4.10
zI
43,22689 cmI z 
Tensão de cisalhamento
É determinada por meio da seguinte equação:
z
z
Ib
SV
.
.

Vmáx=120 KN
0)5()1( 
pois, 
0)5()1(  zz SS
²/30,1
3,22689.4
5,984.120
)3( cmKN
Nas fibras (2) e (4) ocorrem descontinuidades na largura b
da seção transversal. O Calculo da tensão de cisalhamento
é feito considerando dois valores para a largura b, um
pouco acima e um pouco abaixo das fibras (2) e (4).
Aproximando-se da fibra (2) de cima para baixo, a largura vale 
b=10cm e, de baixo para cima, vale b= 4 cm.
²/33,0
3,22689.10
620.120
)2( cmKNacima 
²/82,0
3,22689.4
620.120
)2( cmKNabaixo 
Analogamente, para a fibra (4):
²/11,1
3,22689.4
840.120
)4( cmKNacima 
²/22,0
3,22689.20
840.120
)4( cmKNabaixo 
Analogamente, para a fibra (4):
²/11,1
3,22689.4
840.120
)4( cmKNacima 
²/22,0
3,22689.20
840.120
)4( cmKNabaixo 
Na seção transversal, a tensão de cisalhamento maxima vale:
²/30,1)3( cmKNmáx 
Ponto da fibra (3), fibra do CG
O momento estatico Sz(j) é maxima sempre na fibra do CG.
Neste exemplo, a largura b da fibra do CG coincide com a
menor largura da seção transversal, tornando a relação
(Sz/b) maxima na fibra do CG. Com isso, a tensão de
cisalhamento tambem é maxima nos pontos dessa fibra.
Tensão normal
É determinada por meio da seguinte equação:
y
I
M
z
.
Mmáx = +90 KN.m = 9000 KN.cm
²/94,6)5,17.(
3,22689
9000
)1( cmKN
²/35,5)5,13.(
3,22689
9000
)2( cmKN
²/0)0.(
3,22689
9000
)3( cmKN
²/37,3)5,8.(
3,22689
9000
)4( cmKN
²/96,4)5,12.(
3,22689
9000
)5( cmKN
Na seção transversal, a tensão de tração máxima vale:
σt,máx= σ(5)=4,96KN/cm² (pontos da fibra (5))
E a tensão normal de compressão maxima vale:
σc,máx= σ(1)=6,94KN/cm² (pontos da fibra (1))
Na seção transversal, verificar se o carregamento
excede os limites admissiveis ﺡadm= 40 Mpa; tensão
normal de tração admissivel σadm=60 Mpa; tensão
normal de compressão σadm=300 Mpa.
Classificação da estrutura.
São tres incognitas (Ha, Va e Vb) e tres equações de
equilibrio (∑Fx=0, ∑Fy=0 e ∑Mi=0). Portanto, a estrutura
é isostatica.
Cálculo das reações
0 xF
0aH
0 yF
0204.20  ba VV ba VV 100
0 iM 0.42.4.205.20  bV KNVb 65
logo
KNVa 3565100 
Esforços solicitantes
Dois cortes são necessarios para traçar os diagramas
dos esforços solicitantes. A força normal N não é
considerada, pois não existem forças aplicadas na
direção longitudinal.
Corte I (0 ≤ X ≤ 4)
0 yF
035.20  xV
)(35.20 linearxV 
0 sM
0.35)2/.(.20  xxxM )(.35².10 parabolaxxM 
0x
00.35)2/0.(0.20 M
KNV 35350.20 
mx 4
mKNM .204.35)2/4.(4.20 
KNV 45354.20 
Inicialmente, procura-se o terceiro valor de X anulando a
força V:
035.20  xV
mx 75,1
Esse valor de X pertence ao dominio I e pode ser utilizado
para definir a parabola.
mx 75,1 mKNM .625,3075,1.35)2/75,1.(75,1.20 
Corte II (4 ≤ X ≤ 5)
0 yF 0354.2065 V .)(20 constKNV 
0 sM
0.35)2.(4.20)4.(65  xxxM )(100.20 linearxM 
4x
mx 5
.)(20 constKNV 
mKNM .201004.20 
.)(20 constKNV 
mKNM .01005.20 
Diagrama dos esforços solicitantes.
Caracteristicas geometricas.
São determinadas por meio das seguintes equações.
Centro de gravidade




n
i
i
i
n
i
i
CG
A
zA
z
1
1
.




