Análise Real - 5ª lista de exercícios (Soluções do 2, 4, 12, 13, 21 e 22)

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MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
5a Lista de Exerc´ıcios
Para entregar: exerc´ıcios 2, 4, 12, 13, 21 e 22.
Obs.: Regras para ganhar a nota extra referente aos exerc´ıcios marcados com “boˆnus”: (1) a resoluc¸a˜o
deve redigida de forma clara e sem erros, e na˜o ha´ notas intermedia´rias; (2) a nota ma´xima a ser dada
como boˆnus e´ 1,0 ponto na me´dia do semestre; (3) os exerc´ıcios devem ser entregues no prazo para
entrega da lista.
1-) Exerc´ıcios dos cap´ıtulos 8 e 9 do Elonzinho.
2-) Seja f : I → R cont´ınua no intervalo I ⊂ R. Se, para cada x ∈ I (exceto, possivelmente, na extremidade
superior de I, caso a mesma esteja em I), existir f ′+(x) e for > 0, enta˜o f e´ estritamente crescente.
3-) Seja f : X ⊂ R → R deriva´vel no ponto a ∈ X ∩X ′. Se (xn)n∈N e (yn)n∈N sa˜o sequ¨eˆncias em X tais
que
(∀n ∈ N)xn < a < yn, xn → a e yn → a, enta˜o f(yn)− f(xn)
yn − xn → f
′(a).
4-) Seja f : I ⊂ R→ R deriva´vel no intervalo I. Dado a ∈ I, sa˜o equivalentes:
(a) f ′ e´ cont´ınua em a;
(b) ∀ (xn)n∈N, (yn)n∈N sequ¨eˆncias em I tais que
(∀n ∈ N)xn 6= yn, xn → a e yn → a, tem-se
f(yn)− f(xn)
yn − xn → f
′(a).
5-) Seja f : I → R deriva´vel no intervalo aberto I ⊂ R. Um nu´mero real c ∈ I diz-se um ponto cr´ıtico de f
se f ′(c) = 0. Se c ∈ I for um ponto cr´ıtico de f , diz-se que o mesmo e´ na˜o-degenerado se f e´ duas vezes
deriva´vel em c e f ′′(c) 6= 0. Mostre que:
(a) Se f e´ de classe C1, o conjunto dos pontos cr´ıticos de f e´ fechado em I (vide definic¸a˜o na lista 4
caso na˜o se recorde);
(b) Os pontos de ma´ximos e mı´nimos locais de f sa˜o cr´ıticos. Um ponto cr´ıtico na˜o-degenerado deve
ser de ma´ximo local ou de mı´nimo local.
(c) Se c ∈ I e´ um ponto cr´ıtico na˜o-degenerado de f , enta˜o existe δ > 0 tal que f na˜o tem outros
pontos cr´ıticos no intervalo (c− δ, c+ δ). Ou seja, todo ponto cr´ıtico na˜o-degenerado e´ um ponto cr´ıtico
isolado.
(d) Se todos os pontos cr´ıticos de f sa˜o na˜o-degenerados, enta˜o o conjunto dos pontos cr´ıticos de f
e´ enumera´vel, e em qualquer intervalo [a, b] ⊂ I ha´ apenas um nu´mero finito de tais pontos.
6-) Se f : [0,+∞)→ R e´ deriva´vel e limx→+∞ f ′(x) = L, enta˜o, para cada c > 0, limx→+∞[f(x+c)−f(x)] =
c · L e limx→+∞ f(x)x = L.
7-) Seja f : [0,+∞) → R duas vezes deriva´vel. Se f ′′ e´ limitada e existe limx→+∞ f(x), mostre que
limx→+∞ f ′(x) = 0. Boˆnus: vale 0,25 pontos na me´dia do semestre.
1
8-) (Teorema de Cauchy) Sejam f, g : [a, b]→ R cont´ınuas e deriva´veis em (a, b). Enta˜o existe c ∈ (a, b)
tal que f ′(c)[g(b)− g(a)] = g′(c)[f(b)− f(a)].
9-) (1a. Regra de L’Hoˆpital) Sejam I ⊂ R um intervalo, a ∈ I, f, g : I \ {a} → R func¸o˜es deriva´veis
tais que existem e sa˜o nulos os limites limx→a f(x) e limx→a g(x). Suponha que g′ na˜o se anule em I \{a}
e que lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= L, onde L ∈ R ou L = ±∞. Enta˜o g na˜o se anula em I \ {a} e lim
x→a
f(x)
g(x)
= L.
Sugesta˜o: Use a questa˜o anterior.
