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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Atividade Acadeˆmica: 97952 - Ca´lculo I: Estudo da Derivada
Docente: Prof. Ms. Jonas F. de Medeiros Per´ıodo Letivo: 2018/1
Aula 5 - Derivadas
A derivada e´ um dos conceitos mais importantes do ca´lculo e esta´ intimamente relacionado a` taxa de variac¸a˜o
instantaˆnea de uma func¸a˜o. Pode ser utilizada para a determinac¸a˜o da velocidade ou acelerac¸a˜o de um mo´vel, para
determinar a taxa de eliminac¸a˜o de um fa´rmaco do organismo, para calcular pontos de ma´ximo e de mı´nimo numa
aplicac¸a˜o, para estimar o ritmo de propagac¸a˜o de uma epidemia ou crescimento de uma populac¸a˜o. Iniciaremos esse
cap´ıtulo explorando melhor a ideia de taxa de variac¸a˜o me´dia e instantaˆnea para desenvolver o conceito de derivada.
Taxas de Variac¸a˜o
Exemplo 1. Considere a situac¸a˜o de um aluno que vem de uma cidade distante para cursar a disciplina de
Ca´lculo I aqui na Unisinos. Apo´s a aula, ele embarca no oˆnibus e pergunta ao motorista qual a quilometragem que
o odoˆmetro esta´ registrando – 63440km. Ao chegar no seu ponto de descida, questiona novamente o motorista –
63560km. Se ele anotou que o oˆnibus comec¸ou seu deslocamento a`s 22h 40min e chegou ao seu destino a`s 0h 40min,
a velocidade me´dia nesse trajeto e´ fa´cil de ser obtida. Sabemos que a velocidade me´dia e´ obtida fazendo a raza˜o
entre o deslocamento (∆S) e o tempo gasto para realiza´-lo (∆t), ou seja:
Vm =
∆S
∆t
No exemplo em questa˜o, temos que:
Essa informac¸a˜o, a taxa me´dia de variac¸a˜o, e´ muito limitada. No Exemplo 1, o oˆnibus em muitos momentos
teve uma velocidade muito diferente da me´dia de 60km/h.
No caso da velocidade instantaˆnea num ve´ıculo, isso pode ser conseguido apo´s uma espiada no veloc´ımetro do
carro ou no momento do registro da velocidade na lombada eletroˆnica. Matematicamente, conseguimos a velocidade
instantaˆnea quando reduzimos a um instante a variac¸a˜o de tempo. Ou seja:
Vinst = lim
∆t→0
∆S
∆t
Observe os gra´ficos abaixo que mostram a reduc¸a˜o do intervalo de tempo ate´ um u´nico instante. Note que a reta
que une o ponto inicial e final do trajeto considerado tem sua taxa de variac¸a˜o calculada fazendo, genericamente,
∆y
∆x . Conforme o intervalo de tempo considerado diminui, a inclinac¸a˜o da reta se modifica ate´ que, quanto a variac¸a˜o
de tempo tende a zero, a reta fica tangente ao ponto onde se quer determinar a velocidade. Portanto, a velocidade
instantaˆnea, ou mais genericamente, a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea, e´ dada pela declividade da reta
tangente ao instante considerado.
A taxa de variac¸a˜o me´dia e´ dada pela declividade da reta secante, enquanto que a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea
e´ dada pela declividade da reta tangente ao ponto onde se quer determinar a taxa. Para compreender melhor,
vejamos duas ideias a seguir:
1
Com isso, estamos dizendo tambe´m que a declividade (m) de uma reta tangente num ponto x0 qualquer a uma
curva pode ser calculada fazendo:
m = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
Em situac¸o˜es-problema, as taxas de variac¸a˜o me´dia e instantaˆnea esta˜o contextualizadas. Assim, as respostas
devem vir acompanhadas das respectivas unidades. Por exemplo: a) se y estiver em oC e x em horas, enta˜o a
unidade da taxa de variac¸a˜o deve ser oC/h. b) se y estiver em m/s e x em segundos, enta˜o a unidade da taxa de
variac¸a˜o deve ser m/s2.
O estudo das taxas de variac¸a˜o esta´ presente em muitas a´reas: um engenheiro pode necessitar saber com que
taxa um fio se dilata em func¸a˜o da temperatura; um me´dico pode estar interessado na taxa com que o raio de uma
arte´ria muda em func¸a˜o da quantidade de a´lcool na corrente sangu´ınea; um farmaceˆutico pode necessitar saber com
que rapidez um antibio´tico e´ eliminado do organismo.
