exercicio para prova de algebra linear

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Modulo1 tranformaçeos lineares
1-A imgem do vetor  (1,3,2)  pela transformação linear  T: R3→R2, T(x,y, z) = (x+z,y), é:
(3,3)
 2-Sendo T(x,y) = (2x,2y) uma transformação linear, determinar a imagem do segmento AB pela transformação linear T, A = (0,0) e B = (1,1)
	T(A) = (0,0) e T(B) =(2,2)
A.
 
3- 
	D
	T não é linear pois não leva a origem ((o,o)) do domínio na origem do contradomínio;
4-
	B
	somente a transformação G é linear
5-Um retângulo ABCD, com coordenadas A(0,0); B(2,0); C(2,3) e D(0,3), e a transformação linear T(x,y) = (x+1, y-1) terá a imagem dada por:.
	E
	A’(1,-1); B’(3,-1); C’(3,2); D’(1,2)
6-Sendo T (x, y) = (3y, -3x) uma transformação linear, determine a imagem de um retângulo cujos vértices estão em A (0, 0); B (-1, 0); C (-1, 3); D (0, 3):
	B
	A' (0, 0); B' (0, 3); C' (9, 3); D' (9, 0)
7-Seja T (x, y) = (4x, 4y) para qualquer vetor em R2, podemos afirmar que ocorrerá:
	D
	Expansão
8-Seja T (x, y) = (-x, y) para qualquer vetor em R2, podemos afirmar que ocorrerá:
	C
	Reflexão em relação ao eixo y
Modulo 2 operacoes com transformaçes lineares
1-Se T1: R2 →R3 e T2: R2 →R3  são transformações lineares definidas por T1 (x, y) = (x + 2y, 2x -y, x) e T2 (x, y) = (-x, y, x + y), então T1 + T2  é definida por:
	C
	(2y,2x,2x+y)
2-Se T1: R2→R3 e T2: R2→R3 são transformações lineares definidas por T1 (x, y) = (x + 2y, 2x -y, x) e T2 (x, y) = (-x, y, x + y), então 3T1 -2T2. é definida por:
	B
	(5x+6y,6x-5y,x-2y)
3-Se S e T são operadores lineares no R2,  definidos por S(x,y) = (2x,y) e T(x,y) = (x,x-y), então:
	D
	SoT(x,y)=(2x,x-y)
4-Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por T1 (x, y, z) = (3z - 2x; y + 4z); T2 (x, y, z) = (x + 2xy + z; x - 4y - z). Podemos afirmar que:
	B
	2T1 - T2 = (-5x -2y + 5z, -x + 6y + 9z)
5-Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por T1 (x, y, z) = (3z - 2x; y + 4z); T2 (x, y, z) = (x + 2xy + z; x - 4y - z). Podemos afirmar que
	D
	5T2 - 3T1 = (11x + 10y + 6z; 5x - 23y - 17z)
6-Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por T1 (x, y, z) = (x + y; x + y - z; 2x - z) e T2 (x, y, z) = (y - 2z; x - 3y; - x + y - z). Podemos afirmar que:
	A
	T1 o T2 = (x - 2y - 2z; 2x - 3y + 3y + 3z; x + 4 - 3z)
7-Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por T1 (x, y, z) = (x + y; x + y - z; 2x - z) e T2 (x, y, z) = (y - 2z; x - 3y; - x + y - z). Podemos afirmar que:
	D
	T2 o T1 = (- 3x + y + z; - 2x = 2y + 3z; - 2x)
8-Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por T1 (x, y, z) = (x + y; x + y - z; 2x - z) e T2 (x, y, z) = (y - 2z; x - 3y; - x + y - z). Podemos afirmar que:
	E
	T1 - 2T2 = (x - y + 4z; - x + 7y - z; 4x - 2y + z)
Modulo 3 dominio de imagens com transformaçoes lineares
1-Se T: R3 →R2 definida por  T(x,y, z) = (x+z,y) é uma transformação linear, então a imagem do vetor (1,2,3)  através desta é:..
	D
	(4,2)
2-Se  T: R3→R2  definida por T(x,y, z) = (x+z,y)  é  uma transformação linear, então a imagem do vetor (1,2,-1) através desta é:.
	A
	(0,2)
3-Se  T: R2→R3  definida por T(x,y) = (x+y,y+2x, x-y)  é  uma transformação linear, então a imagem do vetor (1,2) através desta é:.
	E
	(3,4,-1)
4-Se T(x, y) = (3x - y, 2x + y, x - 5y) é uma transformação linear, então a imagem do vetor (-1, -4) através desta é:
	B
	(1, -6, 19)
5-Se T(x, y, z, w) = (5x - 3y + z - w; 2x + 4y - 3z + 4w) é uma transformação linear, então, a imagem do vetor (-1, 0, 1, -2) através desta é:
	A
	(-2, -13)
6-Se T(x, y, z) = (x - y, x + 2z; y - z; -x + z) é uma transformação linear, então, a imagem do vetor (-1, -2, 3) através dessa é
	B
	(1, 5, -5, 4)
7-Se T(x, y, w, z) = (x - y + 2z, w - x - y) é uma transformação linear, então, a imagem do vetor (5, -5, 8, -3) através dessa é:
	C
	(4, 8)
8-Se T(x, y, z) = (x + y, x - 2y, z + x - y, x - y + z) é uma transformação linear, então a imagem do vetor (-1, 2, 3) através desta é:
	C
	(1, -5, 0, 0)
	