10-) (2a. Regra de L’Hoˆpital) Sejam I ⊂ R um intervalo, a ∈ I, f, g : I \ {a} → R func¸o˜es deriva´veis
tais que limx→a|f(x)| = +∞ e limx→a|g(x)| = +∞. Suponha que g′ na˜o se anule em I \ {a} e que
lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= L, onde L ∈ R ou L = ±∞. Enta˜o lim
x→a
f(x)
g(x)
= L.
Sugesta˜o: Use a questa˜o 8-).
11-) Dado c > 0, uma func¸a˜o deriva´vel f : I → R no intervalo I ⊂ R satisfaz a condic¸a˜o de Lipschitz(∀x, y ∈ I) |f(x)− f(y)| 6 c|x− y| se, e somente se, (∀x ∈ I) |f ′(x)| 6 c.
12-) Seja f : I → R deriva´vel no intervalo fechado I ⊂ R (limitado ou na˜o). Dado c ∈ [0, 1), suponha
que
(∀x ∈ I) |f ′(x)| 6 c, e que f(I) ⊂ I. Mostre que f tem um u´nico ponto fixo a em I (i.e. existe
um u´nico a ∈ I tal que f(a) = a) e que, para todo x1 ∈ I, a sequ¨eˆncia definida indutivamente por(∀n ∈ N)xn+1 = f(xn) e´ tal que xn → a.
Sugesta˜o: Use a questa˜o anterior e a questa˜o 10 lista 2.
13-) Sejam p ∈ N e c ∈ [0, 1). Dada f : I → R deriva´vel no intervalo fechado I ⊂ R, suponha que f(I) ⊂ I
e que g .= fp .= f ◦ f◦ p fatores· · · ◦f satisfac¸a (∀x ∈ I) |g′(x)| 6 c. Prove que f tem um u´nico ponto fixo
a ∈ I e que, para todo x ∈ I, limn→∞ fn(x) = a.
Exemplo: A func¸a˜o cosseno ainda sera´ definida formalmente no curso. Neste exemplo, assume-se que
a mesma ja´ tenha sido definida num curso de Ca´lculo. A func¸a˜o f .= cos : [−pi, pi] → R na˜o cumpre a
condic¸a˜o
(∀x ∈ [−pi, pi]) |f ′(x)| 6 c < 1, mas f2 = f ◦ f cumpre.
14-) Dada f : R → R deriva´vel, com derivada limitada, prove que existe c ∈ R tal que a func¸a˜o φ : R → R
definida por φ(x) = x+ c · f(x) e´ um difeomorfismo (i.e. uma bijec¸a˜o deriva´vel com inversa deriva´vel).
15-) Sejam a ∈ R, δ > 0, c ∈ [0, 1) e f : [a− δ, a+ δ] → R deriva´vel, com (∀x) |f ′(x)| 6 c. Se |f(a)− a| 6
(1− c)δ, enta˜o f tem um u´nico ponto fixo em [a− δ, a+ δ].
16-) Seja f : [a, b] → R cont´ınua e deriva´vel em (a, b). Se limx→a+ f ′(x) = +∞, enta˜o lim
x→a+
f(x)− f(a)
x− a =
+∞.
17-) (a) Se f, g : I → R sa˜o de classe Cn no intervalo I ⊂ R, enta˜o f · g e´ de classe Cn.
(b) Sejam I, J ⊂ R intervalos, f : I → R e g : J → R de classe Cn tais que f(I) ⊂ J . Enta˜o g ◦ f e´
de classe Cn.
(c) (d) Se f : I → R e´ de classe Cn no intervalo I ⊂ R e f ′ na˜o se anula em I, enta˜o a inversa
g : J .= f(I)→ R de f e´ de classe Cn.
2
18-) Sejam I ⊂ R um intervalo e f : I → R duas vezes deriva´vel em a ∈◦I. Mostre que:
f ′′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− 2f(a) + f(a− h)
h2
.
19-) Sejam I ⊂ R um intervalo e f : I → R duas vezes deriva´vel em a ∈◦I. Mostre que:
f ′′(a) = lim
h→0
f(a+ 2h)− 2f(a+ h) + f(a)
h2
.
20-) Seja f : R→ R de classe C∞. Se f se anula, juntamente com todas as suas derivadas, num ponto a ∈ R,
enta˜o, para cada k ∈ N, podemos escrever f(x) = (x− a)k φ(x), onde φ e´ de classe C∞.
21-) Sejam f e g anal´ıticas num intervalo aberto I ⊂ R. Se existe a ∈ I tal que f e g coincidem, juntamente
com todas as suas derivadas, no ponto a, enta˜o
(∀x ∈ I) f(x) = g(x). Mostre que isto seria falso se
supuse´ssemos apenas f e g de classe C∞.