A derivada: O limite que usamos para determinar a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea ou a inclinac¸a˜o da reta
tangente tambe´m e´ usado para definir uma das operac¸o˜es fundamentais do Ca´lculo: a diferenciac¸a˜o.
A derivada de uma func¸a˜o f(x) em relac¸a˜o a x, denotada por f ′(x), e´ dada por
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
O domı´nio de f ′(x) consiste em todos os valores de x do domı´nio de f(x) para os quais existe esse limite.
A derivada f ′(x) pode ser denotada ainda por
f ′(x) =
d
dx
[f(x)] = Dx[f(x)]
ou ainda, como usamos y = f(x), podemos escrever
f ′(x) = y′(x) =
dy
dx
.
2
Interpretac¸a˜o da derivada:
1 -
2 -
Exemplo 2. Um proje´til e´ lanc¸ado verticalmente a partir do solo. Desprezando-se a resisteˆncia do ar e o cano
da arma, e admitindo-se conhecida a acelerac¸a˜o da gravidade, calculou-se a func¸a˜o que relaciona o espac¸o (altura),
em metros, e o tempo, em segundos, representada pela igualdade f(t) = 80t− 4t2. Nessas condic¸o˜es, determine:
a) A velocidade do proje´til num instante t qualquer.
b) A velocidade do proje´til apo´s 5s do seu lanc¸amento.
c) A velocidade no exato instante que o proje´til toca o solo.
Exemplo 3. Dado que f(2) = 1 e f ′(2) = 3, encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) no
ponto x = 2.
3
Diferenciabilidade
Como a derivada e´ definida por um limite, esse limite pode existir ou na˜o em determinados pontos da func¸a˜o.
Isso significa que uma func¸a˜o pode na˜o ser diferencia´vel em toda a parte. Basicamente sa˜o treˆs os casos em que
uma func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel num ponto.
1o Caso: se uma func¸a˜o no for cont´ınua em um ponto.
2o Caso: a func¸a˜o possui um ”bico” em um ponto.
3o Caso: a func¸a˜o tem um ponto de tangeˆncia vertical.
4
Te´cnicas de Diferenciac¸a˜o
I) Derivada de uma constante
II) Derivada de uma poteˆncia (Regra da Poteˆncia)
Se n for um nu´mero real, enta˜o
d
dx
[xn] = nxn−1
Exemplo 4. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x8
b) y =
√
x
c) h(x) = x
d) f(y) = y−2
e) y =
3
√
x5
f) f(x) = x0,6
g) f(t) = 1t9
III) Derivada de uma constante vezes uma func¸a˜o Se f e´ diferencia´vel e c e´ uma constante, enta˜o
d
dx
[c.f(x)] = c.
d
dx
[f(x)] = c.f ′(x)
Exemplo 5. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) g(x) = 3x4
5
b) h(x) = 9x2/3
c) y = 2x
IV) Derivada da soma ou diferenc¸a de duas ou mais func¸o˜es
d
dx
[f(x)± g(x)] = d
dx
[f(x)]± d
dx
[g(x)] = f ′(x)± g′(x)
Exemplo 6. Calcule as derivadas das func¸o˜es a seguir:
a) f(s) = s3 − 4s + 5
b) g(x) = −x42 + 3x3 − 2x
c) y = 4x10 − 10x4 + 4x10 − 10 4
√
x
Exemplo 7. Em quais pontos o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 − 3x + 4 possui reta tangente horizontal?
Exemplo 8. Se f(x) = (3x− 2x2)(5 + 4x), determine f ′(2).
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Atividade Acadeˆmica: 97952 - Ca´lculo I: Estudo da Derivada
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Aula 6 - Derivadas
Te´cnicas de Diferenciac¸a˜o
V) Derivada do produto de duas func¸o˜es
A derivada do produto de duas func¸o˜es f e g diferencia´veis e´ dada por
d
dx
[f(x).g(x)] = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x)
Exemplo 1. Determine a derivada da func¸a˜o f(x) = (3x− 2x2)(5 + 4x).
VI) Derivada do quociente de duas func¸o˜es
A derivada do quociente de fg , com f e g diferencia´veis e g 6= 0, e´ dada por
d
dx
[
f(x)
g(x)
]
=
f ′(x).g(x)− f(x).g′(x)
[g(x)]2
Exemplo 2. Encontre a derivada da func¸a˜o y = 5x−2x2+1
Exemplo 3. Se f(x) = 3x
2−2
x , determine f
′(2).