	
Modulo4 definiçao de uma tranformaçoes lineares apartir da imagens de vetores
1-Sejam F:R2→R2 uma transformação linear e B={(1,-1),(1,1)} uma base do R2. Se F(1,-1)=(2,3) e F(1,1)=(-4,1), então:
	D
	F(x,y)=(-x-3y,2x-y)
2-Se T: R2→ R3 é uma transformação linear tal que T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3), então:
	B
	T(x, y) = (7x + 4y, 3x + y,-x + y)
	
	
3-Se  T(x,y) é uma transformação linear tal que T(0,1)=(2,3)  e T(1,0)=(1,2),  então
	D
	T(1,1)=(3,5)
Se T é uma transformação linear tal que T(1,0)=(2,3)  e T(0,1)=(-5,1) ,  então:
	C
	T(2,2)=(-6,8)
Se T: R2 → R2 é um operador linesr tal que T(1, 0) = (4, 1) e T(0, 1) = (2,3) então:
	B
	T(1, 1) = (6, 4)
Se T: R3 → R3 é um operador linear tal que T(1, 0, 0) = (2, 3, 1); T(0, 1, 0) = (4, 0, 5); T(0, 0, 1) = (3, 1, -1) então
	B
	T(1, 1, 1) = (9, 4, 5)
Se T: R2 → R3 é um operador linear tal que T(1, 0) = (4, 1, 0) e T(0, 1) = (3, 9, -4) então
	C
	T(1, 1) = (7, 10, -4)
Se T: R3 → R2 é um operador linear tal que T(1, 1, 0) = (6, 1); T(1, 0, 1) = (4, 0) e T(0, 0, 1) = (-1, -2) então
	D
	T(1, 1, 1) = (5, -1)
Modulo 5 transformaçoes lineares especiais
 1-A transformação linear de  R2 em R2 que representa uma reflexão em torno do eixo dos x, f(x, y) = (x -y), seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal, f(x, y) = (x + xy, y), é:
	D
	T(x,y)=(x-5y,-y)
2-A transformação linear de  R2 em R2  que representa uma rotação de 90o, f(x, y) = [(cosØ) x - (senØ) y, (senØ) x + (cosØ) y, seguida de reflexão em torno do eixo dos x, f(x, y) = (x -y), é:
	B
	T(x,y)=(-y,-x)
3-A transformação linear de R2 em R2 que representa uma reflexão em torno do eixo dos y, f(x, y) = (-x, y), seguida de uma dilatação de fator 2 na direção do vetor, f(x, y) = (xx, xy) e, por último, um cisalhamento de fator 3 na direção do eixo dos y, f(x, y) = (x, xx + y), é:
	B
	T(x, y) = (-2x, -6x + 2y)
4-
	C
	C=(2,-4)
5-
	C
	um cisalhamento vertical
6-
	A
	T(x,y)=(-y,x)
7-
	E
	reflexão sobre o eixo oy, T(x,y)=(-x,y)
8-
	D
	reflexão sobre o eixo ox
Modulo 6 matriz assiciada a uma tranformacao linear
1-A matriz T: R3→R2 dada por T(x,y,z) = (x+y, x+z) em relação às bases A = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B = {(1,1), (0,1)} será de ordem 2x3 e terá os elementos:
	B
	a11 = 1; a12 = 1; a13 = 0; a21 = 0; a22 = -1; a23 = 1
2-A matriz T: R3→R3 dada por T(x,y,z) = (x, x-y, 2z) em relação às bases A = {(1,1,0), (0,1,1), (0,0,1)} e B = {(-1,0,1), (0,-1,0), (0,0,1)} será de ordem 3x3 e terá os elementos:
	A
	a11 = -1; a12 = 0; a13 = 0; a21 = 0; a22 = 1; a23 = 0; a31 = 1; a32 = 1; a33 = 1
3-Dada uma matriz M3x2 com a11 = 1; a12 = 0; a21 = 2; a22 = 1; a31 = 3 e a32 = 0, a transformação linear T: R2→R3 de maneira que A = {(1,1), (0,1)} base do R2 e B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,1,1)} base do R3 se tenha M = (T)A,Bserá:
	C
	T(x,y) = (x, 4x + y, 3x)
4-Dada uma matriz M2x3 com a11 = 0; a12 = 0; a13 = -1; a21 = -2; a22 = 2 e a23 = 3, a transformação linear T: R3→R2 de maneira que A = {(1,1), (0,1)} base do R2 e B = {(1,-1,1), (0,1,0), (0,1,1)} base do R3 se tenha M = (T)B,A será:
	D
	T(x,y,z) = (-z + x, 2y)
