2 Relatorio 2 Lab.II

Prévia do material em texto

CINÉTICA E DINÂMICA DE ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
Objetivo
Determinar as equações do deslocamento, velocidade e a aceleração angular da esfera rolante num plano inclinado.
Introdução Teórica
O movimento de rolamento de uma esfera é uma combinação de um movimento de translação com um movimento de rotação. No movimento de rotação pura é como se o eixo de rotação que passa pelo centro estivesse parado, todos os pontos na esfera giram em torno do centro com velocidade angular . Todos os pontos da borda exterior da roda possuem velocidade linear vcm dada pela equação:
vcm = 
Já no movimento de translação pura, todos os pontos sobre a roda movem-se em um mesmo sentido com uma velocidade vcm.
 Figura I: Esquema de uma esfera rolante.
A figura acima ilustra a combinação dos dois tipos de movimento, no qual produz o movimento real de rolamento da esfera. Assim sendo, pode ser observado nesta combinação que a partícula mais baixa da esfera (ponto P) esta parada e a partícula mais alta (ponto A) move-se com uma velocidade 2.vcm.
Isso pode ser enxergado considerando o ponto P como um eixo de rotação a medida q a esfera se move. A partícula na parte mais alta da esfera está a uma distancia de 2R do eixo P, sendo assim:
valto = = 2vcm
Sendo assim podemos calcular a energia cinética de rolamento, na qual é expressa por:
 (1)
No qual é o módulo da velocidade angular da roda e Ip é a inercial rotacional ou momento da inércia da esfera, em relação ao ponto P. Pelo teorema de eixos paralelos, tem-se que:
 (2)
No qual M é a massa da roda, Icm é sua inércia de rotação em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa e R é o raio da roda. Substituindo a equação 1 na equação 2, obtém-se:
E usando a relação vcm = chega-se a:
 
A partir da figura abaixo, será determinado o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro da esfera.
Figura II: lustração da determinação do momento de inércia da esfera.
 Para isso deve dividir a esfera em discos finos de espessura dx. O raio r do disco indicado na figura é dado por:
.
Seu volume é
e sua massa é
O momento de inércia de um disco de raio r e massa dm é
Integrando a expressão anterior de x=0 a x=R, obtemos o momento de inércia do hemisfério da direita. Pela simetria,o momento de inércia total I para a esfera inteira é o dobro desse valor:
Integrando, encontramos
A massa M da esfera que possui volume , é dada por
.
Procedimento experimental
Para obter os dados da experiência foi montado o aparato experimental de acordo com a figura abaixo.
Figura IV: Ilustração da montagem do aparato experimental.
Primeiramente foram feitas 9 marcações sobre o trilho distanciadas de 10 cm umas das outras, começando do ponto mais baixo. Foi calculado o ângulo (6,73º) entre o trilho e a mesa, utilizando os valores dos tamanhos do trilho e da base (medidos com uma régua). Anotamos a massa da esfera utilizando a balança e medimos o seu diâmetro utilizando um paquímetro.
Após anotar os dados e montar o aparato experimental, foi utilizado um cronômetro para marcar o tempo de marcação em marcação, começando do ponto mais alto. Primeiro com d=10cm, e sucessivamente até d=90cm. Em todos os casos a esfera partiu do repouso, sendo feitos 5 marcações de tempo pra cada ponto.
Resultados e discussão
Dados experimentais:
- massa da esfera = (0,11175 ± 0,00001)kg
- diâmetro da esfera = 
- altura da base (h) = (0,11545 ± 0,00005)m
Abaixo está apresentada a Tabela I, com os dados de tempo decorridos para a esfera percorrer os espaços marcados.
Tabela I: Intervalo de tempos decorridos para percorrer os espaços.
	
	(t1 ± 0,01)s
	(t2 ± 0,01)s
	(t3 ± 0,01)s
	(t4 ± 0,01)s
	(t5 ± 0,01)s
	( ± 0,01)s
	s1=0,1m 
	0,58
	0,61
	0,68
	0,58
	0,65
	0,62
	s2=0,2m
	0,82
	0,87
	0,76
	0,82
	0,82
	0,82
	s3=0,3m
	1,04
	1,09
	1,02
	1,07
	1,06
	1,06
	s4=0,4m
	1,14
	1,20
	1,18
	1,20
	1,18
	1,18
	s5=0,5m
	1,34
	1,32
	1,31
	1,36
	1,28
	1,32
	s6=0,6m
	1,40
	1,45
	1,46
	1,48
	1,43
	1,44
	s7=0,7m
	1,64
	1,61
	1,59
	1,59
	1,64
	1,61
	s8=0,8m
	1,68
	1,70
	1,68
	1,73
	1,67
	1,69
	s9=0,9m
	1,76
	1,78
	1,82
	1,80
	1,78
	1,79
Fonte: Laboratório de física II
Com a medida do diâmetro da esfera, foi calculado o raio da esfera:
R = 
A partir dos dados da Tabela I foi possível construir um gráfico de espaço por tempo no papel milimetrado (anexo 1).
Analisando o gráfico do papel milimetrado, notou-se tratar de uma função do tipo potencia (). Sendo assim, para obter a equação, necessita-se linearizar o gráfico. Para tanto, utilizou-se o papel de gráfico dilog (Anexo 2), obtendo assim uma reta.
Aplicando-se logaritmos dos dois lados da equação , obtém:
O valor de ‘a’ corresponde ao coeficiente angular da reta, logo:
O coeficiente linear (b), da equação, pode ser obtido do gráfico verificando o ponto em que a reta cruza o eixo y, ou seja, o coeficiente linear é igual á 0,27. Sendo assim a equação fica:
 
Tem-se que:
Assim a derivada segunda da equação s(t) é igual á aceleração do centro de massa da esfera, portanto:
Para calcular a velocidade angular, utiliza-se a equação:
Onde, no t = (1,79 ± 0,01)s: v = (1,002 ± 0,006)m/s
Sendo assim ω = (66,5 ± 0,5)rad/s
Determinação do momento de inércia do centro de massa:
Verificação da conservação de energia:
-Energia Inicial:
-Energia Final:
Conclusão
Ao término deste experimento, concluímos que o movimento do centro de massa da esfera é uniformemente variado, pois na equação de a(t), t0=1, portanto a aceleração é constante e independe do tempo.
Verificando a conservação de energia, notamos uma pequena diferença entre as energias, inicial e final. Isso se dá ao fato de existir atrito entre a esfera e a superfície e entre a esfera e o ar, causando assim uma perda de energia durante o movimento. 
Anexos:
Anexo 1:
Anexo 2:
Referências bibliográficas
HALLIDAY, D. & RESNICK, E. FísicaI1.4ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos S.A., 1982