1
VI) Derivadas de Ordem Superior
A derivada de uma func¸a˜o e´ novamente uma func¸a˜o, que pode ter sua pro´pria derivada. Se f ′ for diferencia´vel,
enta˜o sua derivada e´ denotada por f ′′ e e´ chamada derivada segunda de f. Enquanto tivermos diferenciabilidade,
podemos continuar o processo de derivac¸a˜o para obter as derivadas terceira, quarta, quinta, etc.
Notac¸a˜o:
Derivada segunda: f ′′(x), y′′ ou d
2y
dx2
Derivada terceira: f ′′′(x),y′′′ ou d
3y
dx3
Derivada quarta: f (4)(x), y(4) ou d
4y
dx4
Derivada n-e´sima: f (n)(x), y(n) ou d
ny
dxn
Exemplo 4. Considerando f(x) = 2x3 − 7x2 + 3x− 5, determine f ′′(2).
Exemplo 5. Seja f(x) = x5 + 2x4 − 3. A partir de que ordem a derivada de f(x) sera´ sempre nula?
Exemplo 6. Mostre que, se x 6= 0, enta˜o a func¸a˜o y = 1x satisfaz a` equac¸a˜o x3.y′′ + x2y′ − xy = 0.
2
Revisa˜o das Func¸o˜es Trigonome´tricas
Func¸a˜o Seno: f(x) = sinx
Func¸a˜o Cosseno: f(x) = cosx
Func¸a˜o Tangente: f(x) = tanx
Algumas relac¸o˜es importantes:
tanx =
sinx
cosx
sin2 x + cos2 x = 1
cscx =
1
sinx
, secx =
1
cosx
cotg x =
1
tanx
3
Func¸a˜o Cossecante: f(x) = cscx
Func¸a˜o Secante: f(x) = secx
Func¸a˜o Cotangente: f(x) = cotgx
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Aula 7 - Derivadas de func¸o˜es trigonome´tricas
Consideremos a varia´vel independente x das func¸o˜es trigonome´tricas, quando se refere a aˆngulo, medida em radi-
anos. As fo´rmulas de derivac¸a˜o sa˜o apresentadas abaixo:
d
dx [sen x] = cosx
d
dx [cosx] = −sen x
d
dx [tanx] = sec
2 x
d
dx [secx] = secx. tanx
d
dx [cotg x] = −cossec2 x
d
dx [cossecx] = −cossec x . cotg x
Exemplo 1. Seja f(x) = x2 + 2 cosx. Determine f ′(1).
Exemplo 2. Se y = x.sen x + x, determine dydx .
Exemplo 3. Encontre dydx se y =
sen x
1+cos x .
1
Exemplo 4. Encontre f ′′
(
pi
4
)
, se f(x) = secx.
Exemplo 5. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao ga´fico da func¸a˜o f(x) = sen x no ponto x = 0.
Exemplo 6. Mostre que y = cosx e y = sen x sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o y′′ + y = 0.
Exemplo 7. Determine d
100
dx100 [cosx].
2
Composic¸a˜o de Func¸o˜es
Dadas as func¸o˜es f e g, a composic¸a˜o de f e g, denotada por f ◦ g e´ a func¸a˜o definida por
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
Exemplo 8. Sejam f(x) = x2 + 6x + 9 e g(x) =
√
x, determine:
a) (f ◦ g)(x)
b) (g ◦ f)(x)
Exemplo 9. Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine as func¸o˜es f e g, tal que:
a) (f ◦ g)(x) = (x2 + 1)10
b) (f ◦ g)(x) = sen3x
c) (f ◦ g)(x) = tan(x5)
d) (f ◦ g)(x) = √4− 3x
e) (f ◦ g)(x) = 1x+1
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Aula 8 - Regra da Cadeia
Se a func¸a˜o g for diferencia´vel no ponto x e a func¸a˜o f for diferencia´vel no ponto g(x), enta˜o a composic¸a˜o (f ◦g)(x)
e´ diferencia´vel no ponto x. Ale´m disso,
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)).g′(x)
Exemplo 1. Encontre as func¸o˜es f e g tais que (f ◦ g)(x) = (x3 + 2t)5 e depois determine (f ◦ g)′(x).