5-Sendo T: R2 → R3 transformação linear, T(x, y) = (3x, x - y, 2y), determine a matriz TA,B sabendo que A = {(1, 0), (1 ,1)} é base do R2 e B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} é base do R3
	A
	a11 = 3; a12 = 3; a21 = 1; a22 = 0; a31 = -1; a32 = 2
6-Sendo T: R2 → R3 transforamação linear T(x, y) = (x + y, 2y, x), determine TA, B, sabendo que A = {(1, 0), (1, ,)} é base do R2 e B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} é base do R3
	C
	a11 = 1; a12 = 2; a21 = 0; a22 = 2; a31 = 1; a32 = -1
7-Sabendo que a matriz de uma transformação linear T: R2 → R3 nas bases A = {(-1, 1), (1, 0)} do R2 e B = {(1, 1, -1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} do R3 é TA,B com a11 = 3, a12 = 1, a21 = 2, a22 = 5, a31 = 1, a32 = -1, encontre a expressão de T(x, y)
	C
	(8x + 18y, 6x + 11y,- 2x - 4y)
8-Sabendo que a matriz de uma transformação linear T: R2 → R3 nos bases A = {(1, 0), (1, 1)} do R2 e B = {(3, 0, 1), (2, 1, 0), (1, 1, -1) do R3, a matriz TA,B com a11 = 1, a12 = 2, a21 = 3, a22 = -1, a31 = 5, a32 = 2, encontre a expressão de T(x, y)
	B
	(14x - 8y, 8x - 7y, - 4x + 4y)
7 modulo espaço vetorial
1- (Poscomp 2012) - Seja o espaço vetorial V = R2. Com relação a esse espaço, assinale a alternativa correta.
	E
	 V é soma direta de S1 = {(x, y) ∈  R2|(x, y) = (x, 0)} e S2 = {(x, y) ∈  R2|(x, y) = (0, y)}
2-Dados os vetores u = (2, 3, 4) e v = (-1, 4, 0) assinale a alternativa que indica o valor de k para o vetor W = (2, k - 3, 2) seja combinação linear de u e v.
	C
	k = 5,5
3-(AL) Sendo R = {(x,y,0) pertencente a R3} e S = {(0,b,c) pertencente a R3} subespaços de R3, assinale a alternativa que indica R ∩ S
	E
	 R ∩ S = {(0,y,0) pertencente a R3}
4- (AL) Sendo S = {(x,y,2x) pertencente a R3} e T = {(z+y,y,z) pertencente a R3}, assinale a alternativa que indica S ∩ T
	A
	 S ∩ T = {(x, -x, 2x) pertencente a R3}
5-(AL) Sendo R = {(x,y,0) pertencente a R3} e S = {(0,b,c) pertencente a R3} subespaços de R3, assinale a alternativa que indica R + S:
	A
	R + S = {(x, y + b, c) pertencente a R3
6-(AL) Sendo S = {(x,y,2x) pertencente a R3} e T = {(z+y,y,z) pertencente a R3}, assinale a alternativa que indica R+S
	E
	R+S = {(x + b + c, y + b, 2x + c) pertencente a R3
7-(Metro - 2014) Para que S seja subespaço vetorial de V é necessário que, dados u e v pertencentes a S, e ß um número real, aconteçam três condições:
I. (0,0) pertença a S.
II. u + v pertença a S.
III. ß.u pertença a S.
Seja V = R2 um espaço vetorial, e S = {(x, x+1); x pertence a R} um conjunto, então, S não é um espaço vetorial de V. Das três condições necessárias para que S seja um subespaço de V, S:
	E
	I, II e III não atendem
(IFRS-2014) Analise as afirmações a seguir:
I. seja V = R3 e W = {(a,b,0) / a,b pertencem a R}. Temos que W é subespaço de V.
II. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços vetoriais: o subespaço nulo e o próprio espaço vetorial V.
III. No R3, os vetores (-1,2,0); (5,0,1) e (8,-6,1) são linearmente independentes
É correto afirmar que:
	D
	I, II e III são verdadeiras.
Se U={(x,y,z); z = 0)} e W={(x,y,z); y - 2x = 0} são subespaços do espaço vetorial R3, é correto afirmar que as dimensões de U+W e U intersecção W, respectivamente:
	D 3 e 1
	3 e 1
Modulo 8 espaço vetoriais euclidianos bases e dimençoes
