Torção (exercícios resolvidos)

Prévia do material em texto

1) Um eixo de 10 cm de diâmetro composto de certa liga metálica está engastada em 
uma de suas extremidades. Esta está submetida a um momento torçor na sua 
extremidade livre que provoca um deslocamento angular de 70. Dado que a barra 
está sob torção pura, e a deformação de cisalhamento admissível é de 0.01 rad, 
determine qual deve ser o mínimo comprimento da barra? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o caso de torção pura a deformação de cisalhamento máx e o deslocamento angular 
podem ser expressos pela equação: 
 
Rearranjando temos: 
 
Com o comprimento da barra já isolado na equação, basta inserir os respectivos valores. 
Torna-se necessário a conversão de unidades. 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
2) Em uma barra engastada com 7cm de diâmetro e 2m de comprimento, esta sendo 
aplicado um torque de intensidade 2kN.m na sua extremidade livre. Calcule a 
máxima tensão de cisalhamento e o deslocamento angular dado que o módulo de 
elasticidade de cisalhamento é de 60 GPa. 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DA ESTRUTURA 
Os momentos torçores são os únicos esforços solicitantes considerados. Como temos uma 
equação de equilíbrio e uma incógnita MA estamos tratando de uma estrutura 
isostática. 
CÁLCULO DAS REAÇÕES 
 
 
 
 
 
MA adquiriu valor positivo, mostrando que o sentido do momento torçor indicado na figura 
está correto. 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
Para o cálculo dos esforços solicitantes apenas um corte torna-se necessário. 
CORTE I (0  X  2) 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
 
 
O momento torçor é constante e positivo ao longo de todo o comprimento da barra. 
CALCULO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO 
A tensão de cisalhamento é dada pela equação: 
 
E o módulo de resistência a torção para a seção circular cheia e diâmetro constante é dado 
pela expressão: 
 
 
Logo, 
 
CÁLCULO DO DESLOCAMENTO ANGULAR 
O deslocamento angular é obtido pela equação: 
 
Atribuindo para x o comprimento L da barra, obtemos: 
 
O momento de inércia para seção circular cheia é calculado pela expressão: 
 
 
 
O deslocamento é nulo na seção A, devido ao engastamento e é máximo na extremidade livre 
B. 
 
 
 
 
 
 
3) Em um ensaio, um tubo de alumínio de seção circular vazada está engastado em uma 
parede. O mesmo é torcido por um momento de 3kN.m aplicado na sua outra 
extremidade. O tubo apresenta comprimento 2m e seu diâmetro interno e externo é 
de 6cm e 10cm respectivamente. Observou-se por meio de medições que o 
deslocamento angular é de 2.8o 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
a) Máxima tensão de cisalhamento . 
b) O módulo de elasticidade de cisalhamento G. 
 
CLASSIFICAÇÃO DA ESTRUTURA 
 
 
 
 
Considerando apenas os momentos torçores e desprezando o peso da barra, temos uma única 
incógnita (momento reativo) e uma equação de equilíbrio Portanto trata-se de 
uma estrutura isostática. 
CÁLCULO DAS REAÇÕES 
 
A reação MA é positiva, estando correto o sentido adotado na figura. 
CÁLCULOS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
Para realizar o cálculo dos esforços solicitantes um corte é suficiente ao longo da peça. 
CORTE I (0  x  2) 
 
 
 
 
 
 
 
Como se pode observar no diagrama, o momento torçor é constante e positivo ao longo do 
tubo. 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DA SEÇÃO DO TUBO 
Tubo de Parede Grossa 
Critério: 
Sendo a espessura dado pela fórmula: 
 
e , 
temos um tubo de parede grossa. 
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA 
A tensão de cisalhamento pode ser obtida pela equação: 
 
Onde: 
Mt é o momento torçor 
  é o modulo de resistência a torção 
 Para o caso de seções circular vazadas de parede grossa o módulo de resistência a torção é 
dado pela equação 
 
 
Conhecido o módulo de resistência à torção, então igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO DE ELASTICIDADE DE CISALHAMENTO G 
Para determinar o módulo de elasticidade de cisalhamento é preciso utilizar a equação: 
 
 
Atribuindo x = L e rearranjando a equação, temos que o módulo de elasticidade de 
cisalhamento da barra considerada pode ser expresso por: 
 
Onde I é o momento de inércia a torção para seções circulares de parede grossa, que á dado 
pela equação: 
 
Logo: 
 
 
Observe que o deslocamento angular foi medido em graus (2.8o), no entanto é necessário 
transformar para radianos. 
 
