Calc2_3º bim

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Teorema de Cauchy
Sejam f (x) e g (x) definidas em um intervalo fechado [a, b] e derivável em (a, b). Se g’ (x) for diferente de zero para todo x ( (a, b) então ( pelo menos um número real c ( (a, b) / 
.
Regra de L’Hospital
Considere duas funções f (x) e g (x) que para algum intervalo fechado verificam o Teorema de Cauchy. Se para algum número real a do intervalo considerado tivermos f (a) = g (a) = 0, então demonstra-se que:
Exemplos:
OBS.: A regra de L’Hospital poderá ser usada para indeterminações da forma 
.
Outras indeterminações:
0 . (
( - (
00
1(
(0
Indeterminação da forma 0 . ( :
agora aplica-se a regra de L’Hospital.
Exemplo:
Indeterminação da forma ( - ( :
agora aplica-se a regra de L’Hospital.
Exemplo:
Indeterminação da forma 00, 1( ou (0 :
 (	
 ( 
		
Exemplo:
Estudo da Diferencial
Definição:
Seja y = f (x) uma função definida e contínua para todo x ( [a, b] e derivável para todo x ( (a, b). Nestas condições denomina-se diferencial de y = f (x) que se indica por dy ao produto entre f ‘(x) e o acréscimo da variável independente x, (x.
dy = f ‘(x) . (x			dy = f ‘(x) . dx
Exemplos:
y = x2 ( dy = 2x. (x
y = sen x ( dy = cos x. (x
Interpretação da diferencial
y = f (x)
		 y	 y = f(x)
									
 			 Q 
	 f(x + (x)		 M			 
	 		 P 	 dy (diferencial) (y
 f(x)	 	 N 
 
		 (		 
 		 x
			 x	 x + (x	
f ‘(x) = tan (
�� EMBED Equation.3 
Quando (x ( 0	 (y ( dy
(y = f (x + (x) – f (x)
dy = f ‘(x). (x
Exemplo:
	A = l 2			
(A = A1 – A2		 dA = 2l . (l
					
 2 			A1 = (2,03)2
 2+0,03		A2 = 4
					
					(A = (2,03)2 - 4		dA = 2.2.0,03
					(A = 0,1209		dA = 0,12
 				 (A ( dA
OBS.: (x = dx ( quando x é variável independente.
	Então : dy = f ‘(x). dx 
Aplicações da diferencial
Cálculo de erros
Erro absoluto ( dy
Erro relativo ( 
Erro percentual ( 
Exemplos:
Calcular o erro absoluto cometido na avaliação da área de um quadrado cujo lado mediu 15 cm um erro de 0,01 cm:
l = 15 cm
(l = 0,01 cm
A = l 2
(A ( dA
dA = 2l. (l
dA = 2.15.0,01
dA = 0,3 cm2 (erro cometido na área)
Ache o valor aproximado do volume de uma parede cilíndrica de altura 10 dm cujo raio interno mede 5 dm e o externo 5,25 dm.
 5,25		r1 = 5
 5		r2 = 5,25
 		(r = 0,25
				V = ( . r2 . h
			dV = 2 . ( . r . h . (r
10				dV = 2 . ( . 5 . 10 . 0,25
				dV = 25 ( dm3
Cálculo de valores aproximados
	(y = f (x + (x) – f (x)
	f (x + (x) = f (x) + (y
	mas, (x ( dy
	f (x + (x) ( f (x) + dy
Exemplos:
Calcular o valor aproximado de 
.
f (x) = 
f (x + (x) = 
dy = 
Antiderivada (Antidiferencial)
Integral
Definição:
	Em vários problemas ocorre de conhecermos a derivada de uma função e desejamos encontrar esta função. Por exemplo: 
		
		
 
Exemplos:
Qual a função cuja diferencial é 2x.dx ?
Resposta: y = x2 + c.
Qual a função cuja diferencial é cos x.dx ?
Resposta: y = sen x + c.
Qual a função cuja diferencial é ex.dx ?
Resposta: y = ex + c.
ou seja
Definição:
	Uma função g (x) é dita antiderivada ou integral de uma função f (x) se g‘(x) = f(x) 
, onde c é uma constante arbitrária que possa assumir infinitos valores, também chamada constante de integração. Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial.
Exemplo:
Determine a equação da família de curvas sabendo-se que a inclinação da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro da abcissa do ponto considerado. Determine também a curva da família que passa pelo ponto P (1, 3).
Determinar: y = f (x) / 	
= 2x
			dy = 2x.dx
			
			y = x2 + c ( Família de curvas
Passe pelo ponto P (1, 3)
	3 = 1 + c
	c = 2
	y = x2 + 2 Pertence à família e passa pelo ponto P (1, 3).
Propriedades:
P1) Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do sinal da integral.
		