1-(IAL) Sendo u1 = (1,2,-3), u2 = (3,-1,-1) e u3 = (2,-2,0) do R3. Considerando este espaço munido do produto interno usual, assinale a alternativa que indica o vetor v tal que v.u1 = 4, v.u2 = 6 e v.u3 = 2.
	D
	v = (3,2,1)
2-(IAL) O conjunto B = {(1,-1),(2,m)} é um a base ortogonal do R2 em relação ao produto interno (x1,y1).(x2,y2) = 2(x1x2 + y1y2). Podemos afirmar que :
	C
	m = 2
3-(AL) Dado o subespaço S = {(x,y,z) / z = 2x + 3y} do espaço vetorial V = R3, assinale a alternativa que indica uma base e a dimensão do subespaço indicado.
	B
	S = [ (1,0,2), (0, 1, 3) ] e dimensão 2.
4-Dado o conjunto de geradores de V = [ (1, -2, 3), (3, 2, -1), (4, 5, 3) ] contidos em R3 podemos afirmar:
	A
	São Linearmente independentes e a dimensão de V é 3.
5-(AL) Sendo U = {(x, x – z, z, t) pertencente a R4} e V = {(2y, y, t, t) pertencente a R4} assinale a alternativa que indica respectivamente a base de U, a dimensão de U, a base de V e a dimensão de V.
	A
	BU = { (1, 1, 0, 0), (0, -1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}; dim U = 3; BV = {(2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}; dim V = 2.
6-(AL) Sendo U = {(x, y, x - y, x - z) pertencente a R4} e V = {(2x - y, x, y, x - y) pertencente a R4} assinale a alternativa que indica respectivamente uma base de U e uma base de V
	E
	BU = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, -1, 0), (0, 0, 0, -1] e BV = [(2, 1, 0, 1 ), (-1, 0, 1, -1)]
7-(AL) Sendo U = {(x - y + z, x, y - 2z) pertencente a R3} e V = {(x - y, 2x - y, x - 3y) pertencente a R3} assinale a alternativa que indica respectivamente uma base de U e uma base de V:
	D
	BU = [(1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 0, -2)] e BV = [(1, 2, 1), (-1, -1, 3)]
8-(METRÔ - 2010) Dados os vetores u = (1,1,1), v = (1,2,3) e w = (2,-1,1) do espaço vetorial R3, é verdade que:
	E
	u, v e w determinam uma base de R3.
MODULO 9 TRANSFORMACOES LINEARES
1-Um retângulo, representado pelas coordenadas A(0,0), B(2,0), C(2,1), D(0,1), tem como imagem após a transformação T(x,y) = (x, 2x + y), um quadrilátero com as coordenadas:
	B
	A’(0,0); B’(2,4); C’(2,5); D’(0,1)
2-(AL – adaptado) Seja T(x,y) = (3x,3y), para qualquer (x,y) pertencente a R3, assinale a alternativa que indica as coordenadas da imagem e o tipo de transformação ocorrida para um retângulo com coordenadas A(0,0), B(1,0), C(1,2), D(0,2):
	D
	A’(0,0), B’(3,0), C’(3,6), D’(0,6) – expansão.
3-Um triângulo representado pelas coordenadas A (0, 0), B (2, 0), C (1, 3) tem como imagem após a transformação T (x, y) = (2x, -2x), um triângulo onde ocorreu:
	B
	Expansão é reflexão em relação ao eixo x
4-Um retângulo representado pelas coordenadas A (0, 0), B (2, 0), C (0, 4), D (2, 4) tem como imagem, após a transformação T (x, y) = (x, 2x + y), um retângulo onde ocorreu:
	C
	Cisalhamento na direção do eixo y
5-Um triângulo representado pelas coordenadas A (0,0), B (2, 1), C (2, 4) tem como imagem após a transformação T (x, y) = (y, x) em um triângulo onde ocorreu:
	D
	Reflexão em relação à reta y = x
6-Um triângulo representado pelas coordenadas A (0,0), B (2, 1), C (2, 4) tem como imagem após a transformação T (x, y) = (-y, -x) em um triângulo onde ocorreu:
	E
	Reflexão em relação à reta y = -x
 