22-) Dadas f e g anal´ıticas no intervalo aberto I, sejaX ⊂ I um conjunto que possui um ponto de acumulac¸a˜o
em I. Se
(∀x ∈ X) f(x) = g(x), enta˜o f coincide com g em I. Em particular, se f se anula em X, enta˜o
f se anula em I.
23-) Seja I = (a − δ, a + δ). Dada f : I → R de classe C∞, suponha que exista uma sequ¨eˆncia (an)n>0 de
nu´meros reais tal que
(∀x ∈ I) f(x) =∑∞n=0 an(x− a)n. Prove que ∑ an(x− a)n e´ a se´rie de Taylor de
f centrada em a, i.e.
(∀n) an = f (n)(a)n! .
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MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
5a Lista de Exerc´ıcios - Resoluc¸a˜o dos Exerc´ıcios
2-) Seja f : I → R cont´ınua no intervalo I ⊂ R. Se, para cada x ∈ I (exceto, possivelmente, na extremidade
superior de I, caso a mesma esteja em I), existir f ′+(x) e for > 0, enta˜o f e´ estritamente crescente.
Demonstrac¸a˜o: Suponha que f na˜o seja estritamente crescente, ou seja, suponha que existam x, y ∈ I
tais que x < y e f(x) > f(y). Para todo a ∈ [x, y[, f e´ deriva´vel a` direita em a e f ′+(a) > 0, logo existe
δ > 0 tal que a + δ ∈ [x, y] e f(a + δ) > f(a), donde a na˜o e´ ponto de ma´ximo de f |[x,y]. Como
f(y) 6 f(x), segue-se que y tambe´m na˜o e´ ponto de ma´ximo de f |[x,y]. Enta˜o a func¸a˜o cont´ınua f |[x,y]
na˜o tem ponto de ma´ximo, o que contraria o teorema de Weierstrass. ¤
4-) Seja f : I ⊂ R→ R deriva´vel no intervalo I. Dado a ∈ I, sa˜o equivalentes:
(a) f ′ e´ cont´ınua em a;
(b) ∀ (xn)n∈N, (yn)n∈N sequ¨eˆncias em I tais que
(∀n ∈ N)xn 6= yn, xn → a e yn → a, tem-se
f(yn)− f(xn)
yn − xn → f
′(a).
Demonstrac¸a˜o: Suponha f ′ cont´ınua em a. Sejam (xn)n∈N, (yn)n∈N sequ¨eˆncias em I tais que(∀n ∈ N)xn 6= yn, xn → a e yn → a. Para todo n ∈ N, o teorema do valor me´dio garante a existeˆncia
de um θn no intervalo aberto com extremos xn e yn tal que f(yn) − f(xn) = f ′(θn)(yn − xn),donde
f(yn)−f(xn)
yn−xn = f
′(θn). Como as sequ¨eˆncias (xn)n∈N e (yn)n∈N convergem para a, segue-se do teorema do
confronto que a sequ¨eˆncia (θn)n∈N tambe´m converge para a, e da continuidade de f ′ em a segue-se que
f ′(θn)→ a, donde f(yn)−f(xn)yn−xn → a.
Reciprocamente, suponha que ∀ (xn)n∈N, (yn)n∈N sequ¨eˆncias em I tais que
(∀n ∈ N)xn 6= yn,
xn → a e yn → a, tem-se f(yn)−f(xn)yn−xn → f ′(a). Provemos que f ′ e´ cont´ınua em a. Seja (xn)n∈N
uma sequ¨eˆncia em I tal que xn → a. Para cada n ∈ N, pela definic¸a˜o de derivada podemos tomar
yn ∈ (xn − 1/n, xn + 1/n) ∩ I \ {xn} tal que |f(yn)−f(xn)yn−xn − f ′(xn)| < 1/n. Como xn → a e 1/n → 0, o
teorema do confronto garante que yn → 0. Assim, por hipo´tese segue-se que f(yn)−f(xn)yn−xn → f ′(a), e uma
nova aplicac¸a˜o do teorema do confronto garante que f ′(xn)→ f ′(a).
¤
12-) Seja f : I → R deriva´vel no intervalo fechado I ⊂ R (limitado ou na˜o). Dado c ∈ [0, 1), suponha
que
(∀x ∈ I) |f ′(x)| 6 c, e que f(I) ⊂ I. Mostre que f tem um u´nico ponto fixo a em I (i.e. existe
um u´nico a ∈ I tal que f(a) = a) e que, para todo x1 ∈ I, a sequ¨eˆncia definida indutivamente por(∀n ∈ N)xn+1 = f(xn) e´ tal que xn → a.