. 
P2) A integral de uma soma de diferenciais é igual à soma das integrais destas diferencias
		
.
		
Exemplo:
(c+c1)=c2 ( 2x2 + sen x + c2
Fórmulas:
Exemplos:
Exercícios:
Fórmulas:
2) 
Exemplos:
OBS.: 
 		 ( 
				 
 
 
Exercícios:
1) 
		2)
Fórmulas:
 
Exemplos:
1) 
Métodos de Integração
I – Decomposição em Frações Parciais
Integração das funções racionais
, onde o grau de P(x) é menor que o grau de Q(x).
Decomposição em funções parciais
1o Passo:
Fatorar Q(x).
Os fatores de Q(x) são do 1o grau (linear) e distintos;
Os fatores de Q(x) são do 1o grau e repetidos;
Os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintos;
Os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos.
2o Passo:
Se os fatores de Q(x) forem distintos e do 1o grau: Q(x) = (x-a1) (x-a2) ... (x-an)
OBS.: o número de parcelas na decomposição é igual ao número de fatores da fatoração.
3o Passo:
	Tirar o mínimo múltiplo comum do 2º membro e eliminar os denominadores.
4o Passo:
	Por igualdade de polinômios formar um sistema com n equações e n incógnitas: A1; A2;...;An.
Exemplo:
Decompor em frações parciais
Se os fatores de Q(x) forem do 1o grau e repetidos
Q(x)=(x-a)n
Exemplo:
Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintos
Q(x)=(a1x2+b1x+c1) . (a2x2+b2x+c2). ... . (anx2+bnx+cn)
Exemplo:
Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos
Q(x) = 
�� EMBED Equation.3 
Exemplo:
Exercícios:
Resolva as integrais:
II – Integração das Potências Trigonométricas
Identidades Trigonométricas
Integrais da forma
	i) Se n for ímpar
Exemplos:
	ii) Se n for par:
Exemplos:
Integrais da forma:
	i) Se n ou m for ímpar:
Suponha m ímpar:
Exemplo:
	ii) Se n e m forem pares:
Exemplo:
Integrais da forma
Exemplos:
Integrais da forma
	i) Se n for ímpar:
(Integra por partes)
ii) Se n for par:
Exemplos:
Integrais da forma:
	i) Se n for par:
�� EMBED Equation.3 
Exemplos:
	ii) Se m for ímpar:
Exemplo:
	iii) Se n for ímpar e m for par:
(Integração por partes)
Exercícios:1) 
III – Integração por Substituição Trigonométrica
	Se o integrando contiver qualquer das expressões:
onde a é constante e u é uma função em x.
	Da trigonometria temos:
	Identidades:
cos 2 ( = 1 – sen 2 (
sec 2 ( = 1 + tan 2 (
tan 2 ( = sec 2 ( – 1 
1o Caso:
	Substituição:
u = a . sen (
	
	du = a . cos (. d (
2o Caso:
	Substituição:
u = a . sec (
	
	du = a . sec ( . tan ( . d (
3o Caso:
	Substituição:
u = a . tan (
	
	du = a . sec 2 ( . d (
Resumo:
 
Exemplos:
Subst.:
					
Subst.:
Subst.:
IV – Integração por Partes
	
 ( Fórmula da Integração por Partes
Exemplos:
�EMBED Equation.3���
 (
x
2
(
(
(
�EMBED Equation.3���
a
u
u
�EMBED Equation.3���
a
�EMBED Equation.3���
a
u
x4-3x2+x+2 x2-2 
-x4+2x2	 x2-1
 -x2+x+2
 x2 -2
 x
x+2 x-4 -x+4	 1
 6
P (x) Q (x)
 r (x)	 q (x)
Cálculo 3º bimestre Versão:1.0 	Data: 14/09/99 Página:� PAGE �11�/� NUMPAGES �1�
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






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c
lnsecu
c
lncosu
tanu.du
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