7-Um triângulo representado pelas coordenadas A (0,0), B (2, 1), C (2, 4) tem como imagem após a transformação T (x, y) = (-y, -x) em um triângulo onde ocorreu:
	E
	Reflexão em relação à reta y = -x
 
8-Um triângulo representado pelas coordenadas A (0,0), B (2, 1), C (2, 4) tem como imagem após a transformação T (x, y) = (-y, -x) em um triângulo onde ocorreu:
	E
	Reflexão em relação à reta y = -x
 
9-Um triângulo representado pelas coordenadas A (0,0), B (2, 1), C (2, 4) tem como imagem após a transformação T (x, y) = (-y, -x) em um triângulo onde ocorreu:
	E
	Reflexão em relação à reta y = -x
 
MODULO 10 OPERAÇOES COM TRANFORMAÇOES LINEARES
(AL) Sendo F e G operadores lineares do R3 definidos por F(x,y,z) = (x – z, 2y + x, z + 3y) e G(x,y,z) = (x + y, z – x, 2z – y). Assinale a alternativa que indica o resultado de F o G:
	B
	(F o G) (x,y,z) = (x + 2y – 2z, – x + y + 2z, – 3x – y + 5z)
(AL) Sejam F, G: R3 → R2 , funções definidas por F (x,y,z) = (x + 2y – 3z, 5x + z) e G (x,y,z) = (3y – 2z, x – y + 5z), assinale a alternativa que indica o resultado de 3F + 2G:
	B
	(3F + 2G) (x,y,z) = (3x + 12y – 13z, 17x – 2y + 13z)
Sendo F: R3 → R2, G: R2 → R3 e H: R3 → R3 transformações lineares, não são possíveis as operações:
	AG o H e H o F
	G o H e H o F
( AL) Sendo F: R3 → R2, G: R2 → R3 e H: R3 → R3 transformações lineares dadas por: F (x,y,z) = (x + y – z, 2x – 3y), G(x,y) = (x + 3y, x – y, x + y) e H (x,y,z) = (x – y + z, x – 2y – z, y – z), assinale a alternativa que corresponde a G o F o H:
	C
	(G o F o H) (x,y,z) = (– x + 8y + 16z, 3x – 8y – 4z, x + 6z)
(METRÔ - 2012) Considerando que T: R2→R2 é um operador linear tal que T(-1,0) = (2,1) e T(2,1) = (0,3), é correto afirmar que T(1,1) é igual a:
	C
	(2,4)
Sendo F e G operadores lineares do R3 definidos por F (x, y, z) = (x + y, x -z, 2y - z) e G (x, y, z) = (z - x, y - z, x+ y) assinale a alternativa que indica o resultado de F - G:
	B
	(2x + y - z, x - y, - x + y - z)
Sendo F e G operadores lineares do R3 definidos por F (x, y, z) = (x + y, x -z, 2y - z) e G (x, y, z) = (z - x, y - z, x+ y) assinale a alternativa que indica o resultado de 3F - 2G:
	C
	(5x + 3y - 2z, 3x - 2y - z, - 2x + 4y - 3z)
Sendo F e G operadoreslineares do R3 definidos por F (x, y, z) = (x + y, x -z, 2y - z) e G (x, y, z) = (z - x, y - z, x+ y) assinale a alternativa que indica o resultado de G O F:
	E
	(- x + y - z, x - 2y, 2x + y - z)
Se T: R2 → R3 é uma transformação linear e B = [v1 = (1, 1) e v2 = (0, 1)], uma base de R2. Se T (v1) = (1, -1, 3) e T (v2) = (-2, 1, 0) então T (2, 1) é:
	B
	(4, -3, 6)
MODULO 12 ESPAÇO VETORIAL
1-Dado o conjunto W = {(x,y,z) / y = 0} podemos afirmar que:
	A
	é um espaço vetorial pois obedece as propriedades da adição e da multiplicação por um escalar.
2-Dado o conjunto V = {(x,y,z) / z = 2y – 1} podemos afirmar que:
	D
	Não é espaço vetorial, pois,  não possui o vetor (0, 0, 0)
3-Em relação ao espaço vetorial, analise as frases abaixo e assinale a alternativa correta:
  I - Existe um único vetor nulo em V.
  II – Para qualquer vetor u, v e w, que pertencem a V se u + w = v + w, então u = v.
  III – Para qualquer u e v pertencentes a V, existe um e somente um x, tal que u + x = v
	A
	Todas as afirmações são verdadeiras.
4-Seja W o conjunto de todas as matrizes 2x2 da forma M22 = :
	a
	a+1
	0
	b
Podemos afirmar que:
	C
	W não é um subespaço de M22 pois o elemento a11 nunca será nulo ao mesmo tempo que o elemento a12.
5-Dados os subconjuntos abaixo:
W = {(x, y, z) / x = 0}
U = {(x, y, z) / y = 2z}
V = {(x, y, z) / x = 3}
Podemos afirmar que:
	D
	Apenas V não é subespaço vetorial de R3
	