n
i
i
i
n
i
i
CG
A
yA
y
1
1
.
)(0 simetriazCG 
cmyCG 75,13
15.515.3
5,17.5.155,7.15.3




Momento estatico em relação ao eixo Z.



n
i
z yAS
1
11.
É determinado pro meio da seguinte equação:
São escolhidas as fibras (j=1 a 4).
Para determinar o valor maximo da tensão de
cisalhamento, é suficiente calcular a tensão nos
pontos da fibra (2), que é a fibra do CG, pois,
neste exemplo, a largura B dessa fibra coincide
com a menor largura da seção transversal,
tornando a relação (Sz/b) maxima, ja que o
momento estatico Szé maximo sempre na fibra
do CG.
11
1
1
..)2( yAyAS
n
i
iiz 


³6,283)875,6.(75,13.3)2( cmSz 
O sinal negativo não é considerado.
Pontos da fibra (2)
Momento de inercia em relação ao eixo Z.
).(
1
2
1


n
i
iziz dAII
).().().( 2222
2
111
2
1
2 dAIdAIdAII zz
n
i
iiziz 


45,3812)²75,3).(5.15(
12
³5.15
)²25,6).(15.3(
12
³15.3
cmI z 






Tensão de cisalhamento
z
z
Ib
SV
.
.

KNV 45max 
Neste exemplo, a largura B da fibra do CG coincide com a
menor largura da seção transversal, tornando a relação
(Sz/b) maxima, ja que o momento estatico Sz é maximo
nessa fibra. Com isso a tensão de cisalhamento tambem
é maxima nos pontos dessa fibra.
²/12,1
5,3812.3
6,283.45
)2( cmKN
Na seção transversal, a tensão de cisalhamento
maxima ocorre nos pontos da fibra (2) da seção B.
²/440²/12,1)2( cmKNMPacmKN admmáx  
Logo, a tensão de cisalhamento máxima não excede a
tensão de cisalhamento admissivel.
Tensão normal
y
I
M
z
.
No diagrama de momento fletor, observa-se um momento
fletor maximo positivo Mmax=+30,625 KN.m, na seção B, e
um negativo Mmax=-20KN.m, na seção C. além disso, a
seção transversal não é duplamente simetrica, isto é,
y1=6,25 cm.
Nesses casos, para determinar os valores máximos das
tensões normais de tração e compressão, as duas
seções de momentos fletores maximos devem ser
analisados.
a) M+máx=+30,625 KN.m=3062,5 KN.cm 
²/04,11)75,13.(
5,3812
5,3062
)1( cmKN
²/02,5)25,6.(
5,3812
5,3062
)4( cmKN
a) M-máx=-20KN.m=2000 KN.cm 
²/21,7)75,13.(
5,3812
2000
)1( cmKN


²/28,3)25,6.(
5,3812
2000
)4( cmKN


Tensão normal de tração máxima
 ²/21,7)1(²;/02,5)4(maxmax, cmKNcmKNt   
Na seção transversal, a tensão normal máxima ocorre nos
pontos da fibra (1) da seção C.
²/660²/21,7max, cmKNMPacmKN admt  
A tensão normal de tração maxima excede a tensão normal 
de tração admissivel.
Tensão normal de compressão máxima
 ²/28,3)4(²;/04,11)1(maxmax, cmKNcmKNt   
Na seção transversal, a tensão normal de compressão
maxima ocorre nos pontos da fibra (1) da seçào B.
²/30300²/04,11 ,max, cmKNMPacmKN admcc  
A tensão normal de compressão maxima não excede a
tensão normal de compressão admissivel.
Portanto, o carregamento da viga excede os limites
admissiveis, pois, no ponto da fibra (1) da seção C, a
tensão normal de tração maxima é maior que a tensão
normal de tração admissivel.
observações
1- com M+max diferente de M
-
max e ys diferente de yi, os
valores maximos de tensões normais de tração e de 
compressão são definidos em função do produto (M.y)max.
2- na seção transversal duplamente simetrica, ys igual a yi
, basta calcular as tensões normais na seção do momento
fletor máximo. 
max
max
max,max, .y
I
M
z
ct  
Em que:
 maxmaxmax ;max  MMM is yyy max