Demonstrac¸a˜o: (i) f e´ lipschitziana, com constante de Lipschitz c: ∀x, y ∈ I com x < y, pelo
teorema do valor me´dio existe θ ∈]x, y[ tal que f(y)−f(x) = f ′(θ)(y−x), donde |f(y)−f(x)| 6 c|y−x|.
1
(ii) De (i), segue-se que, dado x1 ∈ I a sequ¨eˆncia (xn)n∈N definida indutivamente conforme o enunciado
e´ de variac¸a˜o limitada (portanto, convergente), pois
(∀n ∈ N) |xn+2 − xn+1| = |f(xn+1) − f(xn)| 6
c|xn+1 − xn|. Seja a o limite da referida sequ¨eˆncia; enta˜o a ∈ I, pelo fato de ser I fechado. Afirmo
que a e´ um ponto fixo de f . Com efeito, a continuidade de f implica que xn+1 = f(xn) → f(a); como
(xn+1)n∈N e´ uma subsequ¨eˆncia de (xn)n∈N, tambe´m temos xn+1 → a, e a unicidade do limite garante
que a = f(a).
(iii) O ponto fixo de f e´ u´nico. De fato, dados a, b ∈ I pontos fixos de f , tem-se: |a−b| = |f(a)−f(b)| 6
c|a− b|, donde (1− c)|a− b| 6 0, donde |a− b| = 0, i.e. a = b. ¤
13-) Sejam p ∈ N e c ∈ [0, 1). Dada f : I → R deriva´vel no intervalo fechado I ⊂ R, suponha que f(I) ⊂ I
e que g .= fp .= f ◦ f◦ p fatores· · · ◦f satisfac¸a (∀x ∈ I) |g′(x)| 6 c. Prove que f tem um u´nico ponto fixo
a ∈ I e que, para todo x ∈ I, limn→∞ fn(x) = a.
Demonstrac¸a˜o:
(i) Pela questa˜o anterior, g tem um u´nico ponto fixo a ∈ I e, para todo x ∈ I, tem-se limn→∞ gn(x) = a.
(ii) Afirmo que, para todo x ∈ I, limn→∞ fn(x) = a. Como efeito, dado x ∈ I, tome x0 .= x, x1 .=
f(x), . . . , xp−1
.= fp−1(x). Por (i), para cada k ∈ {0, . . . , p − 1}, tem-se limn→∞ gn(xk) = a, i.e.
limn→∞ fnp(xk) = a. Noutras palavras, definindo-se F : Z+ → R por F (n) .= fn(x), e tomando-se(∀ k ∈ {0, . . . , p− 1})Nk .= {k+ np | n ∈ Z+}, tem-se (∀ k) limn→∞ F |Nk(n) = a. Como ∪06k6p−1Nk =
Z+, segue-se limn→∞ F (n) = a.
(iii) Segue-se de (ii) que a e´ ponto fixo de f (pelo mesmo argumento usado na questa˜o anterior). Ale´m
disso, se b ∈ I tambe´m for ponto fixo de f , a sequ¨eˆncia {fn(b)}n∈N e´ constante e igual a b, e por (ii)
deve convergir para a, donde b = a. ¤
21-) Sejam f e g anal´ıticas num intervalo aberto I ⊂ R. Se existe a ∈ I tal que f e g coincidem, juntamente
com todas as suas derivadas, no ponto a, enta˜o
(∀x ∈ I) f(x) = g(x). Mostre que isto seria falso se
supuse´ssemos apenas f e g de classe C∞.
Demonstrac¸a˜o:
(i) Sejam A .= {x ∈ I | (∀n ∈ Z+) f (n)(x) = g(n)(x)} e B .= I \A. Assim, A∩B = ∅ e A∪B = I. Como(∀n ∈ Z+) f (n) e g(n) sa˜o cont´ınuas, segue-se que (∀n) An .= {x ∈ I | f (n)(x) = g(n)(x)} e´ fechado em
I; e, como a intersecc¸a˜o de uma famı´lia arbitra´ria de fechados em I e´ um conjunto fechado em I, segue-se
que A = ∩n∈Z+An e´ fechado em I, i.e. B = I \A e´ aberto em I (portanto aberto em R, uma vez que I e´
aberto, por hipo´tese). Afirmo que A tambe´m e´ aberto. Com efeito, dado x0 ∈ A, a analiticidade de f e
g garante a existeˆncia de um δ > 0 tal que Bx0(δ)
.= (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ I e tal que
(∀x ∈ Bx0(δ)) f(x) =∑∞
n=0
f (n)(x0)
n! (x − x0)n e g(x) =
∑∞
n=0
g(n)(x0)
n! (x − x0)n; como
(∀n ∈ Z+) f (n)(x0) = g(n)(x0) (pois
x0 ∈ A), segue-se que f e g coincidem no intervalo aberto Bx0(δ), donde Bx0(δ) ⊂ A, o que mostra que
x0 e´ ponto interior de A. Portanto, como x0 ∈ A foi tomado arbitrariamente, segue-se que A e´ aberto,
como afirmado.