	
6-Dados os subconjuntos abaixo:
W = {(x, y, z) / x = y - 1}
U = {(x, y, z) / x = 0}
V = {(x, y, z) / x = y}
Podemos afirmar que:
	B
	Apenas W não é subespaço vetorial de R3
 
7-No espaço vetorial R3, o vetor v = (-7, -15, 22) é uma combinação linear dos vetores v1 = (2, -3, 4) e v2 = (5, 1, -2) porque:
	B
	v = 4 v1 - 3 v2
8-Determine o valor de k para que o vetor µ = (-1, k, -7) seja combinação linear de v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1)
	C
	k = 13
MODULO 13 OPERAÇOES COM ESPAÇOS VETORIAIS
1-Dados os subespaços S = {(x,y,0) pertencente a R3} e T = {(z,z,z) pertencente a R3} podemos afirmar que:
	A
	S + T = (x + z, y + z, z) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 é soma direta de S e T.
2-Dados os subespaços S = {(0,y,z) pertencente a R3} e T = {(x,0,c) pertencente a R3} podemos afirmar que:
	B
	S + T = (x, y, z + c) e S intersecção T = (0,0,c), portanto, R3 não é soma direta de S e T.
3-Dados os subespaços S = {(x,0,z) pertencente a R3} e T = {(0,y,2y) pertencente a R3} podemos afirmar que:
	C
	S + T = (x, y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 é soma direta de S e T.
4-Sendo S = {(x, 2x, z) em R3} e T = {(0, y, z) em R3}, a intersecção entre S e T será:
	C
	{(0, 0, z) em R3?}
5-Sendo U = {(x, 0, z) em R3?}, V = {(0, y, 0) em R3?} e W = {(0, 0, z) em R3?}, teremos como única alternativa falsa:
	E
	V intersecção com W = {(0, 0, z)}
6-Dado o subespaço U = {(x, y, z) de R3 / x - 2y = 0} podemos admitir como um possível sistema gerador do subespaço
	E
	[(2, 1, 0); (0, 0, 1)]
7-Dado o subespaço V = {(x, y, z) de R3 / x - 2y + 3z = 0} podemos admitir como um possível sistema gerador do subespaço:
	A
	[(2, 1, 0); (-3, 0, 1)]
8-Dado o sistema gerador U = [(1, 0, 0, 0); (-1, 1, 0, 0); (1, 0, 2, 0); (0, 0, 0, 1)] teremos o subespaço U definido por:
	D
	(x - y + z, y, 2z, w)
MODULO 14 DOMINIO E IMAGEM
1. (UFSJ - adaptado) Seja T : R 2 → R 3 a transformação definida por Tx = A, onde A é uma matriz 2x3 = 
	1
	2
	2
	-1
	2
	1
Encontre a imagem de u onde u é uma matriz coluna 3x1 dada por u =
	2
	-3
	0
	A
		-4
	-8
2-(UFSJ - adaptado) Para os valores da matriz A e vetor b abaixo, encontre, se for possível, um vetor x tal que Tx = b.
A = 
	1
	0
	1
	2
	-1
	3
b =
	2
	3
 