Exemplo 2. Encontre as func¸o˜es f e g tais que (f ◦ g)(x) = cos(x3) e depois determine (f ◦ g)′(x).
Exemplo 3. Seja f(y) =
(
2y2 + 5y
)−3
, determine f ′(y).
Exemplo 4. Seja f(x) = tan2(4x), determine f ′(x).
1
Fo´rmulas Generalizadas de derivac¸a˜o
Os resultados abaixo nos fornecem maneiras de usar a derivada f(x) para produzir derivadas de f(u), quando
u for uma func¸a˜o de x.
d
dx [u
r] = r.ur−1.u′
d
dx [u.v] = u
′.v + u.v′
d
dx [u/v] =
u′.v−u.v′
v2
d
dx [sen (u)] = cos(u).u
′
d
dx [cos(u)] = sen (u).u
′
d
dx [tan(u)] = sec
2(u).u′
d
dx [sec(u)] = sec(u). tan(u).u
′
d
dx [cotg u] = −cossec2 (u).u′
d
dx [cossec u] = −cossec (u).cotg (u).u′
Exemplo 5. Determine as derivadas das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = tan(x2 + 1)
b) f(x) = sen (2x)
2
c) f(x) =
√
2x + 1.sen (2x)
d) f(x) =
[
x4 − sec(4x2 − 2)]−4
e) f(x) = sen (
√
1 + cos x)
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Aula 9 - Taxas Relacionadas
O estudo da derivada e´ importante na resoluc¸a˜o de uma quantidade muito grande de problemas de diversas a´reas
de conhecimento. Particularmente, a sec¸a˜o de taxas relacionadas utiliza a regra da cadeia recentemente vista na
resoluc¸a˜o de problemas. Considere os exemplos abaixo:
Exemplo 1) Um navio petroleiro sofre um acidente e o o´leo derramado atrave´s de uma ruptura no casco se
espalha em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 m/s. Com que velocidade a a´rea do
derramamento estara´ crescendo quando seu raio for de 60m?
Exemplo 2) Um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que seu volume cresce a uma taxa de 3cm3/s. Com que
rapidez o raio do bala˜o estara´ crescendo quando o raio for de 1cm?
1
Exemplo 3) Uma escada de 3m de comprimento esta´ apoiada em uma parede vertical. Se a base desliza,
afastando-se da parede a uma taxa de 10cm/s, qua˜o ra´pido o topo da escada esta´ escorregando para baixo quando
a base da escada esta´ a 1m da parede?
Exemplo 4) A areia que vaza de um depo´sito forma uma pilha coˆnica cuja altura e´ sempre igual ao raio da
base. Se a altura da pilha aumenta a` raza˜o de 15cm/min, determine a taxa com a qual a areia esta´ se escoando
quando a altura da pilha e´ de 25cm.
Exemplo 5) Um mı´ssil e´ lanc¸ado verticalmente para cima de um ponto que esta´ a 8km de uma estac¸a˜o de
rastreamento, e a` mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundos de voo, seu aˆngulo de elevac¸a˜o θ varia a`
raza˜o constante de 2 graus por segundo. Determine a velocidade do mı´ssil quando o aˆngulo de elevac¸a˜o for de 30
graus.
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Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
Os termos crescente, decrescente e constante sa˜o usados para descrever o comportamento de uma func¸a˜o em um
intervalo a` medida que percorremos seu gra´fico da esquerda para a direita.
Definic¸a˜o: Seja f uma func¸a˜o definida no intervalo I, com x1 e x2 dois pontos desse intervalo.
O gra´fico abaixo mostra intervalos onde a func¸a˜o e´ crescente, decrescente e constante.
Isso nos leva aos seguintes resultados:
Exemplo 6) Determine os intervalos nos quais a func¸a˜o f(x) = 4− 3x− x2 e´ crescente ou decrescente.
3
Exemplo 7) Determine os intervalos nos quais a func¸a˜o f(x) = x3 e´ crescente ou decrescente.
Exemplo 8) A massa de uma cultura de bacte´rias tem seu crescimento representado pela func¸a˜o M(t) =
20 + 60t− 2, 5t2, com t medido em horas e M medido em cm3. Para que valores de t temos que M ′(t) < 0? O que
estaria ocorrendo com a massa bacteriana nesse momento?
Exemplo 9) Determine os intervalos onde a func¸a˜o f(x) = x3 − 32x2 e´ crescente ou decrescente.
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