(ii) De (i) segue-se que {A,B} e´ uma cisa˜o do intervalo I. Ora, ja´ foi demonstrado em aula que todo
intervalo de R e´ conexo, portanto {A,B} deve ser a cisa˜o trivial. Por hipo´tese, existe a ∈ A, logo A 6= ∅;
enta˜o A = I e B = ∅, portanto f e g coincidem em A.
(iii) O seguinte exemplo mostra que o enunciado seria falso se supuse´ssemos f e g apenas de classe C∞:
tome I = R, a qualquer real menor ou igual a zero, f a func¸a˜o identicamente nula, g : R→ R dada por
g(x) = 0 se x 6 0 e g(x) = exp(−1/x) se x > 0.
¤
2
Observac¸a˜o: no u´ltimo exemplo assume-se a func¸a˜o exponencial ja´ conhecida de um curso de Ca´lculo,
mas ainda a definiremos formalmente e estudaremos sua diferenciabilidade mais adiante.
22-) (Princ´ıpio do Prolongamento Anal´ıtico) Dadas f e g anal´ıticas no intervalo aberto I, seja X ⊂ I
um conjunto que possui um ponto de acumulac¸a˜o em I. Se
(∀x ∈ X) f(x) = g(x), enta˜o f coincide com
g em I. Em particular, se f se anula em X, enta˜o f se anula em I.
Demonstrac¸a˜o:
Inicialmente, demonstremos o seguinte:
Lema: Sejam I ⊂ R um intervalo, p ∈ Z+ e f : I → R uma func¸a˜o p vezes deriva´vel em a ∈ I (para
p = 0 isto significa que f e´ cont´ınua em a). Suponha que exista uma sequ¨eˆncia (xn)n∈N em I \ {a} tal
que xn → a e tal que
(∀n ∈ N) f(xn) = 0. Enta˜o (∀n ∈ {0, . . . , p}) f (n)(a) = 0.
Sugesta˜o: Tente demonstrar o lema como exerc´ıcio, antes de ler o argumento que segue.
Demonstrac¸a˜o do lema:
Sera´ feita por induc¸a˜o sobre p.
(i) Para p = 0, a tese segue imediatamente da continuidade de f em a.
(ii) Suponha que a tese seja verdadeira para um dado p ∈ Z+; provemos que tambe´m sera´ verdadeira
para p + 1. Com efeito, pela hipo´tese de induc¸a˜o segue-se que
(∀n ∈ {0, . . . , p}) f (n)(a) = 0; resta
demonstrar que f (p+1)(a) = 0. Pela fo´rmula de Taylor com resto infinitesimal, podemos escrever, para
todo x ∈ I:
f(x) =
[f (p+1)(a)
(p+ 1)!
+ r(x)
]
(x− a)p+1, (1)
onde r : I → R e´ cont´ınua em a e r(a) = 0. Seja (xn)n∈N em I \ {a} tal que xn → a e tal que(∀n ∈ N) f(xn) = 0. Segue-se de (1) que (∀n ∈ N) 0 = [f (p+1)(a)(p+1)! + r(xn)](xn − a)p+1; e, como(∀n ∈ N)xn 6= a, tem-se (∀n ∈ N) f (p+1)(a)(p+1)! +r(xn) = 0. Finalmente, como r(xn)→ 0 (pela continuidade
de r em a), segue-se que f (p+1)(a) = 0, o que conclui a demonstrac¸a˜o do lema. ¤
Seja x0 ∈ I ∩X ′. Seja (xn)n∈N uma sequ¨eˆncia em X \ {x0} tal que xn → x0. Como f e g coincidem
em X, segue-se que a func¸a˜o anal´ıtica F .= f − g se anula em xn, para todo n ∈ N; enta˜o, pelo lema, F
e todas as suas derivadas se anulam em x0. Finalmente, segue-se da questa˜o anterior que F deve ser a
func¸a˜o identicamente nula em I, i.e. f e g coincidem em I. ¤
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