	B
	Tx = 
	2 - c
	1 + c
	c
3-(METRÔ - 2012) - Considere a transformação linear T, de R3 em R2, dada por T(x,y,z) = (x+y, x-2y+z), o núcleo de T é o conjunto:
	B
	{(-y, y, 3y) / y pertence a R}
4-Considere u = (1,-1,0,0); v = (2,0,1,1). Seja V = (u,v) (espaço gerado por u e v). Seja W o conjunto dos vetores (x,y,z,w) pertence a R4 tais que x - y = 0 e 2x + z + w = 0. Logo a dimensão do subespaço vetorial V intersecção W é:
	A
	0
5-Seja T: M22→M22 a transformação linear definida por:
T = 
	a
	b
	c
	d
=
	a
	0
	0
	d
Assinale a alternativa que indica a matriz que pertence ao núcleo de T:
	B
		0
	4
	2
	0
6-Seja T: M22→M22 a transformação linear definida por:
T = 
	a
	b
	c
	d
=
	a
	0
	0
	d
Assinale a alternativa que indica a matriz que pertence a imagem de T:
	C
		3
	0
	0
	-3
7-Seja T: P2(x)→R2 a transformação definida por T(a+bx+cx2) = 
	a - b
	b + c
Assinale a alternativa que indica um polinômio que pertence ao núcleo de T:
	D
	1 + x - x2
8-Seja T: V → W uma transformação linear:
I. o Núcleo de T é o conjunto de todos os vetores de V que são levados por T em 0 de W
II. A imagem de T é o conjunto de todos os vetores de W que são imagens de vetores de V através de T.
III. O núcleo e a imagem de uma transformação linear de primeira ordem são sempre iguais.
Assinale a alternativa correta: 
	D
	Apenas a frase III é falsa
MODULO 15 DEFINICAO DE UMA TRANSFORMAÇAO LINEAR
1-(METRÔ - 2010) Qual das afirmações seguintes é falsa:
	C
	Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e T: V→W uma 
transformção linear, então dim Ker (T) + dim Im (T) = dim (W)
2-(METRÔ-2012) Se a transformação linear T:R2→R3 é tal que T(1,0) = (1,1,0) e T(0,1) = (0,1,1), então T(-2,1) é igual a:
	C
	(-2,-1,1)
3-Sendo x = (2,3), B = {(1,0);(0,1)} e C = {(1,1);(1-1)} em R2, a matriz mudança de base de C para B é:
	E
		1
	1
	1
	-1
Sendo x = (1,0,-1), B = {(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)} e C = {(1,1,1); (0,1,1), (0,0,1)} em R3 encontre a matriz mudança de base de B para C:
	C
		1
	0
	0
	-1
	1
	0
	0
	-1
	1
Se T: R3 → R2 é uma transformação linear e B = [v1 = (1, 0, 0); v2 = (1, 01, 1); v3 = (0, 1, 1)] uma base de R3. Se T (v1) = (2, 1), T (v2) = (-2, 3) e T (v3) = ( 0, 4) então, T (2, 1, -2) é:
	E
	(16, 0)
Se T: R2 → R2 é uma transformação linear e B = [v1 = (0, 1) e v2 = (1, 1)], uma base de R2. Se T (v1) = (8, 1) e T (v2) = (0, -4), então T (4, 3) é:
	B
	(-8, -17)
Se T: R3 → R4 é uma transformação linear e B = [v1 = (1, 1, 0); v2 = (1, -1, 0) e v3 = (0, 1, 1, 1)] uma base de R3. Se T (v1) = (2, 2, 0, 0); T (v2) = (0, 2, 4, 0) e T ( v3) = ( 0, 4, 1, -1), então T (1, 2, 0) é :
	E
	(3, 2, -2, 0)
MODULOS 16 TRANSFORMAÇOES LINEARES ESPECIAIS
	Um triângulo possui as seguintes coordenadas A(0,3); B(1,5) e C(3,1) e deve 
sofrer uma reflexão em relação ao eixo x dada por:
	1
	0
	0
	-1
Quais serão as novas coordenadas do triângulo após sofrer a reflaxão?
	D
	A'(0,-3); B'(1,-5); C'(3,-1)
Um quadrilátero com as coordenadas A(-1,2); B(-3,2); C(-5,1); D(-4,4) sofre uma reflexão em relação ao eixo y dada por:
	-1
	0
	0
	1
Quais serão as novas coordenadas do quadrilátero após a reflaxão?
	B
	A'(1,2); B'(3,2); C'(5,1); D'(4,4)
Dada as coordenadas do polígono A(2,2); B(1,4); C(5,4); D(4,2) que sofre uma rotação de 180° no sentido anti-horário em torno da origem (0,0) a partir de:
	cos 180°
	-sen 180°
	sen 180°
	cos 180°
Quais serão as novas coordenadas do polígono após a rotação?
	C
	A'(-2,-2); B'(-1,-4); C'(-5,-4); D'(-4,-2)
Um pentágono possui as coordenadas A(0,0); B(2,0); C(2,2); D(1,3); E(0,2) sofre uma transformação baseada na matriz:
	3
	0
	0
	1
Qual foi o tipo de transformação ocorrida com o pentágono?
	A
	Dilatação na direção do eixo x
 Considere um triângulo que possui as coordenadas A(2,2); B(6,2); C(2,6); que sofre uma ampliação dada pela matriz:
	4
	0
	0
	1
Qual será a relação entre as áreas do triângulo antes e após a ampliação ocorrer?
	B
	1/4Um triângulo com coordenadas A (2, 0); B (2, 4); C (3, 5) sofre uma rotação de 270º no sentido anti-horário em torno da origem (0, 0) de acordo com a matriz:
	cos 270°
	-sen 270°
	sen 270°
	cos 270°
 