 
4) Considere o eixo esquematizado na figura, determinar as tensões de cisalhamento 
(desconsiderando o peso próprio da estrutura) nas bordas dos trechos AB, BC, CD e 
DE, e o deslocamento angular da seção F em relação à seção A. Dado que o módulo 
de elasticidade de cisalhamento é G=80 GPa. 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DA ESTRUTURA 
 
 
 
 
 
Como consideramos apenas o efeito dos momentos torçores, resta apenas uma incógnita MA e 
uma equação de equilíbrio (∑Mt =0 ). Portanto trata-se de uma estrutura isostática. 
CALCULO DAS REAÇÕES 
 
O momento reativo deu positivo, isso significa que está correto o sentido adotado na figura. 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
Existem cinco pontos de aplicação de momento ao longo do comprimento da barra, sendo 
necessários quatro cortes para obter o diagrama de corpo livre. 
 
 
 
 
 
CORTE I (0  x  3,5) 
 
 
 
 
 
 
O corte neste trecho indica que o momento torçor é negativo, dessa forma a barra gira no 
sentido anti-horário. 
CORTE II (3,5  x  5,5) 
 
 
 
 
 
 
O corte mostra que nesse trecho o momento é positivo, portanto a seção C gira no sentido 
horário com relação à seção B. 
CORTE III(5,5  x  7,5) 
 
 
 
 
 
 
O momento positivo indica que a seção D gira no sentido horário em relação à seção C. 
CORTE IV(7,5  x  8,5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento torçor negativo evidencia que a seção E gira no sentido anti-horário em relação a 
seção D. 
 
 
 
DIAGRAMA DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
 
 
 
A equação de equilíbrio é aplicada considerando o sentido da convenção 
adotada, sendo assim o momento do diagrama é o mesmo obtido na equação de equilíbrio. O 
diâmetro D da barra é constante da seção A até a seção C, e da seção C até a seção D o 
diâmetro externo se conserva, embora a seção transversal adquira configuração vazada com 
diâmetro interno d. Logo a área da seção transversal diminui e o módulo da tensão de 
cisalhamento aumenta. Da seção D até E o diâmetro externo diminui, sendo necessária a 
verificação do tipo de parede nos trechos CD e DE. 
No regime elástico-linear vale a superposição de efeitos e o problema é resolvido como se 
cada trecho fosse uma barra distinta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na seção A a rotação é nula, devido ao engastamento. Já nas outras seções B,C,D e E a 
hipótese de um engastamento fixo é simplesmente um artifício de cálculo para obter os 
deslocamento de cada seção considerada em relação aoutra. Já para os deslocamentos das 
seções em relação a seção A vale a super posição de efeitos. 
 
CALCULO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO 
A tesão de cisalhamento também é calculada como se cada trecho fosse um eixo distinto, pois 
os Mt e O são distintos em alguns trechos. 
A tensão de cisalhamento é dada pela equação: 
 
E o módulo de resistência a torção para uma seção circular cheia é dado pela expressão: 
 
TENSÃO DO TRECHO AB 
 
 
TRECHO BC 
 
TRECHO CD 
Nesse trecho a tensão é vazada, sendo necessário verificar o tipo de parede do trecho 
considerado. 
Parede Grossa 
Critério: sendo a espessura dado pela fórmula: 
 
logo, 
Portanto, parede grossa. 
Para esse trecho é preciso adotar o módulo de resistência a torção para seções vazadas de 
parede grossa, que é dado pela equação: 
 
 
TRECHO DE 
No trecho DE o diâmetro externo D diminui e o diâmetro interno d continua o mesmo. Logo é 
preciso fazer uma nova verificação do tipo de parede para o trecho considerado. 
Parede Grossa 
Critério: 
Sendo a espessura dado pela fórmula: 
 
Logo, 
Portanto, tubo de parede fina. 
O modulo de resistência a torção em parede fina é dado pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS ANGULARES 
A equação abaixo é válida para Mt, G e I constantes. Se fizermos x= comprimento de cada 
trecho, é possível obter o deslocamento de cada seção em relação ao trecho considerado. 
 
Onde: I é momento de inércia para seção circular cheia. 
 
Deslocamento da seção B em relação a seção A 
 
 
Deslocamento da seção C em ralação a seção B 
O momento de inércia nesse trecho é o mesmo do trecho AB. 
 
Deslocamento de D em relação a C 
Nesse trecho a seção passa a ser vazada de parede grossa então é preciso calcular o momento 
de inércia para esse tipo de seção, que é dado pela equação: 
 
 
 
Deslocamento de E em relação a D 
Nesse trecho o tubo é de parede fina e momento de inércia para esse tipo de seção é dada 
pela equação: 
 
 
 
 
 
 
O deslocamento angular de cada trecho foi calculado como se cada trecho fosse um eixo 
distinto. Assim sendo, o ponto A tem deslocamento nulo em função do engastamento fixo. O 
deslocamento da seção E em relação à seção A é a soma algébrica dos deslocamentos de cada 
trecho existente entre a seção A e a seção E. 
 