 
Quais serão as novas coordenadas do triângulo após sofrer a rotação?
	A
	A' (0, -2); B' (4, -2); C' (5, -3)
Um quadrilátero possui as coordenadas A (0, 0); B (3, 0); C (4, 2); D (1, 2) sofre uma transformação baseada na matriz:
	-2
	0 
	0 
	-2
 
 
Quais foram os tipos de transformação ocorridas com o quadrilátero?
	C
	Dilatação e reflexão em relação à origem
Um triângulo possui as coordenadas A (0, 0); B (2, 0); C (2, 4) sofre uma transformação baseada na matriz:
	1
	0
	0
	2
 
 
Qual foi o tipo de transformação ocorrida com o triângulo?
	D
	Dilatação na direção do eixo y
MODULO 17 MATRIZ ASSOCIADA A UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Seja uma transformação linear T: R3 → R3 definida por T(x) = Ax, em que x é um vetor de R3.
Se A = 
	2
	0
	0
	0
	2
	0
	0
	0
	2
Se u =
	-2
	0
	3
Se v = 
	4
	-1
	5
então a imagem de u + v por T é:
	A
		4
	-2
	16
(IFsul-2013) Seja T uma matriz de transformação linear de modo que a matriz A indica os vertices que formam uma base de A e a matriz B indica a matriz de transformação de A para B. Qual é o determinante da matriz B?
Matriz A: 
	2
	1
	8
	9
Matriz B:
	26
	28
	12
	11
	
	
	
	
	C
	11 / 10
(Metrô - 2010 Adaptado) Se uma transformação linear leva um dado vetor (x,y) para sua imagem (x,-y) então:
	D
	    Ocorreu reflexão em relação ao eixo x
Seja B = {(1,1), (0,2)} uma base do espaço vetorial R2. A matriz de mudança de base B para a base canônica de R2 é:
	A
		1
	0
	-1/2 
	1/2
 
Seja T:R3→R2 a transformação linear definida por T(x,y,z) = (x-2y, x+y-3z) e sejam B = {(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)} e C = {(0,1); (1,0)} bases para R3 e R2, respectivamente. Encontre a matriz T em relação às bases B e C:
	A
		1
	1
	-3
	1
	-2
	0
 
Encontre a matriz transformação de B para C da transformação linear T: V→W em relação às bases B e C de V e W respectivamente.
T(a,b) = (a+2b, -1, b); B = [(1,2); (3,-1)] e C = [(1,0,0); (1,1,0); (1,1,1)].
	E
		6
	4
	-3
	-2
	2
	-1
 
Seja uma transformação linear dada pela matriz a11 = 2; a12 = 0; a21 = 0; a22 = 1, a imagem do vetor u = (4, 1) será:
	A
	a11 = 8    a21 = -1
Seja uma transformação linear dada pela matriz a11=0 ; a12 = 1 ; a12 = 1 ; a13 = 1 ; a21 = 0 ; a22 = 2 ; a23 = -1, a imagem do vetor u = (1, 0, -1) será:
	B
	a11 = -1    a21 = 1