 
 
 
5) Dado a figura, calcular a tensão de cisalhamento nos dois trechos considerados na 
figura e o deslocamento angular da seção B em relação às extremidades. Dado que o 
módulo de elasticidade transversal G = 80GPa. 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DA ESTRUTURA 
Considerando apenas a ação dos momentos torçores, temos uma equação de equilíbrio 
 e as duas incógnitas . Logo trata-se de uma estrutura isostática. 
 
 
 
 
 
 
CALCULO DAS REAÇÕES 
 
 
Como temos uma equação e duas incógnitas, torna-se necessário a utilização de uma equação 
de compatibilidade de deslocamentos. 
 
 
 
ESFORÇOS SOLICITANTES 
Parra essa estrutura são necessários dois cortes para traçar o diagrama de momentos torçores. 
 
 
 
 
 
CORTE I (0  x  1) 
 
 
 
 
 
 
CORTE II (1  x  2,5) 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da compatibilidade de deslocamentos: 
 
Logo: 
 
O momento de inércia é particular para cada trecho da barra, pois o diâmetro é distinto em 
cada segmento. 
Momento de inércia para o trecho AB 
 
Momento de inércia para o trecho BC 
 
 
 
Utilizando a equação de equilíbrio para o cálculo das reações temos: 
 
Desse modo o diagrama dos momentos torçores apresenta a seguinte configuração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO 
A tensão de cisalhamento é obtida por meio da equação: 
 
Para uma seção circular cheia o módulo e resistência a torção é obtido pela equação: 
 
O diâmetro é diferente para cada trecho da barra, então cada trecho apresenta um módulo de 
resistência a torção particular. Assim temos que: 
 
 
O momento torçor é constante no trecho AB ( e no trecho BC ( , 
assim temos: 
 
 
Logo a máxima tensão de cisalhamento equivale a , e ocorre nas bordas do trecho 
AB. 
 
 
 
 
 
DESLOCAMENTO ANGULAR 
Deslocamento de B em relação a A 
 
Deslocamento de B em relação a C 
 
 
 
 
O deslocamento de B em relação a A é negativo, ou seja, tem sentido anti-horário. Já o 
deslocamento de B em relação a C é positivo (sentido horário) conforme a convenção. 
 
 
 
 
 
6) Considere uma barra de módulo de elasticidade de cisalhamento G e seção 
circular com o diâmetro variando linearmente ao longo de seu comprimento. O 
diâmetro da extremidade livre é DB e o diâmetro da extremidade engastada é DA, 
sendo DB > DA . 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
a) Desenvolver uma expressão analítica para o deslocamento angular da barra. 
b) Para DA=5cm, DB =10cm, L = 2m, G= 80GPa e um torque aplicado igual à 0,3 kN.m. 
Calcule o deslocamento angular. 
c) Determine a máxima tensão de cisalhamento. 
 
a) 
CLASSIFICAÇÃO DA ESTRUTURA 
A barra esta engastada, sendo considerado apenas a ação dos momentos torçores. Temos uma 
equação de equilíbrio e uma incógnita MA, portanto trata-se de uma estrutura 
isostática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DAS REAÇÕES 
 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento torçor é constante e positivo ao longo do comprimento da barra. 
DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA AO LONGO DO COMPRIMENTO DA BARRA 
Momento de inércia é dado pela equação: 
 
Porém o diâmetro varia ao longo da barra segundo uma função do tipo dentro 
da seguinte condição de contorno: 
 
Assim o diâmetro em relação a X fica: 
 
Agora com o diâmetro definido é possível escrever uma expressão para o cálculo do momento 
de inércia da barra, assim temos: 
 
 Para o elemento diferencial temos: 
 
 
Logo, temos uma integral da forma: 
 
Em que 
 ; (O) 
; (P) 
Assim, a solução fica sendo: 
 
Substituindo x pelos limites de integração 0 e L e substituindo os valores para a e b as 
expressões O e P temos: 
 
Substituindo a integral dentro da equação criamos uma expressão que evidencia o 
deslocamento angular da barra. 
 
 
b) 
Para obter o deslocamento angular da barra descrita, basta inserir os dados na equação obtida 
no item anterior. 
 
 
c) 
A máxima tensão de cisalhamento ocorre na extremidade de menor diâmetro, pois a tensão é 
inversamente proporcional o módulo de resistência a torção que, por sua vez, é diretamente 
proporcional ao diâmetro. Portanto, quanto menor o diâmetro, maior a tensão de 
cisalhamento. Logo a máxima tensão ocorre na extremidade A.